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浙江省宁波效实中学2013-2014学年高一下学期期末考试 (数学) (1)

时间:2014-07-17


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浙江省宁波效实中学 2013-2014 学年高一下学期期末考试 数学试题

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分。 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 4 x ? (a ? 3) y ? 2 ? 0 垂直,则实数 a 的值 A. ? 1 2.若 ? B. 4 C.

?
2

3 5

D. ?

3 2

? ? ? 0 ,则直线 y ? ? x tan ? ? 1 的倾斜角为
B.

A. ??

?
2

??

C. ? ??

D.

?
2

??

3.圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是 A. k ? (??, ? 2) C. k ? (??, ? 3)

( 2, ??) ( 3, ??)

B. k ? (? 2, 2) D. k ? (? 3, 3)

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 4.满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ? x ? 0, ? ?y ? 0
A. 1 B.

3 2

C. 2

D. 3

5.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

6.经过点 M (2 6, ?2 6) 且与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同渐近线的双曲线方程为 4 3 x2 y 2 ? ?1 C. 8 6
y 的最大值为 x
C. 2 ? 2 D. 6

x2 y 2 ? ?1 A. 6 8
2 2

y 2 x2 ? ?1 B. 6 8

y 2 x2 ? ?1 D. 8 6

7.实数 x, y 满足 x ? y ? 6x ? 6 y ? 12 ? 0 ,则 A. 3 2 B. 3 ? 2 2

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8.设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 90 , a 2 b2

且 AF 1 ? 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为

A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

9.已知 F1 , F2 是两个定点,点 P 是以 F 1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且 PF1 ? PF2 , e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有 A.

1 1 ? 2 ?4 e12 e2

2 2 B. e1 ? e2 ?4

C.

1 1 ? 2 ?2 e12 e2

2 2 D. e1 ? e2 ?2

10.过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, Q 两点,若线段 PF 和线段 FQ 的 长分别是 p, q ,则

1 1 ? 等于 p q
B.

A.

1 4a

1 2a

C. 2 a 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分)

D. 4 a

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分。 11.圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? ▲ .

12.将一张坐标纸折叠一次,使点 (2, 6) 点 (4, 6) 重合,则与点 (?4,1) 重合的点的坐标是 ▲ .

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点. 13.已知 F1、F2 为椭圆 25 9
若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ? ▲ .

14.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 9 16
▲ .
2

直线与双曲线交于点 B ,则 S?AFB ?

2 15.已知抛物线 x ? 3 y 上两点 A, B 的横坐标恰是方程 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实根,则直线 AB 的

方程是 ▲ . 16.已知平面上的线段 l 及点 P ,任取 l 上一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的 距离,记作 d ( P, l ) .设 l 是长为 2 的线段,则点的集合 D ? {P d ( P, l ) ? 1} 所表示的图形
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面积为 ▲ . 17.过 A(?2, 0) 作椭圆

x2 ? y 2 ? 1的两弦 AB, AC ,且 k AB ? k AC ? 1 ,则直线 BC 恒过定点 ▲ . 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.已知 ?ABC 的三个顶点 A(?3, 0), B(2,1), C (?2,3) . 求(1) BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (2) BC 边的垂直平分线 DE 所在的直线方程.

19.已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t为参数) , C2 : ? (? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ?

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程; (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

, Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? (t为参数) 距离的最小值. ? y ? ?2 ? t

20.圆 C 与 y 轴切于点 (0, 2) ,与 x 轴正半轴交于两点 M , N (点 M 在点 N 的左侧) , 且 MN ? 3 . (1)求圆 C 的方程; (2)过点 M 任作一直线与圆 O : x ? y ? 4
2 2

相交于 A, B ,连接 AN , BN , 求证: k AN ? kBN ? 0 .

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21.已知 m>1,直线 l : x ? my ? 左、右焦点.

