nbhkdz.com冰点文库

高中数学平面向量的数量积在解析几何中的应用专题辅导.doc

时间:2018-02-27

高中数学平面向量的数量积在解析几何中的应用
尹建堂 在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中,如能适当地构造向量,利用 向量的数量积的几何意义和运算法则,将其转化为向量的运算,往往使问题简捷获解。 一、与长度有关的问题 通过向量的数量积可以计算向量的长度,这给解决线段长度问题拓宽了思路,提供了 方便。这里常用的公式有: a · a ? ( a ) 2 ?| a |2 或| a | ? 则 | a |?

?

?

?

?

?

?

? ? ? a · a ;若 a ? ( x,y ) ,

x 2 ? y 2 ; 若 A( x1 ,y1 ) 、B( x2 ,y2 ) , 则 A 、 B 两 点 的 距 离 公 式 为

| AB| ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 。 ? ? ? 3 例 1. 在△OFQ 中, | OF | ? c(c ? 2) , OF · FQ =1,该三角形面积 S ? c 。以 O 为中 4 ? ? 心,F 为焦点的椭圆经过点 Q,求:(I)用 c 表示 | OQ| ;(II) | OQ| 的最小值及此时点 Q ? 的坐标;(III) | OQ| 最小时的椭圆方程。 分析:本题重点是对(I)的求解。取图 1 的坐标系后设 Q( x1 ,y1 ) ,则可用 x1 、y1 表 ? ? 示 | OQ| 。如何消去 x1 、y1 ,将其转化为 | OQ| ? f (c) ,则是解题的关键。根据面积条件易 ? ? ? 求 y1 ;再由条件 | OF | ? c 及 OF · FQ ? 1 可求得 x1 ? g(c) ,从而可消去 x1 ,y1 ,得到 ? | OQ| 的关于 c 的表达式 f (c) 。 解:(I)取坐标系如图 1 所示。设 Q( x1 ,y1 ),又 F (c, 0) ,则

? OF ? (c,0) , ? FQ ? ( x1 ? c,y1 ) 1 ? 3 因为 S △OFQ ? | OF | y1 ? c 2 4 3 所以 y1 ? 2 ? ? 又 OF · FQ ? 1 ,得 (c,0) ·( x1 ? c,y1 ) ? 1 , 即 c( x1 ? c) ? 1 1 1 3 所以 x1 ? c ? ,故知 Q( c ? , ) c c 2 ? 2 2 于是,得 | OQ| ? x1 ? y1

图1

1 9 ? (c ? ) 2 ? (c ? 2) c 4
5 3 34 ,此时点 Q 坐标为( , ) 2 2 2 2 2 5 3 x y (III)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0,待定) ,由(II)知 Q ( , ) ,又点 2 2 a b
(II)由(I)知,当且仅当 c ? 2 时, | OQ|min ? Q 在椭圆上,得

?

9 ? 25 ? 2 ? 2 ? 1, ? a 2 ? 10,b 2 ? 6 4b ? 4a ?a 2 ? b 2 ? 4 ? x2 y2 ? ? 1。 所以所求椭圆方程为 10 6
二、与角度有关的问题

? ? ? ? a ·b ? ? ? ? ;若 设 向 量 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , 夹 角 为 ? (0 ? ? ? ? ) , 则 c o s | a || b | ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ? ( x1 ,y1 ) 、 b ? ( x2 ,y2 ) ,则 cos? ? 。以上是解决有关夹角 2 2 2 2 x1 ? y1 x2 ? y2

问题的重要公式,称为夹角公式。利用上述公式,就能比较方便、容易地解决涉及角的诸 多问题。 例 2. 给定抛物线 C:y ? 4 x ,F 是 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,设
2

l 的斜充为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小。

?

?

分析:设出 A( x1 ,y1 ) 、B( x2 ,y2 ) 后,不难用韦达定理求出 x1 ? x2 、x1 x2 ,于是容

易求出 OA · OB 及 | OA|| OB| ,再用夹角公式即可获解。 解:由焦点 F(1,0), k l ? 1 , 则 l:y ? x ? 1 , 代入 y ? 4 x ,整理,得
2

?

?

? ?

x 2 ? 6x ? 1 ? 0 设 A( x1 ,y1 ) 、 B( x2 ,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6,x1 x2 ? 1 ? ? 于是有 OA · OB = ( x1 ,y1 ) ·( x2 ,y2 ) ? x1 x 2 ? y1 y 2

? ? 2 2 2 2 | OA|| OB| ? x1 ? y1 x2 ? y2

? x1 x 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? ?3

? x1 x2 [4( x1 ? x2 ) ? 16]

? ? ? ? OA · OB 所以 cos ? OA , OB ? ? ? ? | OA|| OB|

? 41

??

所以 OA 与 OB 夹角的大小为 ? ? arccos

?

?

3 41 41 3 41 。 41
? ? ? ? ? ?

例 3. 已知两点 M (-1, 0) 、 N (1, 0) , 且点 P 使 MP · MN ,PM · PN , NM · NP 成公差小于零的等差数列。 (I)点 P 的轨迹是什么曲线?

