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人教A版高中数学必修三课件高考一轮复习:2.3《变量间的相关关系》_图文

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高中数学课件
灿若寒星整理制作

第3课时 变量间的相关关系

双基研习·面对高考
基础梳理
1.两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中,点散布在从_左__下__角_到__右__上__角的区 域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它 称为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从_左__上__角_到__右__下__角的区 域,两个变量的这种相关关系称为负相关.

(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _一__条__直__线__附__近___________,就称这两个变量之间具 有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. 2.回归方程 (1)最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 __距__离__的__平__方__和__最__小_____的方法叫做最小二乘法.

(2)回归方程
方程^y=bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一 组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程, 其中 a,b 是待定参数.

思考感悟 相关关系与函数关系有什么异同点? 提示:相同点:两者均是指两个变量的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系,相关关 系是一种非确定的关系.②函数关系是一种因果 关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是 伴随关系.

3.回归分析 (1)定义:对具有__相__关__关__系__的两个变量进行统计 分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心 在具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2), …,(xn,yn)中,回归方程的截距和斜率的最小二 乘估计公式分别为:

n

?
^b=i=1

?xi-

x

??yi-

y

? ,^a=__y_-__^b__x___.

n
? ?xi- x ?2

i=1

其中( x , y )称为样本点的中心.

(3)相关系数 当r>0时,表明两个变量__正__相__关__; 当r<0时,表明两个变量_负__相__关__._____ r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性 __越__强__.__r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之 间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于_0_._7_5时, 认为两个变量有很强的线性相关性.

4.独立性检验 (1)分类变量的定义 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别, 像这样的变量称为__分__类__变__量__.__ (2)2×2列联表 一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分 别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2 列联表)为

x1
x2 总计

y1 a ac+c _______

y2 b b+d d ______

总计 a+____b_a_c+_++___c_bd_+___d __________

n?ad-bc?2

K2=_?_a_+__b_??_c_+__d_?_?a_+__c_?_?_b_+__d_? ___,用它的大小可

以决定是否拒绝原来的统计假设H0,如果K2值较 大,就拒绝H0,即拒绝__事__件__A_与__B_无__关__.__

课前热身
1.下列关系中,是相关关系的为( ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 答案:A

2.有关线性回归的说法,不正确的是( ) A.具有相关关系的两个变量是非确定关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之 间的关系 D.散点图中的点越集中,两个变量的相关性 越强 答案:D

3.对于事件A和事件B,通过计算得到K2的观测值 k≈4.514,下列说法正确的是( ) A.有99%的把握说事件A和事件B有关 B.有95%的把握说事件A和事件B有关 C.有99%的把握说事件A和事件B无关 D.有95%的把握说事件A和事件B无关 答案:B

4.据两个变量x,y之间的观测数据画成散点图 如图,这两个变量是否具有线性相关关系 __________(填“是”或“否”).
答案:否

5.已知回归方程为^y=0.50x-0.81,则 x=25 时,y 的估计值为________.
答案:11.69

考点探究·挑战高考
考点突破
判断两个变量的相关关系
(1)判断两变量之间有无相关关系,一种常用的 简便可行的方法是绘散点图.散点图是由数据点 分布构成的,是分析研究两个变量相关关系的重 要手段,从散点图中,如果发现点的分布从整体 上看大致在一条直线附近,那么这两个变量是线 性相关的. (2)用回归直线进行拟合两个变量的关系.

5例个1学生的数学和物理成绩如下表:

学生

学科

AB C D E

数学 80 75 70 65 60

物理 70 66 68 64 62

画出散点图,判断它们是否有相关关系.

【思路分析】

明确x,y, 建立坐标系



画散 点图

判断相 → 关关系

【解】 以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可 得到相应的散点图如图所示:
由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为线性 相关.

【规律小结】 判断两变量是否有相关关系很容易 将相关关系与函数关系混淆.相关关系是一种非确 定性关系,即是非随机变量与随机变量之间的关系, 而函数关系是一种因果关系,如例1中以数学成绩 为x轴,以物理成绩为y轴,建系描点后,可知两者 并不是函数关系,而是相关关系,并且是线性相关 关系.

回归方程的求法及回归分析
(1)线性回归方程. ①关键是求回归系数a^、b^,其中b^可借助于计算器完成. ②回归直线一定过点( x , y ). (2)求线性回归方程的步骤. ①先把数据制成表,从表中计算出 x 、 y 、x21+x22+… +x2n、x1y1+x2y2+…+xnyn 的值; ②计算回归系数^a,^b;
③写出线性回归方程 ^y = b^x+a^.

下例表2提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产 品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y( 吨标准煤)的几组对照数据.

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求 出 y 关于 x 的线性回归方程^y=bx+a. (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=
66.5)

【思路分析】

画散 点图

―最―小→
二乘法

求线性 回归方程

【解】 (1)由题设所给数据,可得散点图如图所 示:

4
(2)对照数据,计算得 ?x2i =86, i=1 x =3+4+4 5+6=4.5, y =2.5+3+4 4+4.5
=3.5,
4
已知 ?xiyi=66.5, i=1

所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

4

?xiyi-4 x y

i=1
b=
4

=66.58-6-4×4×4.45.×52 3.5=0.7,

?x2i -4 x 2

i=1

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35.

