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江苏省淮安中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

时间:2013-02-11


江苏省淮安中学 2012-2013 学年度高二第一学期期中试卷 数 学 学 科

一.填空题(本题共 14 小题,每题 5 分,合计 70 分,请将答案写在答题纸上) 1.在平面直角坐标系中,直线 y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? 的大小是____▲_______ 2. 已知直线 a ? 平面 ? ,直线 b // 平面 ? ,则直线 a , b 的位置关系是 ▲_ 3. 两个相交平面能把空间分成

D1 M

.
B1
E

C1

A1
D A



个部分

4.下列四个条件中,能确定一个平面的只有 ①空间中的三点 ③一条直线和一个点 ②空间中两条直线 ④两条平行直线



.(填序号)

.

C
B

(第 6 题图)

5.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 3x ? 4 y ? m ? 0 之间的距离是 1,则 m=

▲_

6.如图,在边长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上一点,M 是棱 D1C1 上一点,则三棱锥 M-DEC 的体积是 ▲ ▲

7.已知A,B两点都在直线 y ? 2 x ? 1 上,且A,B两点横坐标之差为 2 ,则A,B之间的距离为 8.点 A(4,5) 关于直线 l 的对称点为 B(?2, 7) 则直线 l 的方程为_____▲_____. 9.三条直线 x ? y ? 1 ? 0,2 x ? y ? 8 ? 0, ax ? 3 y ? 5 ? 0 不能围成三角形,则 a 的取值集合 是 ▲_ 10. 设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ②若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ; ④若 ? I ? ? l , ? I ? ? m , ? I ? ? n , l // ? ,则 m // n 。 其中命题正确的是



. (填序号) ▲ .

11.直线 x ? y sin ? ?1 ? 0 ( ? ? R )的倾斜角范围是

12.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知射线 OA : x ? y ? 0( x ? 0), OB : x ? 2 y ? 0( x ? 0) , 过点 P(2, 0) 作直线分别交射线 OA 、 OB 于点 E 、 F ,若 EP ? PF ,则直线 EF 的斜率为

uur

uuu r



_

13.如图,矩形 ABCD 与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直,将 ?DEF 沿 FD 翻折,翻折后的点 E 恰 与 BC 上的点 P 重合.设 AB ? 1 , FA ? x( x ? 1) , AD ? y ,则当 x ? _____ ▲_____时, y 有最小值. 14.平面直角坐标系中, ?ABC 三个顶点的坐标为 A(a,0),B(0,b),C(0,c), 点 D(d,0)在线段 OA 上(异于端点) ,设 a,b,c,d 均为非零实数,直线 BD 交 AC 于点 E,则 OE 所在的直线方程为 ▲_ B P C A D F E

二.解答题(本题共 6 题,合计 90 分,请将答案写在答题纸上) 15.(本题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-2,1) ,直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 。 (1)若直线 m 过点 A,且与直线 l 垂直,求直线 m 的方程; (2)若直线 n 与直线 l 平行,且在 x 轴、 y 轴上的截距之和为 3,求直线 n 的方程。

16.(本题满分 14 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; C1 D1 (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. A1 B1

E A

D F B

C

17. (本题满分 14 分)已知直线 l1 : (a-2) x ? 3 y +a ? 0 和 l2 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 。 (1)当 l1 ∥ l2 时,求 a 的值(2)当 l1 ⊥ l2 时求 a 的值及垂足的坐标

18. (本题满分 16 分)如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1D , AB ? AD . 求证: (1) AA1 ? BD ; (2) BB1 // DD1 . A1 B1 D1 C1

D A B
(第 18 题)

C

19. (本题满分 16 分)已知直线 l : (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1 (1)求证:不论实数 a 取何值,直线 l 总经过一定点. (2)为使直线不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. (3)若直线 l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求 l 的方程.

M ,Q 20. (本题满分 16 分) 如图: AD=2,AB=4 的长方形 ABCD 所在平面与正 ?PAD 所在平面互相垂直, 分别为 PC, AD 的中点. (1)求四棱锥 P - ABCD 的体积; (2)求证: PA // 平面 MBD ; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N ,使得平面 PCN ? 平面 PQB ?若存在,试指出点 N 的位 置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

★21.(本题为实验班竞赛班做) (本题满分 20 分)设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1, k2 满足 k1k2+1=0. (Ⅰ)证明:直线 l1 与 l2 相交; (Ⅱ)试用解析几何的方法证明:直线 l1 与 l2 的交点到原点距离为定 值. (Ⅲ)设原点到 l1 与 l2 的距离分别为 d1 和 d2 求 d1+d2 的最大值

江苏省淮安中学 2012-2013 学年度高二第一学期期中试卷 数
1. 0 2.







答 案
6.

a?b

3. 4

4. ④

5. 2 或-8

1 3 a 6

7.

10

3, ? 6} (课本 P85,8 题改编) 8. 3x ? y ? 3 ? 0 (课本 P115 章末测试,8 改编)9. { ,
10. ②④ 11. [ , ]

? 3?
4

1 3

14.

4 1 1 1 1 ( ? )x ? ( ? ) y ? 0 d a b c

12. -2(课本 P94,14 题改编)13. X= 2

15. 解: (1)由题意,直线 l 的斜率为 2,所以直线 m 的斜率为 ? 所以直线 m 的方程为 y ? 1 ? ?

