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数学竞赛中组合问题学习方法建议

时间:2019-10-23

数学竞赛中组合问题学习方法建议
一、中学竞赛组合问题简介 二、中学竞赛组合问题学习规划 三、组合问题训练方法 四、组合学习的常见思考流程和误区 五、组合问题冲刺学习建议 六、常用书籍推荐
组合问题简介
首先我们要搞清楚一个问题 —— 什么是组合问题?组合问题,其实是一个比较杂的 分类,宏观来讲,不能归于代数、几何、数论部分的问题,都可以归为组合问题。常见的组 合问题可以分为两个分支:
第一类叫组 合 计 数 问 题 ,是基于课内“排列组合”的部分知识,进行拓展和扩充; 第二类叫组 合 杂 题 ,包括组 合 最 值 问 题 、组 合 构 造 问 题 、对 策 与 操 作 等几个主 要类。 高 考 只 考 一 些 非 常 简 单 的 计 数 问 题 ,或者以计数方法为基础的古典概率问题; 自 招 考 试 中 ,也很少涉及到组合杂题,多 以 稍 繁 琐 的 计 数 问 题 为 主 ; 数学竞赛中,高联一试考较复杂的分类计数,高联二试及以上的考试一般以组合杂题为 主,且难度很大,涉及范围广,形式灵活多变,对数学综合分析的能力要求也更高。
组合问题学习规划
关于组合杂题,我们要做到了 解 基 本 的 组 合 原 理 ,并以此为基础,拓 展 思 考 方 法 , 积累常见的组合构造。
1、 了 解 基 本 组 合 原 理 基础的组合原理,包括但不限于抽 屉 原 理 、 极 端 原 理 、 容 斥 原 理 、算 两 次 、染 色 与 赋 值 法 。很多原理的内容,其实不难理解,比如“抽屉原 理”,国外叫“鸽笼原理”,桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放, 我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。用标准的数学语言来说,就是将 m+1 个元素放入 m 个集合中,则至少有一个集合中有 2 个或更多的元素;将 mn+1 个元素放入

m 个集合中,则必有一个集合里包括 n+1 或者更多个元素。原理讲起来很简单,真正 的 难 点 在 于 如 何 应 用 。就说抽屉原理,最难的地方在于遇到题目时要意识到可以应用抽 屉原理来解决,以及如何构造所需要的“抽屉”,也就是数学概念中的集合。这其实也是组 合学习、组合训练核心想要解决的问题。
2、 拓 宽 思 考 方 法 思考方法,就是当我们面对一个问题的时候,该从什么角度着手 解决问题。但组合问题的切入点很杂,难以概括,不同背景的组合问题,切入点可能差别很 大,所以需要多见一些问题来帮助积累。
3、积累常见构造 积累常见构造,就是指学生们应该记忆一些常见的组合问题中,满足题意要求的构造形 式,比如最少的点、最长的线、最短的路径等,这些形式在类似背景问题中,有的可以直接 应用,有的可以作为构造方式的参考,都对解决问题有较大的帮助。同时,可以尝试挖掘一 下可能的推广,不过这方面难度较高,最好能够有教练员帮忙。 那么,具体该怎么规划呢? 抓住一个核心 —— 按照高联大纲要求的组合知识学习。从具体学习进度上来说, 建议: 高一开始系统的学习基本组合原理,以及对应的简单应用,积累相关的构造;高二,目 标是联赛省一等奖或者更高的成绩的同学,应该尝试系统的学习较为抽象的组合知识,如图 论等。
组合问题训练方法
下面来说说如何训练解题。1、 训 练 题 目 : 基 础 课 程 训 练 —— 简 单 竞 赛 题 —— 高联真题/模拟题——CMO 中简单题
① 先接受较为系统的组合基础训练(可以自己刷教程,也可以跟着培训),完成与课程 配套的基础训练题,逐渐理解组合问题的思考方法和解决办法;
② 推荐先做一些较简单的竞赛真题,如东南数学竞赛高一组试题,或者高联中偶见的 40 分的二试解答题,这些题目绝对难度没有那么高,也通常不会在分析问题的角度上制造 过大的障碍,可以尝试摸索题目的内在规律和特征;
③ 在以上两个步骤打牢基础后再做高联真题,及比较靠谱的高联模拟题,甚至可以挑 战一下 CMO 里的题目。当然,CMO 中的组合问题,一般都是 3/6 题,难度会很大,对于 能力、积累有欠缺,没有达到省队水平的同学来说,会显得过于困难,不推荐做很多。
2、训练频率:保证每周 1 道二试大题 除了系统学习(课程或刷书),要坚持每周做一道高联二试水平的组合解答题,保证训 练量。尽量做有明确来源的题,保证题目不存在问题,这点非常重要,避免浪费时间。