因此,所求的线性回归方程为^y =0.7x+0.35.

【名师点评】 (1)利用公式 b=
n
?xiyi-n x y
i=1
,a= y -b x 来计算回归系
n
?x2i -n x 2
i=1
数,有时为了方便,常制表对应出 xiyi,x2i , 以便应用求和公式.

互动探究1 在本例条件下,若该厂技改前100吨甲 产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的 线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗 比技改前降低多少吨标准煤? 解:由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的 生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+ 0.35)=19.65(吨标准煤).

独立性检验
独立性检验的一般步骤. (1)根据样本数据制成 2×2 列联表; (2)根据公式 K2=?a+b??nc+?add-??ab+c?c2??b+d?,计 算 K2 的值; (3)查表比较 K2 与临界值的大小关系,作统计 判断.

某例班3主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工 作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:

积极参加班 不太主动参

级工作 加班级工作

学习积极性高

18

7

学习积极性一般

6

19

合计

24

26

合计
25 25 50

试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积 极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理 由. 【思路分析】 根据公式K2计算后与临界值比较.
【解】 由 K2=50× 24?×182×6×192-5×6×257?2=11.54. ∵K2>6.635, 故可以有 99%的把握认为学生的学习积极性与对 待班级工作的态度有关系.

【规律小结】 独立性检验应注意的问题. (1)在列联表中注意事件的对应及有关值的确定, 避免混乱. (2)若要求判断X与Y无关,应先假设X与Y有关 系.

互动探究2 在本例条件下,如果随机抽查这个班 的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的 概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积 极性一般的学生的概率是多少?

解:随机抽查一名学生有 50 种不同的抽法, 积极参加班级工作的学生有 18+6=24 人,故 P1=2540=1225. 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的 学生有 19 人,
∴P2=1590.

方法感悟
方法技巧 1.求回归方程,关键在于正确求出系数a,b, 由于a,b的计算量大,计算时应仔细谨慎,分 层进行,避免因计算而产生错误.(注意回归直 线方程中一次项系数为b,常数项为a,这与一 次函数的习惯表示不同)

2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方 法.主要解决:(1)确定特定量之间是否有相关关 系,如果有就找出它们之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量 取值的变化趋势;(3)求出回归直线方程. 3.独立性检验是一种假设检验,在对总体的估 计中,通过抽取样本,构造合适的随机变量,对 假设的正确性进行判断.

失误防范 1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时, 求出的回归直线方程才有实际意义,否则,求 出的回归直线方程毫无意义. 2.根据回归方程进行预报,仅是一个预报值, 而不是真实发生的值.

3.r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的 好坏,R2才是判断拟合效果好坏的依据. 4.独立性检验的随机变量K2=2.706是判断是否有 关系的临界值,K2<2.076应判断为没有充分证据显 示X与Y有关系,而不能作为小于90%的量化值来 判断.

考向瞭望·把脉高考
考情分析
从近几年的高考试题来看,高考对此部分内容考 查有加强趋势,主要是以考查独立性检验、回归 分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来考 查一些基本的统计思想,在高考中多为选择、填 空题,也有解答题出现. 预测2012年高考,散点图与相关关系仍是考查的 重点,同时应注意线性回归方程、独立性检验在 实际生活中的应用.

真题透析

(本例题满分12分)(2010年高考课标全国卷)为调查某 地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机 抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别

是否需

男女

要志愿者

需要

40 30

不需要

160 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助 的老年人的比例; (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否 需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来 估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助 的老年人的比例?说明理由.

【解】 (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需 要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需 要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值 为57000=14%.4 分 (2)K2=5002×0?04×0×30207×0-703×0×431060?2≈9.967.
由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该
地区的老年人是否需要帮助与性别有关.9 分

(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与 性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老 年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的 比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽 样方法,比采用简单随机抽样方法更好.12分

【名师点评】 本题考查了独立性检验,考生在求 解时有一定难度;导致考生在该题得分较低,错误 原因为:一是a、b、c、d所表示数字对应错,二是 第(3)问中分析不到位,有个别考生有乱说现象.

名师预测
1.以下四个命题中,其中正确的是( ) ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样 的抽样是分层抽样 ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对 值越接近于1

③在回归直线方程^y=0.2x+12 中,当解释变

量 x 每增加一个单位时,预报变量^y平均增加

0.2 个单位

④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K2 的

观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”的

把握程度越大

A.①④

B.②④

C.①③

D.②③

解析:选D.①是系统抽样;对于④,随机变量 K2的观测值k越小,说明两个变量有关系的把握 程度越小.

2.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组

数据: 月份x 用水量y

1 23 4 4.5 4 3 2.5

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好

的线性相关关系,其线性回归直线方程是^y =

-0.7x+a,则 a 等于( )

A.10.5

B.5.15

C.5.2

D.5.25

解析:选 D. x =2.5, y =3.5, ∵回归直线方程过定点( x , y ), ∴3.5=-0.7×2.5+a. ∴a=5.25,故选 D.

3.下面是一个2×2列联表

x1
x2 总计

y1

y2

a

21

2

25

b

46

总计 73 27

则表中a、b处的值分别为________. 解析:∵a+21=73,∴a=52. 又∵a+2=b,∴b=54. 答案:52、54


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