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2011年上海闸北区数学二模(理)

时间:2011-04-28


2011 年上海闸北区数学二模(理) 2011.4
一、填空题(本题满分 55 分)本大题共有 11 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1.已知 z 和

. 3.某高中共有在读学生 430 人,其中高二 160 人,高一人数是高三人数的 2 倍.为了解学 生身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高二学生 32 人,则该样 本中的高三学生人数为 . 4.在极坐标系中,圆 ρ = ?2 sin θ 的圆心的极坐标为 . (写出一个即可) 5. 下列三个命题: ①若 | a + b |=| a ? b | , a ? b = 0 ; ②若 a ≠ 0 ,a ? b = a ? c , b = c ; 则 则 ③若 | a ? b |=| a || b | ,则 a // b .其中真命题有 . (写出所有真命题的序号) 6.有一公园的形状为 ?ABC ,测得 AC = 3 千米, AB = 1 千米, ∠B = 60 ,则该公园 的占地面积为 平方千米. 7.设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为 12π 的球面上,则该正方体的体积为 . 8.设 f ( x ) 是 R 上的奇函数, g ( x ) 是 R 上的偶函数,若函数 f ( x ) + g ( x ) 的值域为 [1,3) , 则 f ( x ) ? g ( x ) 的值域为 . 9.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲 袋装有 4 个红球、2 个白球,乙袋装有 1 个红球、5 个白球.现分别从甲、乙两袋中各随 机抽取 1 个球,记抽取到红球的个数为 ξ ,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ = ___ __. 10.若函数 f ( x ) = 2
| x ? 3|

z+2 都是纯虚数,那么 z = . 1? i 2.函数 y = sin x ? cos(π ? x ) ( x ∈ R ) 的单调递增区间为

? log a x + 1 无零点,则 a 的取值范围为

. .

11.设 loga x = logb y = ?2 , a + b = 2 ,则 x + y 的取值范围为

二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结 论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. . 3 3 12.设 a, b ∈ R,则 “ a > b ” 是“ a > b ” 的 【 】 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 13.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的 母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角 形.其中,真命题的个数为 【 】 A.4 B.3 C.2 D.1 14.一林场现有树木两万棵,计划每年先砍伐树木总量的 10% ,然后再种植 2500 棵树.经 过若干年如此的砍伐与种植后,该林场的树木总量大体稳定在 【 】 A.22000 颗 B.23500 颗 C.25000 颗 D.26500 颗 15.已知 A( 2,?1) , B (?1,1) , O 为坐标原点,动点 P 满足 OP = mOA + nOB ,其中

m、n ∈ R ,且 2m 2 ? n 2 = 2 ,则动点 P 的轨迹是 A.焦距为 3 的椭圆 B.焦距为 2 3 的椭圆
C.焦距为 3 的双曲线 D.焦距为 2 3 的双曲线





三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 16. (满分 12 分)本题有 2 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分.

设函数 f ( x) = log 2 (2 + 1) , x ∈ R .
x

(1)求 f (x ) 的反函数 f ?1 ( x ) ; (2)解不等式 2 f ( x ) ≤ f ?1 ( x + log 2 5) . 17. (满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 某分公司经销某种品牌产品, 每件产品的成本为 2 元, 并且每件产品需向总公司交 a 元 ( 2 ≤ a ≤ 6 )的管理费,预计当每件产品的销售价为 x 元( 7 ≤ x ≤ 9 )时,一年的销售量 为 (12 ? x ) 万件. (1)求该分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该分公司一年的利润 L 最大,并求 L 的最大值 Q ( a ) . 18. (满分 15 分)本题有 2 小题,第 1 小题 9 分,第 2 小题 6 分. 如图,平面 α 上定点 F 到定直线 l 的距离 FA = 2 ,曲线 C 是平面 α 上到定点 F 和到 定直线 l 的距离相等的动点 P 的轨迹. B 设 FB ⊥ α ,且 FB = 2 . (1)若曲线 C 上存在点 P0 ,使得 P0 B ⊥ AB , E A l 试求直线 P0 B 与平面 α 所成角 θ 的大小; (2)对(1)中 P0 ,求点 F 到平面 ABP0 的距离 h .

