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江西师大附中2015届高三第三次模拟考试数学文试卷(图片版有答案)

时间:2015-10-22


答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 C 8 B 9 A 10 C 11 C 12 A

13.13 14.1 15.
1 3

16.

3 2

17.解(1)解得 a1 ? 3, d ? 2 ? an ? 2n ? 1 (6 分) (2) bn ?
? Tn ? 1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

n (12 分) 4(n ? 1)
10 1 = =0.2 50 5

18. (1) 由表格, 高度在 85 厘米以上的树苗大约有 6+4=10 棵, 则所求的概率大约为 (4 分) ( 2 )树苗的平均高度 x ? (8 分)

45 ? 2 ? 55 ? 3 ? 65 ? 14 ? 75 ? 15 ? 85 ? 12 ? 95 ? 4 3690 ? ? 73.8 (厘米) 50 50

(3)依题意,记[40,50)组中的树苗分别为 A、B,[90,100]组中的树苗分别为 C、D、E、F, 则所有的基本事件为 ACD 、 ACE 、 ACF 、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF 共 12 个,满足 A、C 同时被移出的基本事件为 ACD、ACE、ACF,共 3 个,所以树苗 A 和树苗 C 同时被移出的概率 P ?
3 ? 0.25 (12 分) 12

19. (1)证明:取 CD 的中点 O,连 PO、AO 等边 ?PDC ? PO ? CD 又底面积 ABCD 为菱形且 ?ADC ? 600
? ?ACD 为等边 ? ? AO ? CD ? CD ? 平 POA ? PA ? CD (6 分)

(2) VM ? ABCD ? ? 2 3 ?

1 3

3 ? 1 (12 分) 2

20. (1) (1)设椭圆的焦距为 2c ,椭圆的离心率 e ?

2 . 2

?

c 2 ,即 a ? 2c . ? a 2

抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点 F ( 2, 0) 恰好是该椭圆的一个顶点,
? a ? 2 ,? c ? 1 , b ? 1 .

椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .(5 分) 2

(2)假设满足题意的圆存在,其方程设为 x 2 ? y 2 ? R 2 (0 ? R ? 1) 设该圆的任意一条切线 AB 与椭圆交于 ( x1 , y1 ),B ( x2 , y2 ) 两点, ①当 AB 斜率存在时,令直线 AB y ? kx ? m 代入椭圆可得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0
? x1 ? x2 ?

2m 2 ? 2 ?4km x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 m 2 ? 2k 2 2k 2 ? 1

? y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

??? ? ??? ? 3m 2 ? 2k 2 ? 2 2 ? 0 ? m 2 ? (k 2 ? 1) ? OA ? OB ? OA ? OB = 2 3 2k ? 1

直线 AB 和圆相切 ? R ? d =

|m| R ?1
2

?

6 2 圆: x 2 ? y 2 ? 3 3
2 2 2 ? y12 ? y2 ? 3 3

2 ②当 AB 斜率不存在时,易得 x12 ? x2 ?

??? ? ??? ? ? OA ? OB ? 0 ? OA ? OB

综上存在圆 x 2 ? y 2 ?

2 满足题意.(12 分) 3

21. 解(1)由已知可得 m ?

1 , (2 分) 2

1 1 ? x2 1 ( x ? 0) f ( x) ? 1nx ? x 2 , x ? 0 , f ?( x) ? ? x ? 2 x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x 2 ? 0 ,又 x ? 0 ,所以 0 ? x ? 1 .所以 f ( x) 的单增区间为(0,1).(5 分) (2)方法一:令 G ( x) ? f ( x) ? (mx ? 1) ? ln x ? mx 2 ? (1 ? m) x ? 1 , 所以 G ?( x) ?
1 ?mx 2 ? (1 ? m) x ? 1 ? mx ? (1 ? m) ? . x x
1 2

当 m ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 G ?( x) ? 0 .所以 G ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 又因为 G (1) ? ln1 ? m ? 12 ? (1 ? m) ? 1 ? ? m ? 2 ? 0 , 所以关于的不等式 G ( x) ? mx ? 1 不能恒成立.
1 2 3 2

?mx 2 ? (1 ? m) x ? 1 当 m ? 0 时, G ?( x) ? ? x

m( x ?

