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2014届高考数学二轮复习精品教学案专题01

时间:2014-02-24


【2014 考纲解读】 1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集 合语言表示有关数学对象. 2 掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限 集的概念. 3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义,会判断简单集合的相等关系. 4.理解并集、交集的概念和意义,掌握有关集合并集、交集的术语和符号,并会用它们正确地表示一些 简单的集合,能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法. 5.了解全集的意义,理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号,并会用它们正确地表示一些简单的 集合,能用图示法表示集合之间的关系. 6.理解命题的概念;了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、 否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系; 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识络构建】

【重点知识整合】 1.集合 (1)元素的特征:确定性、互异性、无序性,元素与集合之间的关系是属于和不属于; (2)集合与集合之间的关系:集合与集合之间是包含关系和非包含关系,其中关于包含有包含和真包含, 用符号? ,?表示.其中一个集合本身是其子集的子集,空集是任何非空集合的真子集; (3)集合的运算: A∩B={x|x∈A,且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B},?UA={x|x∈U,且 x?A}. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题; (2)四种命题之间的关系:四种命题是指对“若 p,则 q”形式的命题而言的,把这个命题作为原命题,则 其逆命题是“若 q,则 p”,否命题是“若非 p,则非 q”,逆否命题是“若非 q,则非 p”,其中原命题和逆否 命题、逆命题和否命题是等价的,而且命题之间的关系是相互的。 3.充要条件 (1)充要条件:若 p ? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p ? q,则 p,q 互为充要条件; (2)充要条件与集合:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 B,则 p ? q 等价于 A ? B, p ? q 等价于 A=B 4.逻辑联结词 (1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; (2)带有逻辑联结词的命题真假:命题 p∨q,只要 p,q 有一为真,即为真命题,换言之,只有 p,q 均为 假命题时才为假;命题 p∧q,只有 p,q 均为真命题时才为真,换言之,只要 p,q 有一为假,即为假命 题;非 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题; (3)“或”命题和“且”命题的否定:命题 p∨q 的否定是非 p∧非 q;命题 p∧q 的否定是非 p∨非 q. 【高频考点突破】 考点一 集合的关系和运算 1.元素与集合的关系:元素 x 与集合 A 之间,要么 x∈A, 要么 x?A,二者必居其一,这就是集合元
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素的确定性,集合的元素还具有互异性和无序性.解题时要特别注意集合元素互异性的应用. 2.运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 例 1、已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 答案;C

答案:B 【解题方法】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性,代表的意义. (2)根据集合中元素的性质化简集合. (3)在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点值的取舍. 考点二 命题真假的判断 1.四种命题有两组等价关系,即原命题与其逆否命题等价,否命题与逆命题等价. 2.含有逻辑联结词的命题的真假判断:命题 p∨q,只要 p,q 至少有一为真,即为真命题,换言之,见 真则真;命题 p∧q,只要 p,q 至少有一为假,即为假命题,换言之,见假则假;非 p 和 p 为一真一假 两个互为对立的命题. 3.“或”命题和“且”命题的否定:命题 p∨q 的否定是非 p∧非 q;命题 p∧q 的否定是非 p∨非 q. 例 2. 原命题:若 a=1,则函数 f(x)=x3+ax2+ax+1 没有极值,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 1 1 1 1 1 1 解析:先考虑原命题,当 a=1 时,f(x)= x3+ x2+ x+1,f′(x)=x2+x+ =(x+ )2+ >0,所以 f(x)没有 3 2 2 2 2 4 1 1 1 极值,故原命题为真,因而逆否命题也为真;其逆命题是“若函数 f(x)= x3+ ax2+ ax+1 没有极值,则 3 2 2 1 1 a=1”.由 f(x)没有极值,故 f′(x)≥0,即 x2+ax+ a≥0 恒成立,这等价于 Δ=a2-4× 1× a≤0?0≤a≤2,所 2 2 以其逆命题是假命题,因而否命题也为假命题.答案;C 【变式】已知 a,b,c 都是实数,则命题“若 a>b,则 ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个 命题中,真命题的个数是 ( ) A.4 B.2 C.1 D.0