α
*

F P

19. (满分 16 分)本题有 2 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 9 分. 在数列 {an } 中, a1 = 5 , an +1 = 3an ? 4n + 2 ,其中 n ∈ N . (1)设 bn = an ? 2n ,求数列 {bn } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,试比较 S n 与 n + 2011n 的大小.
2

20. (满分 18 分)本题有 2 小题,第 1 小题 9 分,第 2 小题 9 分. 在 ?ABC 中, A 、 B 为定点,C 为动点,记 ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c , 已知 c = 2 ,且存在常数 λ (λ > 0) ,使得 ab cos
2

C =λ. 2

(1)求动点 C 的轨迹,并求其标准方程; (2) 设点 O 为坐标原点, 过点 B 作直线 l 与 (1) 中的曲线交于 M ,N 两点, OM ⊥ ON , 若 试确定 λ 的范围.

高三数学(理科)期中练习卷评分标准与参考答案(2011.4) 3π π 一、1. 2i ; 2. [ 2kπ ? ,2kπ + ], k ∈ Z ; 3.18; 4 4 3π π π 3 4. (1, ) 或 (1,? ) 或 (?1, ) 等; 5.①③; 6. ; 2 2 2 2 5 7.8; 8. ( ?3,?1] ; 9. ; 6 10. ( 3 ,+∞) ; 11. ( 2, +∞ ) .
二、12. C; 13.B;
?1

14.C;
x

15.D.

三、16.解: (1) f

( x) = log 2 (2 ? 1) , x ∈ (0,+∞) .………………………………5 分

(2)由 2 f ( x ) ≤ f

( x + log 2 5) ,得 x + log 2 5 > 0 ,且 2 log 2 (2 x + 1) ≤ log 2 (2 x + log 2 5 ? 1) , ∴ (2 x ) 2 ? 3 × 2 2 + 2 ≤ 0 , ………………………………………………………………5 分

?1

∴1 ≤ 2 x ≤ 2 , ? 0 ≤ x ≤ 1 综上,得 0 ≤ x ≤ 1 . ………………………………………………………………2 分 17.解: (1)该分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式为: L = ( x ? a ? 2)(12 ? x) , x ∈ [7,9] .………………………………………………………6 分 a + 14 < 9, (2)当 2 ≤ a < 4 时,此时, 8 ≤ 2 a + 14 (10 ? a ) 2 所以,当 x = 时, L 的最大值 Q ( a ) = , ………………………………3 分 2 4 a + 14 ≤ 10 , 当 4 ≤ a ≤ 6 时,此时, 9 ≤ 2 所以,当 x = 9 时, L 的最大值 Q ( a ) = 3(7 ? a ) .…………………………………………3 分 a + 14 答:若 2 ≤ a < 4 ,则当每件产品售价为 元时,该分公司一年的利润 L 最大,最大值 2 (10 ? a ) 2 Q(a) = ;若 4 ≤ a ≤ 6 ,则当每件产品售价为 9 元时,该分公司一年的利润 L 最 4 ………………………………………………………2 分 大,最大值 Q ( a ) = 3(7 ? a ) . 18.解: 【解法一】如图,以线段 FA 的中点为原点 O , 以线段 FA 所在的直线为 x 轴, (1) 建立空间直角坐标系 O ? xyz .…………………1 分 B z 由题意,曲线 C 是平面 α 上以原点 O 为顶点, 由于在 xOy 平面内, C 是以 O 为顶点,以 x 轴 A l O 为对称轴的抛物线,其方程为 y 2 = 4 x , y
y2 因此,可设 P ( , y ,0) …………………………2 分 4

α

F x P

A(?1,0,0) , B (1,0,2) ,所以, AB = (2,0,2) , PB = (1 ?
由 P0 B ⊥ AB ,得 2(1 ?

y2 ,? y,2) .………………2 分 4

y2 ) + 4 = 0 ? y = 2 3 , ? P (3,2 3 ,0) ……………………2 分 4

3 1 (或 arcsin ) ………………2 分 . 2 3 【解法二】如图,以点 A 为原点 O ,以线段 FA 所在的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz . ……………………………………………………………………………1 分 所以, A(0,0,0) , B ( 2,0,2) , F ( 2,0,0) ,并设 P ( x, y ,0) ,
所以,直线 P0 B 与平面 α 所成角的大小为 arctan

? PB 2 + AB 2 = AP 2 , 由题意, ? ……………………………………………………………4 分 ? PF = PE. ?( x ? 2) 2 + y 2 + 4 + 8 = x 2 + y 2 , ? ? P (3,2 3 ,0) ………………………………………2 分 ? ?( x ? 2) 2 + y 2 = x 2 . ? 1 3 所以,直线 P0 B 与平面 α 所成角的大小为 arctan (或 arcsin ) ………………2 分 . 2 3 (2) 【解法一】由(1) ,得 ?ABP 的面积为 S ?ABP = 2 10 ,……………………………1 分

?AFP 的面积为 S ?AFP = 2 3 , ……………………………………………………………1 分 1 1 所以, × 2 10h = × 2 3 × 2 , …………………………………………………………3 分 3 3 30 解得, h = . ………………………………………………………………1 分 5 【解法二】 AB = (2,0,2) , AP = ( 4,2 3 ,0) ,设向量 n = ( x, y , z )

?4 x + 2 3 y = 0 所以,平面 ABP0 的一个法向量 n0 = (3,?2 3 ,?3) ,………………………………………3 分 ∴h = | AF ? n0 | | n0 | = 30 .……………………………………………………………………3 分 5

则?