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别为椭圆 C 的 2 m

(1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF 1F 2,

VBF1F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以
线段 GH 为直径的圆上,求实数 m . (重心:三角形三条中线的交点)

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) ,曲线 C2 : x2 ? 4 y .自曲线 C1 上一点 A 作 C2 的两条切线切点分别为 22 .曲线 C1 : 16 4
B, C .
(1)若 A 点坐标为 (2 3, ?1) , F (0,1) . 求证: B, F , C 三点共线; (2)求 S?ABC 的最大值.

y

C
B

x
A

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参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 B 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分。 11、 3 12、 (10,1) 13、 8 16、 4 ? ?
2 2

14、

32 15
17、 ( ?

15、 5 x ? 3 y ? 1 ? 0

10 , 0) 3
2 2 2

17:设 BC : x ? m ? ty ,代入 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,并整理得: (t ? 4) y ? 2mty ? m ? 4 ? 0

2mt ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? t ?4 ? 2 ? y y ? m ?4 1 2 ? t2 ? 4 ?

k AB ? k AC ?

y1 y ? 2 ?1 x1 ? 2 x2 ? 2

y1 y2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2) ? t 2 y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2
解得: m ? ?2 (舍)或 m ? ?

10 。 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分。 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18、 AD : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ;

DE : 2 x ? y ? 2 ? 0 。

19、 (1) C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 , C2 : 20、 (1) ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1; 64 9

( 2)

8 5。 5

5 2

25 ; 4
2 2 2 2

(2) 证明:设 AB : x ? 1 ? ty ,代入 x ? y ? 4 ? 0 ,并整理得: (t ? 1) y ? 2ty ? 3 ? 0

2t ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?1 ? ? ? yy ? 3 , 1 2 ? t2 ?1 ?

k AN ? kBN ?

y1 y y1 y2 2ty y ? 3( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? ? 1 2 ? 0。 x1 ? 4 x2 ? 4 ty1 ? 3 ty2 ? 3 (ty1 ? 3)(ty2 ? 3)

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2 2 21、 (1) F2 ( m ? 1, 0) ,所以 m ? 1 ?

m2 ? 0 ,解得: m2 ? 2, m ? 2 2

l : x ? 2 y ?1 ? 0 ;

(2)将 x ? my ?

m2 x2 m2 2 2 ?1 ? 0 , 代入 2 ? y ? 1 ,得 2 y ? my ? 2 m 4

m ? y ? y ? ? 1 2 ? x y x y ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 。 G ( 1 , 1 ), H ( 2 , 2 ) ,所以 OG ? OH , 2 3 3 3 3 ?y y ? m ? 1 1 2 ? 8 2 ?
所以 kOG ? kOH ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , m ( y1 ?
2

m m )( y2 ? ) ? y1 y2 ? 0 ,解得 m ? 2 。 2 2

22、 (1)点 A(2 3, ?1) ,则 BC : 2 3x ? 2 y ? 2 ,点 F (0,1) 在直线 BC 上,即 B, C, F 三点共线。 (2)设 lBC : y ? kx ? b

? x2 ? 4 y ? ? y ? kx ? b

x2 ? 4kx ? 4b ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4b ,

AB : y ? k1 ( x ? x1 ) ?

x12 2 ,代入 x2 ? 4 y ,得 x2 ? 4k1 x ? 4k1x1 ? x1 ?0 4
k1 ? 1 x1 2

? ? 16k12 ?16k1 x1 ? 4x12 ? 0

AB : y ?

x2 1 x1 x ? 1 2 4

x2 1 同理 AC : y ? x2 x ? 2 2 4

1 ? x ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 得 A: ? , 1 ? y? xx 1 2 ? ? 4
4k 2 b 2 ? ? 1, k 2 ? b2 ? 4(0 ? b ? 2) 16 4
BC ? 1 ? k 2 x1 ? x2

即 A(2k , ?b) ,所以

d A? BC ?

?2k 2 ? 2b 1? k 2

x1 ? x2 ? 16k 2 ? 16b

S ?ABC

3 ?2k 2 ? 2b 1 2 ? 1 ? k x1 ? x2 ? 16k 2 ? 16b k 2 ? b ? 4(k 2 ? b) 2 2 1? k 2

3 1 17 3 17 17 ? 4(4 ? b 2 ? b) 2 ? 4(?(b ? ) 2 ? ) 2 ? 2 4 2

当b ?

1 15 ,k ? ? 时取等号。 2 2

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