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清华大学微积分A(1)第9次习题课题目

时间:2013-12-21


作者:闫浩, 章纪民

2013 年 9 月

微积分 A(1)第九次习题课题目(第十四周)
教学目的:本周习题课练习的是广义积分、瑕积分的有关内容,希望同学们掌握被积函数 不变号时广义积分、瑕积分的判敛的比较判别法(不等式形式与极限形式) ,了解一般函数 的广义积分的 Abel 与 Dirichlet 判别法,掌握广义积分、瑕积分的 Cauchy 收敛准则,会 计算简单的广义积分。 广义积分 1.判断下列广义积分的敛散性. (1)

?

??

x ln x x ?1
5

1

dx

(2)

? ?

? 0

1 sin x

dx

(3)

? ?

?? 0

arctan x dx xp ln(1 ? x) dx xp
2

(4)

?

??

0

? ? 1? 1 ? ?ln?1 ? x ? ? 1 ? x ? dx ? ? ? ?
ln x dx x (1 ? x) 2

(5)

? 2 0

dx p sin x cos q x sin x 2 dx xp

(6)

??

0

(7)

?

1

0

(8)
p

?

??

0

(9)

?

??

0

(?1)[ x ] dx

(10).

?

??

1

? x ?1 ? ln( ) dx ( p ? 0) ; ? ? 1? x ? ?
??

2.如果 f ( x) 在 [a,??) 上非负且一致连续, ?a
x ? ??

f ( x)dx 收敛,证明: lim f ( x) ? 0 .
x ? ??

如果将非负条件去掉,是否仍然有 lim f ( x) ? 0 ?如果是,请证明;如果不是,请举反例。 如果去掉 f ( x) 一致连续的条件,结论是否成立?如果成立,证明;如果不成立,举出反例。 3.证明以下命题: (1) (2) (3)

? ? ?

??

a ??

f ( x)dx 收敛, lim f ( x) 存在,证明: lim f ( x)=0 .
x ??? x ???

a ??

f ( x)dx 收敛, f ( x) 在 [a, ??) 上单调,证明: lim f ( x)=0 .
x ???

a

f ( x)dx 收敛, f ( x) 在 [a, ??) 上单调,证明: lim xf ( x)=0 .
x ???

(4) f ( x) 在 [ a, ??) 上连续可微,

?

??

a

f ( x)dx ,?

??

a

f ?( x)dx 均收敛,证明: lim f ( x)=0 .
x ???

(5) f ( x) 在 [ a, ??) 上可微,单调,且

?

??

a

f ( x)dx 收敛,则 ?

??

a

xf ?( x)dx 收敛.
x ?0 ?

(6) f ( x) 在 (0,1] 上单调,且 lim f ( x)=+? ,且
x ?0 ?

?

1

0

f ( x)dx 收敛,证明: lim xf ( x)=0 .
??

(7)设

?

??

a

f ( x ) dx 绝对收敛,且 lim f ( x ) ? 0 ,证明 ? a f 2 ( x )dx 收敛。
x ???

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作者:闫浩, 章纪民

2013 年 9 月

(8)设 f ( x ) 单调下降,且 lim f ( x ) ? 0 ,证明:若 f ?( x ) 在 [0,?? ) 上连续,则反常积分
x ???

?0

??

f ?( x ) sin 2 x dx 收敛。
??

4.讨论 p 为何值时,广义积分 ?1 5.计算下列广义积分 (1)

sin x dx 绝对收敛、条件收敛、发散。 x ? sin x
p

?

?? 0

1 (1 ? 5 x 2 ) 1 ? x 2

dx 。

(2)

?

?? 1

arctan x dx . x2

(3)

?

?? 0

xe ? x dx 。 (1 ? e ? x ) 2

(4)

?

??

dx e2 x ? 1
]

1

(5)设常数 a ? 0 ,若

?

?? 1 1 dx ? ? dx ,则 a ? [ 2 0 1? x a 1? x2 a

(6)已知

?

??

0

2 ? ? sin x ?? sin x cos x sin x ? dx dx ? ,求 ? dx ,及 ? 0 0 x2 x 2 x
+? +?

6.请举一例,使得 ? | f ( x) | dx 收敛,但 ?
1

1

f 2 ( x)dx 发散.(与 Riemann 积分不同,Riemann

积分下, | f ( x) | 可积分与 f 2 ( x) 可积分等价)

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