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四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三数学模拟考试试题(二)理

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。 。 。 。
成都龙泉中学 2018 届高考模拟考试试题(二)

数学(理工类)

注意事项:

(考试用时:120 分 全卷满分:150 分 )

1.答题时,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴

在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试

题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答:先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在

答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后,请将答题卡上交;

第Ι 卷(选择题部分,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直

角坐标系上的坐标,则确定的不同点的个数为

A.6

B.32

C.33

D.34

2.已知复数

,则 z 在复平面内对应的点在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. 若空间四条直线 a、b、c、d,两个平面? 、 ? ,满足 a ? b ,c ? d ,a ? ? ,c ? ? ,



A. b //?

B. c ? b

C. b // d

D.b 与 d 是异面直线

4.设等差数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足 S2 017>0,S2 018<0,对任意正整数 n,都有|an|≥

|ak|,则 k 的值为

-1-

A.1 007

B.1 008

C.1 009

D.1 010

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 S ?
开始

S= 2,i=1

A. 4

B. 5

C. 15 ?1

D. 6

1 S=S+ i+1+ i
i≥15 否 是
输出S
结束

i=i+1

6.若直角坐标系内 A 、 B 两点满足:(1)点 A 、 B 都在 f (x) 图象上;(2)点 A 、 B 关

于原点对称,则称点对 ( A, B) 是函数 f (x) 的一个“和谐点对”, ( A, B) 与 (B, A) 可看作一个

?x2 ? 2x(x ? 0)

“和谐点对”.已知函数

f

(x)

?

? ?2 ?? e x

(x

?

0)

,则 f (x) 的“和谐点对”有

A.1个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两

条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为

64 ? 32?

A.

3

C. 64 ? 16? 3

B. 64 ?8? D. 64 ? 8?
3

8.已知下列命题:

①命题“ ?x ? R, x2 ?1 >3x”的否定是“?x ? R, x2 ?1<3x”;

②“a>2”是“a>5”的充分不必要条件;

③“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.
④已知p、q为两个命题,若“p ? q ”为假命题,则 “?p ? ?q ”为 真命题。 其中真命

题的个数为

A 3个

B 2个

C 1个

D 0个

9. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派 5 名教师对数学卷的选择题、填

空题和解答题这 3 种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为

-2-

A.150

B.180

C.200

D.280

10.已知函数 f (x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 最小正周期为? ,为了得到函数 g(x) ? cos?x 3

的图象,只要将 f (x) 的图象

A.向左平移 ? 个单位长度 12
C.向左平移 5? 个单位长度 12

B.向右平移 ? 个单位长度 12
D.向右平移 5? 个单位长度 12

11.抛物线 C : y2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l ,P 是 l 上一点,连接 PF 并延长交抛物线

C 于点 Q ,若| PF |? 4 | PQ | ,则| QF |? 5

A.3

B.4

C.5

D.6

12.已知 f (x), g(x) 都是定义在 R 上的函数, g(x) ? 0 , f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ,且

f (x) ? ax g(x) (a ? 0 ,且 a ? 1) , f (1) ? f (?1) ? 5 .若数列{ f (n)}的前 n 项和大于 62 ,则

g(1) g(?1) 2

g(n)

n 的最小值为

A.5

B.6

C.7

D.8

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~23 题为选做题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分

13.各项均为正数的等差数列{an}中,a5?a8=36,则前 12 项和 S12 的最小值为



14.已知 =(1,0), =(1,1),(x,y)=

,若 0≤λ ≤1≤μ ≤2 时,z= +

(m>0,n>0)的最大值为 2,则 m+n 的最小值为



15.“微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆.在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所

发红包的总金额为 9 元,被随机分配为1.49 元,1.31元, 2.19 元, 3.40 元, 0.61元,共 5 份,

供甲、乙等 5 人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是

__________.

16.对于三次函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f ?(x) 是函数 y ? f (x) 的

导数, f ??(x) 是 f ?(x) 的导数,若方程 f ??(x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 (x0 , f (x0 )) 为函数

-3-

y ? f (x) 的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次

函数都有对称中心,且“拐点”应对对称中心.根据这一发现,则函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 x2 ? 3x ? 5

32

12

的对称中心为



三、解答题:(本题包括 6 小题,共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) ? 6cos2 x ? 2 3 sin x cos x +2. (1)求 f (x) 的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 f (B) ? 2. 求角 B.