1 )( x ? 1) m . x

令 G ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 1 ,所以当 x ? (0, ) 时, G ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, G ?( x) ? 0 . m m m 1 m 1 m

因此函数 G ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数. 故函数 G ( x) 的最大值为 G ( ) ? ln 令 h( m) ?
1 m 1 1 1 1 1 ? m ? ( ) 2 ? (1 ? m) ? ? 1 ? ? 1nm . m 2 m m 2m

1 1 1 ? 1nm ,因为 h(1) ? ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 , 2 4 2m

又因为 h(m) 在 m ? (0, ??) 上是减函数,所以当 m ? 2 时, h(m) ? 0 . 所以整数的最小值 2. 方法二: (2)由 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,得 1nx ? mx 2 ? x ? mx ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 问题等价于 m ?
1nx ? x ? 1 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2

1 2

令 h( x ) ?

1nx ? x ? 1 ,只要 m ? h( x) max . 1 2 x ?x 2

1 ( x ? 1)(? x ? 1nx) 1 2 因为 h?( x) ? ,令 h?( x) ? 0 ,得 ? x ? 1nx ? 0 1 2 2 ( x ? x) 2 2

设 ? ( x) ? ? x ? ln x ,因为 ? ?( x) ? ? ?
1 2

1 2

1 2

1 ? 0 ,所以 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, x

不妨设 ? x ? 1nx ? 0 的根 x0 .当 x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, h?( x) ? 0 . 所以 h( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.
1 1 ? x0 1nx0 ? x0 ? 1 1 2 ? ? . ? h( x0 ) = 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2

所以 h( x) max

因为 ? ( ) ? 1n2 ?
1 2

1 2

1 1 ? 0 , ? (1) ? ? ? 0 4 2
1 ? 2 , g ( x) max ? (1, 2) .所以 m ? 2 ,即整数的最小值为 2(12 分) x0

所以 ? x0 ? 1 .此时 1 ?

22. (1)连接 OC ,? OA ? OC ,??OAC ? ?OCA.
? CD 为半圆的切线,? OC ? CD.

? AD ? D,? OC / / AD,??OCA ? ?CAD,??OAC ? ?CAD.

? AC 平分 ?BAD (5 分)

(2)连接 CE , 由(1)知 ?OAC ? ?CAD,? BC ? CD.
? BC ? CD.

A、B、C、E 四点共圆,??CED ? ?ABC.
? AB 是半圆 O 的直径,??ACB ? 900 ,? Rt ?CDE ? Rt ?ACB.
? DE CB 1 BC ? ,即 ? ,? BC ? 2 (10 分) CE AB BC 4

23. (1)由题意知,直线的直角坐标方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 曲线 C 的参数方程为 ?
? x ? 3 cos ? ? (? 为参数), ? ? y ? 2sin ?

曲线 C 的普通方程 为 (

x

y x2 y 2 ) 2 ? ( ) 2 ? 1, 即 ? ? 1 (5 分) 2 3 4 3

( 2 ) 设 点 的 坐 标 为 ( 3 cos ? , 2sin ? ), 则 点
| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | d? ? 5 | 4sin( ? ? ) ? 6 | 3 5

P

到 直 线 的 距 离

?

| ?4 ? 6 | 3 ? ? 2 5 (10 分) 当 sin( ? ? ) ? ?1 时,点 P(? ,1) 时, d大 ? 2 3 5

24. (1)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 4 即为 |x | ?2 | x ? 1|? 4, ①当 x ? 1 时,原不等式可化简为 x ? 2( x ? 1) ? 4, 得1 ? x ? 2 ②当 0 ? x ? 1 时,原不等式可化简为 x ? 2(1 ? x) ? 4, 得 0 ? x ? 1 ③当 x ? 0 时,原不等式可化简为 ? x ? 2(1 ? x) ? 4 ,得 ? ? x ? 0
2 2 ? ? 综合①②③得, ? ? x ? 2, 即当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 ? x | ? ? x ? 2 ? (5 分) 3 3 ? ?
2 3

(2)①当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2( x ? a )3x ? 2a ②当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? x ? 2(a ? x) ? ? x ? 2a ③当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2(a ? x) ? ?3x ? 2a 作出函数 f ( x) 的大致图象如图所示

由图象知 f ( x) min ? a ,所以 a ? 4 ,即实数的取值范围为 [4, ??) (10 分)


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