(II)若点 P 的坐标为 ( x 0 ,y 0 ) ,记 ? 为 PM 与 PN 的夹角,求 tan ? 。 分析:(I)设 P(x,y),求出各有关向量的坐标,利用数量积公式,将题设条件转 化为 f ( x,y) ? 0 即所求轨迹方程;(II)求夹角公式,结合(I)知 f ( x0 ,y0 ) =0,先 求出 cos ? ,进而求出 tan ? 。 解:(I)设 P(x,y),则 M(-1,0)、N(1,0),得

?

?

? ? PM ? ? MP ? (?1 ? x, ? y) , ? ? PN ? ? NP ? (1 ? x, ? y) ? ? MN ? ? NM =(2,0) ? ? 所以 MP · MN ? 2(1 ? x ) ? ? PM · PN ? x 2 ? y 2 ? 1 ? ? NM · NP ? 2(1 ? x) ? ? ? ? ? ? 于是, MP · MN , PM · PN , NM · NP 是公差小于零的等差数列,等价于 1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x ) ? 2(1 ? x )] 2 ? ? ?2(1 ? x ) ? 2(1 ? x ) ? 0 ?x 2 ? y 2 ? 3 ?? ?x ? 0
所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆(除去两端点)。 (II)因为点 P( x0 ,y0 ) 在右半圆 x ? y ? 3( x ? 0) 上,
2 2

2 2 所以 x0 ? y0 ? 3且0 ? x0 ?

则 PM · PN ? x0 ? y0 ? 1 ? 2
2 2

?

?

3

? ? | PM || PN |

2 2 ? (1 ? x 0 ) 2 ? y 0 (1 ? x 0 ) 2 ? y 0

? (4 ? 2 x 0 )(4 ? 2 x 0 )
? ? PM · PN 所以 cos? ? ? ? ? | PM || PN |
因为 0 ? x0 ? 所以
2 ? 2 4 ? x0

1
2 4 ? x0

3

1 ? ? cos? ? 1, 0 ? ? ? 2 3 1 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? 2 4 ? x0

?

2 3 ? x0 , 2 4 ? x0

所以 tan ? ?

sin ? 2 ? 3 ? x0 ?| y 0 | 。 cos?

三、与垂直有关的问题

? ? ? b ? ( x 2 ,y 2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。这是体现“垂直”内涵的等式,借此可
把解析几何复杂的位置关系转化为纯粹的向量运算。所以解析几何中涉及到垂直问题(垂 直的判断或应用),利用这些向量关系式求解是非常方便的。

对 于 非 零 向 量 a 、 b , 有 a ⊥ b ? a · b ? 0 ; 若 a ? ( x1 ,y1 ) ,

?

?

?

?

?

?

?

例 4. 已知直线 l:y ? x ? b 和圆 O:x 2 ? y 2 ? 1 ,问是否存在实数 b,使从点 A(3,3) 发出的光线被直线 l 反射后与圆 O 相切于点 B(

24 7 , ) ?若存在,求出 b 的值;若不存 25 25

在,说明理由。 分析: 假设存在这样的 b, 则 OB 垂直于反射线所在直线 A'B (A'为 A 关于 l 的对称点) , 利用 OB ⊥ A' B 的条件便可获解。 解:假设存在满足条件的实数 b,易得点 A(3,3)关于直线 l:y ? x ? b 的对称点 A' (3-b,3+b),则反射光线所在的直线为 A'B,如图 2

?

?

? 24 7 , ) 因为 OB ? ( 25 25

图2

? 24 7 A' B ? ( ? 3 ? b, ? 3 ? b) , 25 25 ? ? 又 OB ⊥ A' B ? ? 24 24 7 7 ( ? 3 ? b) ? ( ? 3 ? b) ? 0 则 OB · A' B ? 25 25 25 25 解得 b ? 4
所以符合所给条件的实数 b 存在,其值为 4。 评注:本题解法虽多,但利用向量知识求解显得简捷明快。 例 5. 如图 3,过抛物线 x 2 ? 4 y 的对称轴上任一点 P(0,m) (m ? 0) ,作直线交抛物 线于 A、B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点,设 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,试证:

?

? ? ? QP ⊥(QA? ? QB) 。

图3

分 析 : 欲 证 得 结 论 , 需 要 分 别 求 出 QP 、 QA 、 QB 的 坐 标 , 为 此 设

?

?

?

