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2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案_图文

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学奥数,这里总有一本适合你! 华东师范大学出版社
2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛
安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责,预赛试题所涉及的知识范围,完 全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求,但在方法 的要求上有所提高,主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况,以及灵活 运用知识的综合能力.
试题包括 8 道填空题,4 道解答题,满分 150 分,考试时间为 2 小时. 印制试卷严格按照联赛的要求,秘密印卷,采用大包 30 份,小包 10 份的包装,通 过保密渠道,在 9 月 9 日左右寄达各市教研室. 各市教研员在收到试题后派专人保管, 并在考前 5 分钟拆封. 安徽省预赛于 2011 年 9 月 10 日举行,在这个值得庆贺日子“教师节”,我省 17 各地市的高中数学老师都在认真地监考. 共有 31078 名学生在各地、县中学参加考试. 初赛结束后,各地教研员认真组织改卷、初评和复评工作,坚持公开、公正、公平的原 则,最终复评后确定了 1130 人有参加 10 月 16 日到中国科学技术大学参加全国高中数 学复赛的资格.

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试题

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)

1.以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B,C 满足 A ? B ? 20, B ? C ? 30 ,

C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2.设 a 是正实数. 若 f (x) ? x2 ? 6ax ?10a2 ? x2 ? 2ax ? 5a2,x ? R 的最小值为 10,

则a ?

.

3.已知实系数多项式 f (x) ? x4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满

足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 ,则 f (0) ? f (4) 的

所有可能值集合为

.

4.设展开式 (5x ? 1)n ? a0 ? a1x ? ? ? an x n,n ? 2011.

若 a2011 ? max( a0 , a1,?, an ) ,则 n ?

.

5.在如图所示的长方体 ABCD? EFGH 中,设 P 是矩

形 EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE于点 Q . 若

第5题

AB ? 3 ,AD ? 2 ,AE ? 1,则 PQ ?

.

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外

侧滚动,其扫过区域的面积为

.

第6题

7.设直角坐标平面上的点 (x, y) 与复数 x ? y i 一一对应. 若点 A, B 分别对应复数 z, z ?1

( z ? R ),则直线 AB 与 x 轴的交点对应复数

(用 z 表示).

8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率



.

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分)

9.已知数列{an }满足 a1

?

a2

? 1, an

?1?

a1

? ?? an?2 4

(n

?

3 ),求 an 的通项公式.

10.已知正整数

a1

,

a2

,?,

a

n

都是合数,并且两两互素,求证:

1 a1

?

1 a2

???

1 an

?

1. 2

11.设 f (x) ? ax3 ? bx ? c ( a,b, c 是实数),当 0 ? x ? 1时, 0 ? f (x) ? 1. 求 b 的最大可

能值.

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12.设点 A(?1,0),B(1,0),C(2,0) ,D 在双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的左支上,D ? A,直线 CD 交 双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD与 BE的交点 P 在直线 x ? 1 上. 2

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本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联 赛备考手册(2012)(预赛试题集锦)》,该书收录 了 2011 年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人 员大多为各省市数学会成员,试题在遵循现行教学 大纲,体现新课标精神的同时,在方法的要求上有 所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工 作,试题对高考有一定的指导作用,本书架起了联赛与高考的桥梁,是一 本不可或缺的备考手册。
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1. 10. 2. 2. 3. {32}. 4. 2413.

解答

5. 17 . 4
6. 6ar ? 4 π r 2 .

7. z ? z . 1 ? zz

8.

3

.

(n ?1)(n ? 3)

9. an ? 1? a1 ?

? an?2 4

?

an?1

?

an?2 4

?

an

?

an?1 2

?

1 2

? ??

an?1

?

an?2 2

? ??

?

1 ? 2n?1

?

2n?1 an ? 2n?2 an?1 ? 1 ? ? ? n

?

an

?

n 2 n?1

.

10.设 ak 的最小素因子 pk ,因为 ak 不是素数,所以 ak

?

p

2 k

.

于是

? ? n 1
a k ?1 k

?

n k ?1

1 pk2

? ? 1 ? n

1

4 k?2 (2k ?1)2

? ? 1 ? n

1

4 k?2 (2k ?1)2 ?1

?1? 1 ?1 2 4n 2

11.由

? ?? ?

f f

(0) ? c (1) ? a

?

b

?

c

? ??

f

(

1 3

)

?

a 33

?

b ?c
3

可知

2b ? 3

3f (

1 3

)

?

f

(1)

? (3

3 ?1) f (0) ? 3

3

f

(x)

?

33 2

(x

?

x3)

满足题设,

b

的最大可能值为

33 2

.

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12.设 D(x1, y1),E(x2 , y2 ),P(x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k(x ? 2) ,则 x2 ? k 2 (x ? 2)2 ? 1 ,所以

所以

x1

?

x2

?

?4k 2 1? k2

,x1x2

?

?

1? 4k 2 1? k2

?

?1

?

5 4

(

x1

?

x2

)





y1 (x ?1) ? y ? y2 (x ?1) ,

x1 ?1

x2 ?1

y2 ? y1

x2 ? 2 ? x1 ? 2

x ? x2 ?1 x1 ?1 ? x2 ?1 x1 ?1 ? 2x1x2 ? 3x1 ? x2 。

y2 ? y1

x2 ? 2 ? x1 ? 2

3x2 ? x1 ? 4

x2 ?1 x1 ?1 x2 ?1 x1 ?1

把①代入上式,得 x ? 1 . 2


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