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高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第8节 平面与平面垂直的判定与性质

时间:2017-05-04


第 8 节 平面与平面垂直的判定与性质 【基础知识】 平面与平面垂直 定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 定理: 文字语言 判 定 定 理 性 质 定 理 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相 垂直. 如果两个平面互相垂 直, 那么在一个平面内 垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面. ⊥α α ⊥β 图形语言 符号语言

AB?β ? ?
? AB⊥α ?

??β ⊥α

α ∩β =MN

AB?β AB⊥MN

? ? ??AB ? ?

【规律技巧】 判定面面垂直的方法:(1)面面垂直的定义.(2)面面垂直的判定定理(a⊥β ,a ? α ? α ⊥β ). 在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,转化为线面垂直或线线垂直. 转化方法: 在一个平面内作交线的垂线, 转化为线面垂直, 然后进一步转化为线线垂直. 【典例讲解】 【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E, F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点.

求证:(1)CE∥平面 PAD; (2)平面 EFG⊥平面 EMN. 1 法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点,所以 AF= AB. 2

1 又 CD= AB,所以 AF=CD,又 AF∥CD, 2 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF∥AD.又 CF?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 CF∥平面 PAD.因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,PA?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE?平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD.

规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义;②面面垂直的判定定 理(a⊥β ,a?α ?α ⊥β ). (2)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转 化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 【变式探究】 在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.

求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 证明 (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA.

又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF.

【针对训练】 1、设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 ( A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥ ? 【答案】C 【解析】此题只要举出反例即可,A,B 中由 n ? ? , m ? n 可得 n // ? ,则 ? , ? 可以为任意角 度的两平面,A,B 均错误.C,D 中由 n ? ? , m // n 可得 m ? ? , 则有 ? // ? ,故 C 正确, D 错误. 2、已知直线, m 与平面 ? , ? , ? ,满足 ? ? ? ? l , l // ? , m ? ? , m ? ? ,则必有 ( ) )

B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

A. ? ? ? 且 m // ? C. m // ? 且 l ? m 【答案】D

B. ? // ? 且 ? ? ? D. ? ? ? 且 l ? m

【解析】因为 m ? ? , m ? ? ,所以 ? ? ? .因为 ? ? ? ? l ,所以 l ? ? ,又因为 m ? ? , 所以 l ? m . 3、如图,棱长为的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为线段 A1 B 上的动点,则下列结论错 . 误 的是 .

A. DC1 ? D1 P C. ?APD1 的最大值为 90 0 【答案】C

B.平面 D1 A1 P ? 平面 A1 AP D. AP ? PD1 的最小值为 2 ?

2

4、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D、E 分别是棱 BC、CC1 上的点(点 D 不同 于点 C),且 AD⊥DE,F 是 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

[证明] (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD.

又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,

CC1∩DE=E,所以 AD⊥平面 BCC1B1.
又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.

5、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1,若过 AB1 与 BC1 平行的平面交上底面 A1B1C1 的边 A1C1 于点 D. (1)确定 D 的位置,并证明你的结论; (2)证明:平面 AB1D⊥平面 AA1D.

6、关于直线 a,b,l 及平面 α ,β ,下列命题中正确的是(
A.若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b B.若 a∥α ,b⊥a,则 b⊥α C.若 a?α ,b?α ,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥α D.若 a⊥α ,a∥β ,则 α ⊥β [答案] D

)

7、已知两条不同的直线 m、n,两个不同的平面 α 、β ,则下列命题中的真命题是( A.若 m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m⊥n B.若 m∥α ,n∥β ,α ∥β ,则 m∥n C.若 m⊥α ,n∥β ,α ⊥β ,则 m⊥n D.若 m∥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m∥n [答案] A [解析]

)

m⊥α ? ?

??m∥β 或m?β α ⊥β ? ?

n⊥β

? ??m⊥n,故 A 正确; ?

如图(1),m⊥α ,n⊥α 满足 n∥β ,但 m∥n,故 C 错;

如图(2)知 B 错;

如图(3)正方体中,m∥α ,n⊥β ,α ⊥β ,知 D 错. 8、设 a、b 为两条直线,α 、β 为两个平面,下列四个命题中真命题是( A.若 a、b 与 α 所成角相等,则 a∥b B.若 a∥α ,b∥β ,α ⊥β ,则 a⊥b C.若 a?α ,b?β ,a⊥b,则 α ⊥β D.若 a⊥α ,b⊥β ,α ⊥β ,则 a⊥b 【答案] D )

9、如图,在三棱锥 V ? ??C 中,平面 V?? ? 平面 ??C , ?V?? 为等边三角形,

?C ? ?C 且 ?C ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.
(I)求证: V? // 平面 ??C ; (II)求证:平面 ??C ? 平面 V?? ; (III)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

【解析】 (Ⅰ)因为 O, M 分别为 ?? , V? 的中点, 所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面 ??C , 所以 VB / / 平面 ??C . (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 ?? 的中点, 所以 OC ? AB .

又因为平面 V?? ? 平面 ??C ,且 OC ? 平面 ??C , 所以 OC ? 平面 V?? . 所以平面 ??C ? 平面 V?? .

10、如图 4,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形, E , F 分别是 BC , CC1 的中点。 (I)证明:平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 ; (II)若直线 A1C 与平面 A1 ABB1 所成的角为 45? ,求三棱锥 F ? AEC 的体积。

【解析】 (I)如图,因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, 所以 AE ? BB1 ,又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点, 所以 AE ? BC ,因此 AE ? 平面 B1 BCC1 ,而 AE ? 平面 AEF , 所以平面 AEF ? 平面 B1 BCC1 。

【练习巩固】 1.如图, 在四面体 D-ABC 中, 若 AB=CB, AD=CD, E 是 AC 的中点, 则下列正确的是( )

A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE

D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥ 平面 BDE.因为 AC?平面 ABC, 所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC?平面 ACD, 所以平面 ACD⊥平面 BDE,所以选 C. 答案 C 2.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上 的射影 H 必在( )

A.直线 AB 上 C.直线 AC 上

B.直线 BC 上 D.△ABC 内部

解析 由 BC1⊥AC,又 BA⊥AC,则 AC⊥平面 ABC1,因此平面 ABC⊥平面 ABC1,因 此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上. 答案 A 3. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.则以下命 题中,错误的命题是 ( )

A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 答案 D 4、 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分别 是点 A 在 PB,PC 上的正投影,给出下列结论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC; ④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的 一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个你认为正确的条件 即可).

6.设 α,β 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线.从“①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一 个命题:________(用代号表示). 答案 ①③④?②(②③④?①) 7.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则 下列结论中: ①PB⊥AE; ②平面 ABC⊥平面 PBC; ③直线 BC∥平面 PAE; ④∠PDA=45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).

答案 ①④

8.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=2AC=2BC,D 是棱 AA1 的中点,CD⊥B1D.

(1)证明:CD⊥B1C1; (2)平面 CDB1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. (2)解 由(1)知 B1C1⊥CD,且 B1C1⊥C1C,

C1C∩CD=C,则 B1C1⊥平面 ACC1A1, 设 V1 是平面 CDB1 上方部分的体积,V2 是平面 CDB1 下方部分的体积, 1 则 V1=VB1-CDA1C1= ×S 梯形 CDA1C1×B1C1 3 1 3 1 3 = × B1C1 = B1C3 1. 3 2 2 1 3 V 总=VABC-A1B1C1= AC×BC×CC1=B1C1 , 2 1 V2=V 总-V1= B1C3 1=V1, 2 V1 故 =1∶1. V2


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