18. (本题满分 12 分) 某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路,携手共筑”徒步走健身活动,有 n
人参加,现将所有参加人员按年龄情况分为 25,30),30,35],35,40),40,45),45,50), 50,55]六组,其频率分布直方图如图所示.已知 35,40)之间的参加者有 8 人.
(1)求 n 的值并补全频率分布直方图; (2)已知 30,40)岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取 5 人作为活动的组织者,其中选 取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 30,35)岁的人数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数 学期望 E(ξ ).

S E
A D

B C

19.(本题满分 12 分)
如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,平面 SAD ? 平面 SCD , SA ? SD ? 2 2 .
(Ⅰ)求证:平面 SAD ? 平面 ABCD ;
-4-

(Ⅱ) E 为线段 DS 上一点,若二面角 S ? BC ? E 的平面角与二面角 D ? BC ? E 的平面 角大小相等,求 SE 的长.

20. (本小题满分 12 分)

已知点 P 是椭圆 C 上任一点,点 P 到直线 l1 : x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F (?1, 0) 的距离



d2

,且

d2 d1

?

2 .直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B ( A, B 都在 x 轴上方),且 2

?OFA ? ?OFB ? 180 . (1)求椭圆 C 的方程;

(2)当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 方程;

(3)对于动直线 l ,是否存在一个定点,无论 ?OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?
若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

已 知 定 义 在 (0,??) 上 的 函 数 f (x) 满 足 f ( x)?
f ( x)? xe?1 ? l xn? a 1(x? ,?) tt?R . x
(Ⅰ)若 a ? 0 ,试讨论函数 f (x) 的零点个数;

f1( ,) 且 当 x ?[1, ??) 时 , x

(Ⅱ)若 t ? 1,求证:当 a ? ?1时, f (x) ? 0 .

-5-

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写 清题号,本小题满分 10 分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

??x ? ??y

? ?

3cos?(?为参数). sin?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴

正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,π ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2
(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a 为常数,对任意实数 x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立. (1)求 a 的值. (2)设 m>n>0,求证 2m+m2-21mn+n2≥2n+a.

-6-

1—5 CABCB

成都龙泉中学 2018 届高考模拟考试试题(二) 数学(理工类)参考答案
6—10 BCCAA 11—12 CB

13. 72

14. +

15. 2 5

16.由 f (x) ? 1 x3 ? 1 x2 ? 3x ? 5 ,得 f ?(x) ? x2 ? x ? 3,f ??(x) ? 2x ?1,由f ??(x) ? 0,

32

12

解得x

?

1 ,且f 2

? ??

1 2

? ??

?

1

,所以此函数的对称中心为

? ??

12,1???



17. 解:(1) f (x) ? 6? 1+cos 2x ? 3 sin 2x+2 = 2 3 cos?? 2x ? ? ?? ? 5 .

2

? 6?

所以 f (x) 的最小正周期为T ? 2? ? ? , 值域为[5 ? 2 3,5 ? 2 3] .……6 分 2

(2)由 cos(2B ? π) ? ? 3 B 为锐角∴ π ? 2B ? π ? 7π , 2B ? π ? 5π ,∴ B ? π . ……

62

6

66

66

3

12 分

18. 解:解:(1)年龄在 35,40)之间的频率为 0.04×5=0.2,

∵ =0.2,∴n= =40,

∵第二组的频率为: 1﹣(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)× 5=0.3,

∴第二组的矩形高为: =0.06,

∴频率分布直方图如右图所 示. -------------------------6 分 (2)由(1)知,30,35)之间的人数为 0.06×5×40=12, 又 35,40)之间的人数为 8, ∵30,35)岁年龄段人数与 35,40)岁年龄段人数的比值为 12:8=3:2, ∴采用分层抽样抽取 5 人,其中 30,35)岁中有 3 人,35,40)岁中有 2 人, 由题意,随机变量 ξ 的甩有可能取值为 1,2,3,