A( x1 ,y1 ) 、B( x2 ,y2 ) ,AB: y ? kx ? m ,将其代入抛物线方程后求出 x1 ? x 2 , x1 x2 , 且易求出各有关向量坐标及 ? 的坐标表示,然后通过向量运算和向量垂直的充要条件使结
论获证。 证明:依题意设 AB:y ? kx ? m ,代入 x ? 4 y ,得
2

x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 (*) 设 A( x1 ,y1 ) 、B( x2 ,y2 ) ,则由(*),得 x1 ? x2 ? 4k,x1 x2 ? ?4m ? 由点 P(0,m)分有向线段 AB 所成的比为 ? ,得 x1 ? ?x 2 x ? 0 ,从而得 ? ? ? 1 1? ? x2
因点 Q 与点 P 关于原点对称,则 Q(0,-m),从而得:

? ? ? QP ? (0,2m) , QA ? ( x1 ,y1 ? m) , QB ? ( x 2 ,y 2 ? m) , ? ? QA? ? QB ? ( x1 ,y1 ? m) ?? ( x 2 ,y2 ? m) ? ( x1 ? ?x2 ,y1 ? ?y2 ? (1 ? ? )m) ? ? ? 于是 QP · (QA? ? QB)

? 2m[ y1 ? ?y2 ? (1 ? ? )m]
2 x12 x1 x 2 x ? ? (1 ? 1 )m] 4 x2 4 x2 x x ? 4m ? 2m( x1 ? x 2 ) 1 2 4 x2

? 2m[

? 2m( x1 ? x 2 )

?4m ? 4m 4 x2

?0 ? ? ? 所以 QP ⊥ (QA? ? QB) 。
通过以上各例使我们体会到:(1)利用向量数量积求解解几题的一般思路是,把线段 或角化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量运算而获解。(2)利用向 量求解具有容易掌握的规律性。


平面向量数量级在解析几何中的应用.doc

平面向量数量级在解析几何中的应用 - 平面向量的数量积在解析几何中的应用 尹建堂

平面向量的数量积及其应用-高考数学核心考点专题突破.doc

平面向量的数量积及其应用-高考数学核心考点专题突破_数学_高中教育_教育专区。...4 【解法 3】 (解析几何法)以点 B 为坐标原点,线段 AC 所在的直线为 x ...

平面向量的数量积在解析几何中的应用.pdf

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学 ...平面向量的数量积在解析几何中的应用 隐藏>> 分享到: X 分享到: 使用一键...

平面向量在解析几何中的应用.doc

平面向量在解析几何中的应用 - 平面向量在解析几何中的应用 ---高三专题复习课教学案例 福建省福州格致中学宋建辉 一、引言: 平面向量高中数学的新增内容,...

高中数学高考专题讲座平面向量与解析几何全国通用.doc

高中数学高考专题讲座平面向量解析几何全国通用_数学...学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用...本题中把条件中的角为钝角 转化为向量的数量积为...

高考数学专题5.2 平面向量的数量积及其应用(原卷版)Wor....doc

高考数学专题5.2 平面向量的数量积及其应用(原卷版)Word版无答案_高考_高中...往往和解析几何结合出题,函数等结合出题,与三角 结合出大题在新课标卷中还没...

高三数学专题平面向量与解析几何相结合教案--高中数学.doc

搜试试 5 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高三数学专题平面向量解析几何相结合教案--高中数学...㈡运用向量的 数量积处理解几中有关长度、角度、...

2018年数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积及其应用(讲).doc

2018年数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积及其应用(讲)_数学_高中教育_教育...2013?浙江文 17;理 7,17; 2.与三角函数、解析 几何等相结合,以工 具的...

2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面....doc

高中教育 高考2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学...向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的...

2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面....doc

高中教育 高考2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学...向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的...

2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面....doc

数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案理_高考_高中教育_...向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的...

高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的....doc

高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案文_高考_高中...向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的...

高考数学二轮专题复习教案(18):平面向量与解析几何doc.doc

高考数学二轮专题复习教案(18):平面向量解析几何doc_高考_高中教育_教育专区。第18讲 平面向量解析几何 学 科网 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在...

2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面....doc

数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案文_高考_高中教育_...向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的...

2019年专题26 平面向量的数量积及应用(检测)-2019年高....doc

高三语文2019年专题26 平面向量的数量积应用(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘...向量夹角为锐角、钝角时注意问题 6.向量数量积在解析几何中应用 7.向量数量积...

专题26 平面向量的数量积及应用(检测)-2019年高考数学(....doc

高中教育专题26 平面向量的数量积应用(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一...向量夹角为锐角、钝角时注意问题 6.向量数量积在解析几何中应用 7.向量数量积...

2019年高考数学一轮总复习专题26平面向量的数量积及应....doc

2019年高考数学一轮总复习专题26平面向量的数量积应用检测文_高考_高中教育_...向量夹角为锐角、钝角时注意问题 6.向量数量积在解析几何中应用 7.向量数量积...

名师推荐高中数学平面向量的数量积及平面向量应用举例....ppt

名师推荐高中数学平面向量的数量积及平面向量应用举例人教版必修4_幼儿读物_幼儿...而平面向量与 解析几何、函数、三角函数等相结合的题目在高考试题中屡 见不鲜,...

平面向量在解析几何中的应用.doc

平面向量在解析几何中的应用 - 平面向量在解析几何中的应用 0 引言 高三数学复习课教学,是高中数学教学的重要课型.平面向量高中数学的 新增内容,也是新高考的一...

高中数学平面向量的数量积及平面向量应用举例人教版必....ppt

高中数学平面向量的数量积及平面向量应用举例人教版必修4资料_幼儿读物_幼儿教育_...而平面向量与 解析几何、函数、三角函数等相结合的题目在高考试题中屡 见不鲜,...