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【解题方法】命题真假的判定方法 (1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假. (2)四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无必然 联系. (3)形如 p 或 q、p 且 q、非 p 命题的真假根据真值表判定. 考点三 充要条件的判断 对于 p 和 q 两个命题,若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p 和 q 互为充要 条件.推出符号“?”具有传递性,等价符号“?”具有双向传递性. 例 3、设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

【变式】设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7 解析:因为 x≥2 且 y≥2?x2+y2≥4 易证,所以充分性满足,反之,不成立,如 x=y= ,满足 x2+y2≥4, 4 但不满足 x≥2 且 y≥2,所以 x≥2 且 y≥2 是 x2+y2≥4 的充分而不必要条件.答案:A 【解题方法】对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点 (1)要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推 出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分 不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A; (2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反 例来说明; (3)要注意转化:如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的必要不充分条件, 同理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,那么非 p 是非 q 的充分不必要条件,如果 p 是 q 的充要条件,那 么非 p 是非 q 的充要条件. 【难点探究】 难点一 集合的关系及其运算 ? x-1 ?< 2, 例 1 (1)设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|, x∈R}, N=x ? i 为虚数单位, x∈R, 则 M∩N 为( ) ?? i ? A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 答案:C 【拓展】本题需要注意两个问题,一是两个集合的含义,二是要注意集合 N 中的不等式是一个复数模的 实数不等式,不要根据实数的绝对值求解.高考考查集合一般是以集合的形式与表示等式的解、函数的 定义域、函数的值域等,在解题时要特别注意集合的含义. (2)设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足;(i) T ? { f ( x) | x ? S} ;(ii)对任 意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 3 对集合: ① A ? N, B ? N*; ② A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | ?8 ? x ? 10} ; ③ A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? R . 其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
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【答案】①②③ 本题考查的函数的性质.由题意可知 S 为函数的一个定义域, T 为其所对应的值域,且函 数 y ? f ( x) 为单调递增函数.对于集合对①,可取函数 f ( x ) ? 2 ( x ? N ) ,是“保序同构”;对于集合对
x

②,可取函数 y?

【变式 1】若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-y≥0,x2+y2≤4,x,y∈M},则 N 中元素的个数为( ) A.9 B.6 C.4 D.2 答案:C 【变式 2】已知集合 A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0 },若 A?B,则实数 c 的取值范围( ) A. (0,1] B. [1,+∞) C. (0,1) D. (1,+∞) 答案:B 难点二 四种命题和充要条件的判断 例 2.(1)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 (2)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:(1)A (2)B 【拓展】一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命 题,解这类试题时要注意对于一些关键词的否定,如本题中等于的否定是不等于,而不是单纯的大于、 也不是单纯的小于;进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假,这里要注意断定一个命题为真 需要进行证明,断定一个命题为假只要举一个反例即可. 难点三 逻辑联结词、量词和命题的否定 例 3. (1)若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.非 p 是真命题 D.非 q 是真命题 (2)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 ( ) ..
[Z|xx|k.Com]

y ? tan(?x ? )(0 ? x ? 1) ,是“保序同构”.故答案为①②③. 2

?

9 7 x ? (?1 ? x ? 3) , 是 “ 保 序 同 构 ” ; 对 于 集 合 对 ③ , 可 取 函 数 2 2

A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 答案:(1)D (2)D 【拓展】(1)“或”“且”联结两个命题,这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”命题的真假,其中“或”命 题是一真即真,“且”命题是一假即假,“非”是对一个命题的否定,命题与其“非”命题一真一假;(2)否定 一个命题就是否定这个命题的结论,即推翻这个命题,这与写出一个命题的否命题是不同的.一个命题 的否命题,是否定条件和结论后的形式上的命题,如本题中我们把命题改写为“已知 n 为任意整数,若 n 能被 2 整除,则 n 是偶数”,其否命题是“已知 n 为任意整数,若 n 不能被 2 整除,则 n 不是偶数”,显然 这个命题是真命题,但这个命题的否定是假命题. 【变式】有四个关于不等式的命题:

其中真命题是( A.p1,p4 答案:C

) B.p2,p4 C.p1,p3
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D.p2,p3

【解题技巧】 1.解答集合有关问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键.其次关注元素的互异性, 空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助数轴和韦恩图加以解决. 2.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否定是互相对立、 一真一假的. 3.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的对应关系,把命 题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否定形式给出的充要条件判断 中可以使用命题的等价转化方法. 4.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的基本命题的真假 判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 5.特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题. 难点四 根据命题真假、充要条件求参数取值范围 例 4.(1)给定两个命题,命题 p:对任意实数 x 都有 ax2>-ax-1 恒成立,命题 q:关于方程 x2-x+a=0 有实根. 若“p∨q”为真命题, “p∧q”为假命题,则实数 a 的取值范围 ;
' x 【变式】(1)命题“函数 y ? f ( x) 的导函数 f ( x) ? e ?

k2 1 ? (其中 e 为自然对数,k 为实数),且 f ( x) ex k
)

在 R 上不是单调函数”是真命题,则实数 k 的取值范围是( A. (-∞, ?

2 ) 2

B. ( ?

2 ,0) 2

C. (0,

2 ) 2

D. (

2 ,+∞) 2

答案:(1) (-∞,0) ? (

1 ,4) 【变式】(1) C 4

例 4. (2)函数 f ( x) A. a<0

?

?

log2 x, x ?0 ?2x ? a, x?0 有且只有一个零点的充分不必要条件是(
B. 0<a<

)

1 2

C.

1 <a<1 2

D.

a ? 0 或 a>1

【变式】(2)已知命题 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am,命题 q:实数 m 满足方程 焦点在 y 轴上的椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围 答案: (2)A 【变式】(2) ? , ? 3 8 【历届高考真题】 【2013 年高考试题】

x2 y2 ? ? 1 表示的 m ?1 2 ? m
.

?1 3? ? ?

1 . (上海) 设常数 a ? R ,集合 A ? x | ? x ? 1?? x ? a ? ? 0 , B ? ? x | x ? a ? 1? .若 A ? B ? R ,则 a 的取

?

?

值范围为( A. ? ??, 2 ?
【答案】B

) B. ? ??, 2 ? C. ? 2, ?? ? D. ? 2, ?? ?

2 . (重庆)已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B={2,3} ,则 ? U ( A ? B) ? (



A. {1,3, 4}

B. {3, 4}

C. {3}
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D. {4}

【答案】D 3 . (浙江)设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则 S∩T=





A.[-4,+∞) B.(-2, +∞) C.[-4,1] D.(-2,1] 【答案】D 4 . (天津)已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, B= {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ? A. (??, 2] B.[1,2] C.[-2,2] D.[-2,1]
【答案】D 5 . (四川)设集合 A ? {1, 2,3} ,集合 B ? {?2, 2} ,则 A ? B ? (





) D. {?2,1, 2,3}

A. ?
【答案】B

B. {2}

C. {?2, 2}

6 . (山东) 已知集合 A、B 均为全集 U ? {1,2,3,4} 的子集,且 ?U ( A ? B) ? {4} , B ? {1, 2} ,则 A ? ?U B ? (



A.{3}
【答案】A

B.{4}

C.{3,4}

D. ? )

7 . (辽宁)已知集合 A ? ?0,1, 2,3, 4? , B ? x | x ? 2 , 则A ? B ? (

?

?