P(ξ =1)=

= , P(ξ =2)=

= , P(ξ =3)= = ,

∴ξ 的分布列为:
-7-

ξ

1

2

3

P

Eξ =

= . ------12 分

19. 解:(Ⅰ)∵平面 SAD ? 平面 SCD , DC ? AD ,∴ DC ? 平面 SAD ∵ DC ? 底面 ABCD ,∴平面 SAD ? 底面 ABCD (Ⅱ)取 AD 中点 M ,连接 SM SA ? AD ? SM ? AD ,又因为平面 SAD ? 底面 ABCD ,所以 SM ? 平面 ABCD

以 M 为原点, MD, AB, MS 方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系

平面 ABCD 的法向量 n1 ? (0, 0,1) ,平面 BCS 的法向量 n2 ? (x, y, z) ,

S(0, 0,1), B(?1, 2, 0),C(1, 2, 0) , BC ? (2, 0, 0), BS ? (1, ?2,1)



?2x ? 0 ??x ? 2 y ?

z

?

0

,∴

n2

?

(0,1,

2)

设 DE ? ? DS ? ??2?, 0, 2? ? ,所以 E ?2 ? 2?, 0, 2? ?

由上同理可求出平面 BCE 的法向量 n3 ? (0, ?, 2)
由平面 BCD 、 BCS 与平面 BCE 所成的锐二面角的大小相等可得
n1 ? n3 ? n2 ? n3 ,∴ ? ? 2 5 ? 4 ∴ SE ? 10 2 ? 4 10 20.(1)设 P(x, y) ,则 n1 ? n3 n2 ? n3

d1 ?| x ? 2 | , d2 ? (x ?1)2 ? y2 ,

∴ d2 ?

(x ?1)2 ? y2 ?

2 ,化简,得 x2 ? y2 ? 1,∴椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1.

d1

| x?2|

2

2

2

(2) A(0,1) , F (?1, 0) ,∴ kAF

?

1? 0 0 ? (?1)

?1,

又∵ ?OFA ? ?OFB ? 180 ,∴ kBF ? ?1 , BF : y ? ?1(x ?1) ? ?x ?1.

代入

x2 2

?

y2

?

1解,得

?x

? ?

y

? ?

0, ?1

(舍)

? ?? ? ?

x y

? ?

? 1

4 3
,

,


B(?

4 3

,

1) , 3

?? 3

-8-

k AB

?

1? 1 3
0 ? (? 4)

?

1 2

,∴

AB

:

y

?

1 2

x

?1 .即直线 l

方程为

y

?

1 2

x

?1.

3

(3)∵ ?OFA ? ?OFB ? 180 ,∴ kAF ? kBF ? 0 .

设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,直线 AB 方程为 y ? kx ? b .代直线 AB 方程 y ? kx ? b 入

x2 ? y2 ? 1,得 2

(k 2 ? 1 )x2 ? 2kbx ? b2 ?1 ? 0 . 2



x1 ?

x2

?

?

2kb k2 ? 1

, x1x2

?

b2 ?1 k2 ? 1

,∴ kAF

? kBF

?

y1 ? x1 ?1

y2 x2 ?1

?

kx1 ? b x1 ?1

?

kx2 ? b x2 ?1

=

2

2

(kx1 ? b)(x2 ?1) ? (kx2 ? b)(x1 ?1) ? 0 , (x1 ?1)(x2 ?1)

(kx1

?

b)( x2

? 1)

?

(kx2

?

b)( x1

? 1)

?

2kx1x2

?

(k

?

b)( x1

?

x2 )

?

2b

?

2k

?

b2 ?1 k2 ? 1

?

(k

?

b) ?

2kb k2 ? 1

?

2b

?