?2 x + 2 z = 0,

19.解: (1)由 an +1 = 3an ? 4n + 2 得 an +1 ? 2( n + 1) = 3( an ? 2n) , 又 a1 ? 2 = 1 ≠ 0 , an ? 2n ≠ 0 ,得

an +1 ? 2(n + 1) = 3 , ………………………………3 分 an ? 2 n

所以,数列 {an ? 2n} 是首项为 3,公比为 3 的等比数列, ………………………………2 分 所以, bn = 3 .
n n

……………………………………………………………………2 分
n

(2) an ? 2n = 3 ? an = 2n + 3 ,

3 n (3 ? 1) + n(n + 1) ,…………………………………………………………………2 分 2 3 3 S n ? (n 2 + 2011n) = (3 n ? 1) ? 2010n = (3 n ? 1340n ? 1) . …………………………1 分 2 2 n 设 c n = 3 ? 1340n ? 1 , Sn =
由于 c n +1 ? c n = 2 ? 3 ? 1340
n

…………………………………………………………………………………………………2 分

当 n < 6 时, c n +1 < c n 当 n ≥ 6 时, c n +1 > c n 即,当 n < 6 时,数列 {c n } 是递减数列,当 n ≥ 6 时,数列 {c n } 是递增数列 又 c1 = ?4018 < 0 , c8 = ?4160 < 0 , c9 = 7622 > 0 所以,当 n ≤ 8 时, S n < n + 2011n ;
2

………………2 分

…………………………………………2 分 …………………………………………2 分
2 2 2

所以,当 n > 8 时, S n > n + 2011n .
2

20.解: (1)在 △PAB 中,由余弦定理,有 2 = a + b ? 2ab cos C , ……………1 分

| a + b |= 4 + 2ab(1 + cos C ) = 2 1 + ab cos 2

C = 2 1 + λ > 2 , ……………………3 分 2 所以,点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,长轴长 2a = 2 1 + λ 的椭圆. (除去长轴上的

顶点) …………………………………………………………………………………………1 分 如图,以 A 、 B 所在的直线为 x 轴,以 A 、 B 的中点为坐标原点建立直角坐标系. 则, A( ?1, 和 B (1, . 0) 0) 椭圆 C 的标准方程为:

x2 y2 + = 1 ( y ≠ 0) . …………………………………………4 分 1+ λ λ (2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) ,

①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x = 1 ,由题意,有 M (11) , N (1, 1) 在椭圆上. , ?

1 1 1± 5 1+ 5 ,由 λ > 0 ,得 λ = . ………………………………1 分 + =1? λ = 1+ λ λ 2 2 ②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y = k ( x ? 1) .


? x2 y2 + = 1, ? 得:[λ + (1 + λ )k 2 ]x 2 ? 2(1 + λ ) k 2 x + (1 + λ )(k 2 ? λ ) = 0 ,………2 分 由 ?1 + λ λ ? y = k ( x ? 1) ?
由题意知: λ + (1 + λ ) k 2 > 0 , 所以 x1 + x2 =

2(1 + λ )k 2 (1 + λ )(k 2 ? λ ) , x1 ? x2 = . λ + (1 + λ )k 2 λ + (1 + λ )k 2
2 2

? λ2 k 2 于是: y1 ? y2 = k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) = k [ x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1] = . λ + (1 + λ )k 2
因为 OM ⊥ ON ,所以 OM ? ON = 0 , 所以 x1 ? x2 + y1 ? y2 = 所以, k =
2

(1 + λ ? λ2 )k 2 ? λ2 ? λ = 0 ,………………………………………4 分 λ + (1 + λ )k 2

λ2 + λ ≥0, 1 + λ ? λ2
2

由 λ > 0 得 1 + λ ? λ > 0 ,解得 0 < λ < 综合①②得: 0 < λ ≤

1+ 5 . …………………………………………2 分 2

1+ 5 . ………………………………………………………………1 分 2


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