1 2

1 ?x ? 2? ,即 x ? 2 y ? 0 。 2 b 。 (8 分) 2

(2)由题意,直线 l 的斜率为 2,所以直线 n 的斜率为 2, 设直线 n 的方程为 y ? 2 x ? b 。令 x ? 0 ,得 y ? b ;令 y ? 0 ,得 x ? ? 由题知 b ?

b ? 3 ,解得 b ? 6 。所以直线 n 的方程为 y ? 2 x ? 6 ,即 2 x ? y ? 6 ? 0 。 2

16.证明(1)证明:连结 BD.在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD .

? EF // B1D1 . 又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,? EF∥平面 CB1D1.
(2)因为 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,? AA1⊥B1D1.又因为在 正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,

? B1D1⊥平面 CAA1C1.

又因为 B1D1? ? 平面 CB1D1,? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1

17.解答: (1)a=2 或 a=0 时, l1 与 l2 不平行。? a ? 0且a ? 0

由 l1 ∥ l2 得:

a?2 3 a 7 ? 33 ? ? 。解得 a ? a a ? 2 ?1 2

- ) (2)a=2 时,垂足为 ( ,

1 2 2 3

a ? ?3 时,垂足为 ( ?

9 2 , ) 17 17

18.证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1M ,因为 A1 D ? A1B , AD ? AB 所以 BD ? AM , BD ? A1M 又 AM ? A1M ? M , AM 、A1M ? 平面 A1 AM ,所以 BD ? 平面 A1 AM .而
AA1 ? 平面 A1 AM ,所以 AA1 ? BD .

(2)因为 AA1 // CC1 , AA1 ? 平面 D1DCC1 , CC1 ? 平面 D1DCC1 ,所以 AA1 // 平面 D1DCC1 . 又 AA1 ? 平面 A1 ADD1 ,平面 A1 ADD1 ? 平面 D1 DCC1 ? DD1 ,所以 AA1 // DD1 .同理得 AA1 // BB1 ,所以
BB1 // DD1

19.解: (1)直线方程整理得: a(3x ? y) ? (? x ? 2 y ? 1) ? 0 所以直线恒过定点 ( , ) (2)当 a=2 时,直线垂直 x 轴。当 a ? 2 时由(1)画图知:斜率 k ? 3 得 a ? 2 综上: a ? 2 (3) 由 题 知 k ?

1 3 5 5

3a ? 1 1 1 ?1 ? 0 则 a?( , 2) 令 y=0 则 x ? , 令 x=0 则 y ? .所以 a?2 3 3a ? 1 a?2

s? ?

1 1 ? 1 1 1 ? ? 2 3 a? 1 a? 2 2 a (? 3 a 1? )(

2)

所以当 a ?

7 时三角形面积最小, l : 5 y +15 x ? 6=0 6

20(1)解:正 ?PAD 中,Q 为 AD 的中点故 PQ ? AD

? ? 平面PAD ? 平面ABCD ? AD ? 由 ? ? PQ ? 平面ABCD . PQ ? 平面PAD ? ? PQ ? AD ?

平面PAD ? 平面ABCD

? Q ? 平面ABCD PQ 长为 P 到平面 ABCD 的距离.因为 AD ? 2 ,所以 PQ ? 3
所以,

v

P ? ABCD

?

8 3 3

(2)证明:连 AC 交 BD 于 O ,连 MO 则 O 为 AC 中点,因为 M 为 PC 中点, 所以 MO / / AP , 又 AP ? 平面MBD , MO ? 平面MBD ,则 AP / /平面MBD .

(3)当 BN=

1 时,平面 PCN ? 平面PQB . 2

证明如下:由(1)证明知 PQ ? 平面ABCD ,又 CN ? 平面ABCD ,则 PQ ? CN 又因为长方形 ABCD 中由相似三角形得,则 CN ? BQ

?CN ? 平面PQB

又? CN ? 平面PCN 所以,平面 PCN ? 平面PQB .

21. 解: (Ⅰ)反证法:假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,有 k1=k2,代入 k1k2+1=0,得 k2 1+2 =1.此与 k1 为实数的事实相矛盾,从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交. (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知 k1 ? k2 由方程组?
?y=k1x+1, ? ?y=k2x-1, ?

? ?x=k -k , 解得交点 P 的坐标(x,y)为? k +k y= ? ? k -k ,
2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ?k2+k1?2=4+k2+k1+2k1k2=k1+k2+2=1. 而 x2+y2=?k -k ?2+? ? 2 2 2 ? 2 1? ?k2-k1? k2+k1-2k1k2 k1+k2 2+2

2

即 l1 与 l2 的交点到原点距离为 1
?y-1=k1x, ? 方法二:交点 P 的坐标(x,y)满足? ?y+1=k2x, ?

1 , ?k =y- x 故知 x≠0,从而? y+1 ?k = x .
1 2

y-1 y+1 代入 k1k2+1=0,得 · +1=0.整理后,得 x2+y2=1 得证。 x x (Ⅲ)方法一:

d1 ? d 2 ?

1 1 ? k12

?

1 1 ? k2 2

?

1 1 ? k12

?

1 1 ? (? 1 2 ) k1

?

1 1 ? k12

?

k1 1 ? k12

?

1 ? k1 1 ? k12

?

(1 ? k1 ) 2 2 k1 2 ? 1? ? 1? 2 2 1 1 ? k1 1 ? k1 ? k1 k1

?当 k1 ? 1即k1 = ? 1时,d1 ? d2最大值为 2
方法二: o,d1,p,d2 为矩形,?d1 ? d2 ? op ? 1
2 2 2

?(

d1 ? d 2 2 d12 ? d 2 2 1 )? ? ? d1 ? d 2 ? 2 当且仅当 d1 =d2 时取“=” ?d1 ? d2最大值为 2 2 2 2


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