0

2

2

∴ b ? 2k ? 0 ,

∴直线 AB 方程为 y ? k(x ? 2) ,

∴直线 l 总经过定点 M (?2, 0) .

21.(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ) x ?[1, ??) 时, f ?(x) ? ex?1 ? 1 ? a ? a ? 0 ,…1 分

x

x2

∴ f (x) 在[1, ??) 上为增函数;……… 2 分

当 x ?(0,1] 时, 1 ?[1,+?),又 f (x) ? f (1) ,

x

x

-9-



f

?(

x)

?

?

1 x2

f ?(1) ? 0 , x

∴ f (x) 在 (0,1] 上为减函数. ……3 分

∴ f (x)min ? f (1) ? 1 ? t .

∴当 t ? 1时,函数 f (x) 在定义域内无零点;

当 t ? 1时,函数 f (x) 在定义域内有一个零点;

当 t ? 1时, f (1) ?1? t ? 0 ,

f (et ) ? eet ?1 ? ln et ? a(et ? 1 ) ? t ? eet ?1 ? a(et ? 1 ) ? 0 ,

et

et

∴函数 f (x) 在[1, ??) 上必有一个零点.又由 f (x) ? f (1) , x

故函数 f (x) 在 (0,1] 上也必有一个零点.

∴当 t ? 1时,函数 f (x) 在定义域内有两个零点.……6 分

(Ⅱ) x ?[1, ??) 时,∵ a ? ?1, x ? 1 ? 0 ,故 a(x ? 1) ? ?x ? 1 ,

x

x

x

∴ f (x) ? ex?1 ? ln x ? a(x ? 1) ?1 ? ex?1 ? ln x ? x ? 1 ?1 ? (ex?1 ? x) ? (ln x ? 1 ?1) ,7 分

x

x

x

设 g(x) ? ex?1 ? x ,则 g?(x) ? ex?1 ?1 ? 0 ,

g(x) 在 [1, ??) 上单调递增,∴ g(x) ? g(1) ? 0 ,

∴ ex?1 ? x ,………9 分

∴ x ?1? ln x ,又 1 ?1 ? ln 1 ,

x

x

故 ln x ?1? 1 ,即 ln x ? 1 ?1 ? 0 ,……10 分

x

x

∴ (ex?1 ? x) ? (ln x ? 1 ?1) ? 0 . x

∴当 a ? ?1时,当 x ?[1, ??) 时, f (x) ? ex?1 ? ln x ? a(x ? 1) ?1 ? 0 , x

又 x ?(0,1] 时, f (x) ? f (1) ,…11 分 x

所以当 x ?(0,1) 时, f (x) ? ex?1 ? ln x ? a(x ? 1) ?1 ? 0 也成立. x

综上,当 a ? ?1时, f (x) ? 0 .…12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

解:(I)把极坐标系下的点 P(4, ? ) 化为直角坐标,得 P(0,4)。 ........2 分 2

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 ,

- 10 -

所以点 P 在直线 l 上,

.....5 分

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) ,

从而点 Q 到直线 l 的距离为

d ?|

3

cos?

?

sin

?

?

4

|

?

2

cos(?

?

? 6

)

?

4

?

2 cos(? ? ? ) ? 2 2 ,

2

2

6

由此得,当 cos(? ? ? ) ? ?1 时,d 取得最小值,且最小值为 6

2.

----10 分

23.(1)解 设 f(x)=|x+1|-|2-x|,

??-3,x≤-1, 则 f(x)=?2x-1,-1<x≤2,
??3,x>2,

∴f(x)的最大值为 3, ∵对任意实数 x,|x+1|+|2-x|≥a 恒成立, 即 f(x)≥a,∴a≤3,∴a=3, (2)证明 由(1)得 a=3, ∵2m+m2-21mn+n2-2n =(m-n)+(m-n)+(m-1 n)2 又∵m>n>0, ∴(m-n)+(m-n)+(m-1 n)2≥

3 3

(m-n)(m-n)·(m-1 n)2=3,

∴2m+m2-21mn+n2≥2n+a.

- 11 -


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