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高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.4知识点总结含同步练习及答案

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高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例

一、学习任务 能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题;感受导数在解决实际问题 中的作用. 二、知识清单
利用导数处理生活中的优化问 题

三、知识讲解
1.利用导数处理生活中的优化问题 描述: 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 例题: 货车欲以 x km/h 的速度行驶到 130 km 远的某地.按照交通法则,车辆行驶速度的允许范围 是 50 km ? 100 km.假设汽油的价格为 2 元/L ,而汽车耗油的速度是 (2 + 机的工资是 14元/h ,试问最经济的车速是多少?这次行车的总费用最低是多少?

x2 ) L/h ,司 360

130 130 x2 h ,耗油量为 ? (2 + ) L ,耗油费用为 x x 360 130 130 x2 元. 2? ? (2 + ) 元,司机的工资为 14 ? x 360 x
解:汽车行驶的时间为 故这次行车的总费用为

y =2?
所以

130 130 x 18 x2 ? (2 + ) + 14 ? = 130( + )元, x 360 x 180 x 1 18 ? ). 180 x2

y ′ = 130(


y ′ = 0,


?或x = ?18√? ?(舍去). x = 18√? 10 10 ? ≈ 57 km/h 时,y 取得最小值.故最经济的车速约为 因为 50 ? x ? 100,所以当 x = 18√? 10 18

x = 18√ ≈ 57 km/h y ? ? 18√10 18 57 km/h,最低费用为 130 × ( + ? ) ≈ 82.2 元. 180 18√? 10
某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x、y (单位:m )的矩形,上部 是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8 m 2 ,问 x、y 分别为多少时用料最省(精确到 0.001 m)?

50 ? x ? 100

解:依题意,有

xy +
所以

1 x x ? = 8, 2 2

y=
于是框架用料总长度为

8 x ? (0 < x < 4√2 ), x 4

3 16 √2 x = ( + √2 )x + . 2 2 x 3 16 L ′ = + √2 ? 2 , 2 x L = 2x + 2y + 2 ?
令 L ′ = 0 ,即

3 16 + √2 ? = 0, 2 x2
解得

x1 = 8 ? 4√2 ,x2 = 4√2 ? 8(舍去),
当 0 < x < 8 ? 4√2 时,

L ′ < 0;
当 8 ? 4√2 < x < 4√2 时,

L ′ > 0.
所以当 x = 8 ? 4√2 时,L 取得最小值,此时

x = 8 ? 4√2 ≈ 2.343 m,y = 2.828 m.
即当 x 为 2.343 m ,y 为 2.828 m 时,用料最省. 如图,有一块半椭圆形的钢板,其长半轴长为 2r ,短半轴长为 r ,计划将此钢板切割成等腰梯 形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上.记 CD = 2x,梯形面积为 S.

(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出定义域; (2)求面积 S 的最大值.

解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O ? xy(如图),

则点 C 的横坐标为 x .点 C 的纵坐标 y 满足方程

解得 y = 2√r2 ? x 2 (0 < x < r) .

? ? ? ? ? ?

y2 x2 + = 1(y ? 0), 4r2 r2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 (2x + 2r) ? 2√r2 ? x2 = 2(x + r) ? √r2 ? x2 , 2

S=

其定义域为 {x | 0 < x < r}. (2)记

f (x) = 4(x + r)2 (r2 ? x2 ),0 < x < r,
则 f ′ (x) = 8(x + r)2 (r ? 2x).令

f ′ (x) = 0,
得 x=

1 r 时, r.因为当 0 < x < 2 2 f ′ (x) > 0;



r < x < r 时, 2 f ′ (x) < 0,

r r 时,S 也取得最大值,最大值为 ) 是 f (x) 的最大值.因为,当 x = 2 2 ? ? ? ? 3√3 2 r? 3√3 2 r ,即梯形面积 S 的最大值为 r . √f ( ) = 2 2 2
所以 f (

四、课后作业

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(

)

1. 现要制作一个圆锥形漏斗,其母线长为 t ,要使其体积最大,其高为 ( A.

)
D.

1 2 t 3

B.

√3 t 3

C.

√2 t 3

1 t 2

答案: B

2. 已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式为

y=?

A.13 万件
答案: C

1 3 x + 81x ? 234 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( 3
B.11 万件 C.9 万件

)
D.7 万件

3. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为 10km/h 时,燃料费是每小时

6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元.要使航行每千米的总费用和最小,则此轮船的速度为 ( )
B.20km/h C.15km/h D.30km/h A.25km/h
答案: B 解析: 因为轮船航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,可设比例系数为

3 3 3 1 ,所以航行每千米的总费用为 y = (96 + v ) ? ,然后利用导数可求得当 y 取 500 500 v 最小值时 v = 20 . k=
4. 做一个无盖的圆柱形木桶,若需使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为
答案: 解析:

k ,则 6 = k ? 103 ,求得



3
设圆柱的高为 h,半径为 r ,则 πr2 h = 27π ,即 h =

S (r) = πr2 + 2πrh = π (r2 +

54 ),求导,运用导数求解即可. r

27 ,圆柱的用料 r2

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