3、训练方法:保证考场同等时间思考 比如做一个高联二试 50 分的组合题,考场上平均需要分配给这个题目大约 45 分钟, 那么如果我没有思路,我也要保证 40 分钟的思考时间,尝试把这段思考时间里,所做的所 有尝试总结下来,然后和答案对比,这才是较好的利用题目去提高解题能力的方法。
4、学会看答案,学会做总结 很多学生觉得答案读通顺、看明白就完了,这是不对的。不仅要看懂,还要分析透彻。 数学题目的答案,很多都是“黑话”,也就是别人已经整理加工过,将阅读顺序最好的过程 书写了出来,而不是“思考的过程”。 作为一名优秀的竞赛生,要学着去挖掘答案背后的逻辑,从切入问题的角度,到尝试、 估计、猜想,再到最终结论的证明,要让自己理解每一步都很“自然”才行,不然很难把答 案中的精华变为“自己的”。 同时,要学会做总结。善于总结自身经历,反思自己曾经犯过的错误,是最快捷的进步 路线。这种总结未必要流于形式,非要弄一个错题本,把做错的题目工工整整的摘抄下来, 更多的,应该是一种思维上的总结,尝 试 去 概 括 遇 到 的 问 题 有 哪 些 相 通 的 点 , 并 且 尝 试 在 这 些 共 性 中 摸 索 一 类 问 题 的 规 律 。 只有这样,平时训练才有用。这种思考和 提炼的过程,本身也是一种非常好的锻炼。
常见思考流程 下面简单介绍一下遇到组合问题时常见的思考流程。组合问题通
常会描述一个背景,定义一个框架,或者设计一套规则,哪些是允许的,哪些是不允许的等 等。首 先 我 们 要 深 入 理 解 组 合 系 统 的 规 则 ,并且最好能够在理解规则的基础之上,发 现一些直接的推论、特征,这样的规则,是我们解决组合问题的基础。
其次,在理解规则的基础之上,可以先 从 简 单 的 情 况 进 行 尝 试 。比如,题目中描述 的是一个 8*8 的棋盘,如果直接在 8*8 的情况研究较为复杂,我们可以尝试先从 2*2,或 者 4*4 的情况入手,枚举更多的情况,并且尝试把这样的过程、规律、方法,向一般情况 进行延伸。接 着 , 尝 试 与 之 前 见 过 的 模 型 与 方 法 进 行 匹 配 ,如果平时训练中有做过 类似问题,当然就好办了.如果没有,也可以尝试将一些感觉上相似的问题,进行变形和推 广,通常也会有一定的帮助.
最 后 ,就 是 总 结 问 题 中 的 共 性 ,大 胆 猜 想 。熟悉数学归纳法的同学肯定都了解, 先猜到结论再去验证的方法,要比直接推导、演算容易很多。很多组合问题中,答案的形式 较容易猜测,比如先从简单的情况中总结出规律,然后按照猜想的结论、简单情况的方法,

对一般情况进行证明。很 多 组 合 最 值 问 题 , 能 否 “ 猜 对 答 案 ” 基 本 就 决 定 了 这 个 问题能不能做出来。
常见误区
简单说一下几个常见的误区: 1、 了解很多却不求甚解 经常看书,见过不少结论,却不知道背后的方法、规律,那么这个了解要打很大折扣。 对于组合问题,方 法 和 思 路 比 记 一 个 结 论 要 重 要 ;我们很少直接照搬一个特定形式的 结论,却经常对证明方法进行推广。 2、 追求偏题难题怪题 这个应该是中学竞赛学习各个模块共性的误区了,组合问题这一部分可能体现的更加明 显一些,因为组合题本身可能更“偏难怪”一些。在组合学习中,特别是组合学习的初期, 千万不要花大量的时间来钻研超越自己当前水平很多的问题,或者特别冷僻不常见的问题, 投 入 很 大 却 收 获 很 小 。具体做题的方式可参见上文。 3、 认为自己看懂答案就会了 能看懂和自己会做完全是两回事,组合问题的答案很容易让人捶胸顿足,“精妙啊!我 怎么就没想到呢?”实际上,真正搞懂这个问题的答案才是题目对你来说最大的价值。 4、 不写过程 组合问题的过程,其实不好写。它倒不是像平面几何,在过程上要求比较细致,必须严 格按照几何命题的逻辑书写,而是这种杂项的问题本身就不好想,想明白之后,也不容易表 达明白。所以,过程书写这部分训练不可忽视,平 时 应 该 多 写 , 多 与 标 准 答 案 对 照 。
组合问题冲刺学习建议
下面针对马上就要来临的高联,给大家提一点备考建议。首 先 , 组 合 计 数 部 分 ,涉 及到的方法一般都是常规方法,建 议 按 部 就 班 ,跟 着 联 赛 一 试 的 习 题 训 练 来 准 备 即 可。其次,组合杂题部分,建议有针对性的训练、拔 高,可以选择专门的组合培 训课程,也可以参加一个暑期高联集训营。对于没什么基础的同学,其实不推荐在这个阶段 再“恶补”组合了,有这个精力不如把一试、代数、平面几何好好做一做,保证较容易拿分 的部分得分率高一些。赛前跟着组合课程,简单见识一下这类题目的形式、思考方法就可以 了,主要为明年冲刺更好的成绩做准备。对于有基础的同学,建 议 从 题 目 出 发 ,多 总 结 方 法 ,提 升 对 已 知 内 容 的 理 解 ,拓 展 思 路 ,同 时 也 能 在 考 前 保 持 一 个 优 秀 的 做 题 状 态 。如果能有老师带着会事半功倍。
常用书籍推荐 下面给大家推荐两本常用书。比较推荐的是《奥林匹克小丛书》

系列,也就是俗称的小蓝本,以及《 奥 赛 经 典 》。这两套书的组合章节,知识点相对整理 更加系统,讲解也比较细致,适合从零开始学习组合的同学。
值得注意的是,市面上几乎所有的组合问题的参考书,题目的难度跨度都比较大,这也 和组合问题自身的特征有关,所以有时候,感觉每章前面的练习题很简单,但最后几个问题 做不出来也是正常的,不用过分担忧。随着综合能力的提升,有些问题自然就显得没那么难 了。
■ ■■■■最后,竞赛学习是一个反复积累的过程,刷教程刷题听老师讲课都是必不可少的环 节。尤 其 是 难 度 较 大 的 组 合 模 块 , 有 时 候 老 师 的 一 句 点 拨 可 能 比 自 己 琢 磨 半 天 都有用。
所以,非常推荐今年参加高联的同学来听胡晓君老师主讲的 2018 年高联冲刺之组合 专题课!


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