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双曲线及其标准方程

时间:2018-06-21


学习目标:
1.了解双曲线的定义及几何图形; 2.掌握双曲线的标准方程的两种形式; 3.学会利用定义去求解双曲线的标准方程, 并提高自身的运算能力.

学习重点:
双曲线的定义和标准方程; 不同的条件下双曲线的标准方程的求法.

学习难点:
双曲线标准方程推导过程中的化简.

新课讲授
一、双曲线的定义
动画演示 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常

数 (小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双 曲线的焦距.

2c ? 2a ? 0 .

通常情况下,我们把|F1F2|记为2c ;常数记为 2a . 显然,

定义剖析:
1.注意“平面内”三个字.

2.定义中“绝对值”三个字去掉后点的轨迹是什么?
点的轨迹是双曲线的一支.

新课讲授
一、双曲线的定义
数 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常

的点的轨迹叫做双曲线 3.常数是否有范围限制? 小于|F1F2| . 在不满足这一条件的情况下,点的轨迹会是什么? ①若常数等于|F1F2|,则轨迹是什么? 轨迹为直线F1F2上且以F1、F2为端点向外的两条射线. F1 F2 ②若常数大于|F1F2|,则轨迹是什么? 此时轨迹不存在. F1 ③若常数等于0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线.

F2

新课讲授 二、双曲线的标准方程
① 建系
以直线 F1 F2 为 x 轴,线段F1F2 的垂直平分线为 y轴建立平面直 F1 角坐标系.

y
M
O

F2 x

② 设点 设M ( x , y ) 是双曲线上任一点, 焦距为 2c(c ? 0) ,那么焦点 F1 ( ? c ,0), F2 (c ,0).

再设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 2a .
③ 写出限制条件

MF1 ? MF2 ? 2a

④ 代入数据,列出等式

? x ? c ?2 ? y 2 ? ? x ? c ?2 ? y 2

? 2a

2 2 2 ? ? ? ? x ? c ? y ? x ? c ? y 2 ? 2a ⑤化简 将上述方程化为: ? x ? c ?2 ? y 2 ? ? x ? c ?2 ? y 2

整理得:

?c
2

2

? a2 x2 ? a2 y2 ? a2 c2 ? a2
2 2

?

?

?

? ?2a

两边同时除以 a c ? a

?

?

x2 y2 得: 2 ? 2 2 ? 1 a c ?a

2 2 ? c ? a ?0 由双曲线定义知 2c ? 2a ? 0, 即 c ? a ? 0. 设 c 2 ? a 2 ? b 2 ?b ? 0 ? 代入上式整理得:

这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在 x 轴上,焦点是 F1 ( ? c ,0), F2 (c ,0). 其中c 2 ? a 2 ? b 2 .

类比焦点在x轴上的双曲线的标准方程,请思考焦点 在y轴上的双曲线的标准方程是什么?
y
y

F2
F1

O

F2 x

O

x
F 1

如何判断双曲线的焦点所在轴?
焦点在系数为正数的轴上.

例题讲解
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程.
解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 a b
根据已知条件,|F1F2|=10,||PF1|-|PF2||=8, 故 2c ? 10,2a ? 8. 即a ? 4, c ? 5.
2 2 2 b ? c ? a ? 25 ? 16 ? 9. 那么

x2 y2 ? ? 1. 因此,双曲线的标准方程为 16 9

例题讲解
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程.

x2 y2 ? ? 1. 16 9
变式训练1、已知F1(0,-5), F2(0,5),动点P满足||PF1|-|PF2||=8.求 点P的轨迹方程. y2 x2

16

?

9

? 1.

变式训练2、已知F1(-5,0), F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=8.求 点P的轨迹方程. x2 y2

16

?

9

? 1( x ? 0).

变式训练3、已知F1(-5,0), F2(5,0),动点P满足||PF1|-|PF2||=10. 求点P的轨迹方程.

y ? 0( x ? 5或x ? ?5).

例题讲解
例2.已知双曲线的焦点是 F1 (0,?6), F2 (0,6),且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程. 解法一: 由题意知,双曲线的焦点在 y 轴上,所以设双曲线 y2 x2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的标准方程为 a 2 b 由题意知 c ? 6,

? a 2 ? b 2 ? 36.

( ?5) 2 2 2 ? 2 ? 1. 又因为双曲线经过点M(2,-5), ? 2 a b ?a 2 ? 20 方程联立可求得: . ? 2 ?b ? 16
y2 x2 ? ? 1. 因此,双曲线的标准方程为 20 16

例题讲解
例2.已知双曲线的焦点是 F1 (0,?6), F2 (0,6),且经过点M(2,-5). 求双曲线的标准方程.

解法二: 由双曲线的定义知: 2c ? 12,

2a ? MF 1 ? MF 2

适时把定义作 ? 2 2 ? ( ?5 ? 6) 2 ? 2 2 ? ( ?5 ? 6) 2
? 125 ? 5 ? 4 5 .

? c ? 6, a ? 2 5 . ? b 2 ? c 2 ? a ? 16.

为解题工具是 很重要的哦 ! 2
2

? 双曲线的焦点在 y 轴上

? 双曲线的标准方程是:

y x ? ? 1. 20 16

2

课堂练习
1、已知双曲线的焦点在坐标轴上,a=7,b=3,则双曲线的标准 方程是
x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 49 9 49 9 .

x2 y2 ? 1 左焦点F1 的直线交双曲线的左支于 M、N 2、过双曲线 ? 4 3 8 两点, F2 为其右焦点,则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为 .
3、在?ABC 中,已知 B(4,0), C ( ?4,0), 动点A满足 sin B ? sin C ? sin A, 2 x2 y2 则动点A的轨迹方程为 4 ? 12 ? 1? x ? 2 ? .
1

课堂小结
1、双曲线的定义 2、双曲线的标准方程的两种形式
3、双曲线的标准方程的求解方法

课后作业
48页练习1、2;

54页习题2.2 A组1、2题;
自己动手制作表格,列出椭圆与双曲线的区别和联系.


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