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江西省于都中学高中数学 1.1直角坐标系教案 北师大版选修4-4

时间:2016-03-10

高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程
一、【课程目标】 本专题的内容包括: 坐标系、 曲线的极坐标方程、 平面坐标系中几种变换、 参数方程。 通过本专题的教学,使学生简单了解柱坐标系、球坐标系,掌握极坐标和参数方程的 基本概念,了解曲线的多种表现形式;通过从实际问题中抽象出数学问题的过程,使学生 体会数学在实际中的应用价值;培养学生探究数学问题的能力和应用意识。 二、【知识结构网络】

坐标系与参数方程
坐标系
直角坐标系 极坐标系 球坐标系与柱坐标系 平移变换、 伸缩变换

曲线的极 坐标方程
意义

平面坐标系 中的变换 参数方程

直线、圆、 圆锥曲线

意义、互化、应用、欣赏
第一章 【课标要求】 1.坐标系:了解极坐标系;会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;会进行极坐标和直 角坐标的互化。了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法(本节内容不作 要求)。 2.曲线的极坐标方程:了解曲线的极坐标方程的求法;会进行曲线的极坐标方程与直角 坐标方程的互化;了解简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆)的极坐 标方程。 3.平面坐标系中几种常见变换(本节内容不作要求)了解在平面直角坐标系中的平移变 换与伸缩变换。 第一课时直角坐标系 一、教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
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坐标系

二、重难点:教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、平面直角坐标系与曲线方程 1、教师设问:问题 1:如何刻画一个几何图形的位置?问题 2:如何创建坐标系?问 题 3:(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系?(2).平面直角坐标系中点和 有序实数对(x,y)是怎样的关系?问题 4:如何研究曲线与方程间的关系?结合课本例子 说明曲线与方程的关系? 2、思考交流:(1).在平面直角坐标系中,圆心坐标为(2,3)、 5 为半径的圆的方程 是什么? (2).在平面直角坐标系中,圆心坐标为(a,b)半径为 r 的圆的方程是什么? 3、 、学生活动:学生回顾并阅读课本,思考讨论交流。教师准对问题讲解。 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 (1) 、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定 (2) 、平面直角坐标系 :在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并 确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对(x,y)确定 (3) 、空间直角坐标系 :在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定 这三条直线的交点为原点, 并确定了度量单位和这三条直线方向, 就建立了空间直角坐标 系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 (4) 、 抽象概括: 在平面直角坐标系中, 如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系:A.曲线 C 上的点坐标都是方程 f(x,y)=0 的解;B.以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上。那么,方程 f(x,y)=0 叫作曲线 C 的方程,曲线 C 叫作方程 f(x,y)=0 的曲线。 (5) 、学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。 4、学生练习:课本 P3 练习中 1、2 题。 5、建系时,根据几何特点选择适当的直角坐标系。 (1)如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
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(二) 、平面直角坐标轴中的伸缩变换 1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变 x 轴或 y 轴的单位长度,将会对图形产生 影响。 2、探究:(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为 原来的 ,就得到正弦曲线 y=sin2x。上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,
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即:设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 保持纵坐标不变, 将横坐标 x 缩为原来 2 ,

得到点 P’(x’,y’).坐标对应关系为 压缩变换。

?

x '? 1 x 2 y '? y
通常把叫做平面直角坐标系中的一个

(2)怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线 y=sinx 上 任取一点 P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为原来的 标变为原来的 3 倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. ,在此基础上,将纵坐

设点 P(x,y)经变换得到点为 P’(x’,y’)

{

x' ? 1 x 2 y ' ?3 y
这就是变换公式。通常把这

样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。 3、 例题: 课本 P4 例 1.在下列平面直角坐标系中, 分别作出以圆点为圆心, 6 为半径的圆: (1)、x 轴与 y 轴具有相同的单位长度; (2) 、X 轴上的单位长度为 Y 轴上单位长度的 2
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倍; (3) 、X 轴上的单位长度为 Y 轴上单位长度的 2 倍。 教师分析:关键是建立坐标伸缩变换关系式。 学生练习,教师准对问题讲评。 反思归纳:在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换,关键是探析坐标伸缩变换公式。 4、巩固训练:课本 P6 页练习题。 (三)求轨迹方程 1. 一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、 B 两地相距 800 米,并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程。

2. 在面积为 1 的 ?PMN 中,tan ?PMN ?

1 , tan ?MNP ? ?2 , 建立适当的坐标系, 2
3

求以 M,N 为焦点并过点 P 的椭圆方程。

教师分析,学生练习,准对问题讲评。 反思归纳:求轨迹方程的方法和一般步骤。方法:定义法、直接法、相关点法、待定 系数法、参数法。一般步骤: (1) 、恰当建系; (2) 、分析曲线特征,揭示隐含条件; (3) 、 找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件; (4)列出方程。 (四) 、小结:本节课学习了以下内容:1.如何建立直角坐标系; 2.建标法的基本步骤; 3.什么时候需要建标;4、求轨迹方程的方法和一般步骤;5、在平面直角坐标系中进行 坐标伸缩变换,关键是探析坐标伸缩变换公式。 (五) 、作业:课本 P7 页 3、8、9、11 五、教学反思:

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