A. ?0?
【答案】B

B. ?0,1?

C. ?0, 2?

D. ?0,1, 2?

8 . (高考课标Ⅱ卷)已知集合 M

? {x | ?3 ? x ? 1} , N ? {?3, ?2, ?1,0,1} ,则 M ? N ? (
C. {?2, ?1,0} D. {?3, ?2, ?1}



A. {?2, ?1,0,1} 【答案】C

B. {?3, ?2, ?1,0}

9 . (课标Ⅰ卷)已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {x | x ? n , n ? A} ,则 A ? B ? (
2



A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 【答案】A 2 10. (江西)若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0}其中只有一个元素,则 a=( ) A.4 B.2 C.0 D.0 或 4 【答案】A
11. (湖北)已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1, 2} , B ? {2,3, 4} ,则 B ? ? UA?(



A. {2}
【答案】B

B. {3, 4}

C. {1, 4,5}

D. {2,3, 4,5}

12. (广东)设集合 S ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R} , T ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R} ,则 S ? T
2 2

?(



A. {0}
【答案】A

B. {0, 2}

C. {?2,0}

D. {?2,0, 2}

13. (福建)若集合 A ? {1,2,3}, B ? {1,3,4} ,则 A ? B 的子集个数为(



A.2
【答案】C

B.3

C.4
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D.16

14. (大纲)设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合A ? ?1, 2? , 则?u A ? (

) D. ?

A. ?1, 2?
【答案】B

B. ?3, 4, 5?

C. ?1, 2,3, 4,5?

15. (北京)已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ? x | ?1 ?

x ? 1? ,则 A ? B ? (



A. ?0?
【答案】B

B. ??1, 0?

C. ?0,1?

D. ??1, 0,1?

16. (安徽)已知 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? ??2, ?1, 0,1? ,则 (CR A) ? B

?(



A. ??2, ?1?
【答案】A

B. ??2?

C. ??1, 0,1?

D. ?0,1?

17. (湖南)对于 E={a1,a2,.a100}的子集 X={a1,a2,,an},定义 X 的“特征数列”为 x1,x2,x100,其中 x1=x10=xn=1.

其余项均为 0,例如子集{a2,a3}的“特征数列”为 0,1,0,0,,0 (1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______; (2) 若 E 的子集 P 的“特征数列”P1,P2,,P100 满足 P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;E 的子集 Q 的“特征数列” q1,q2,q100 满足 q1=1,q1+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为_________. 【答案】(1) 2 (2) 17 (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”是:1,0,1,0,1,0,0 ? 0.所以前三项之和为 2.

(2)

【2012 年高考试题】 1.【浙江】设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)=( A .(1,4) 【答案】B B .(3,4) C.(1,3)
2

)

D .(1,2)∪(3,4) )

2. 【新课标】 已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ; 则 B 中所含元素的个数为 ( A .3 【答案】D B .6 C .?
2

D . ??

3.【陕西】集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? (
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A. (1, 2) 【答案】C

B. [1, 2)

C. (1, 2]

D. [1, 2]

4.【山东】已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 CU A ? B 为( A. ?1, 2, 4? 【答案】C B.

)

?2,3, 4?

C.

?0, 2, 4?

D.

?0, 2,3, 4?

5.【辽宁】已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B={2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) 为( ) A. {5,8} B. {7,9} C. {0,1,3} D. {2,4,6} 【答案】B 6.【江西】若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 7.【湖南】设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N=( ) A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 8【广东】设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 },则 CuM=( ) A.U B. {1,3,5} C.{3,5,6} D. {2,4,6} 【答案】C 9.【北京】已知集合 A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} 则 A∩B=( ) A.(- ? ,-1) 【答案】D 10.【全国】已知集合 A={1.3. A 0或 3 B 0或3 B. (-1,-

)

2 ) 3

C. (-

2 ,3) 3

D . (3,+ ? )

m },B={1,m} ,A ? B=A, 则 m=(
C 1或 3 D 1或3

)

【答案】B 11.【四川】设全集 U ? {a, b, c, d } ,集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d} ,则 CU A ? CU B ___________。 【答案】 ?a, c, d ? 12.【上海】若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? 。

13. 【天津】 已知集合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集合 B ? {x ? R | ( x ? m)( x ? 2) ? 0}, 且 A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________. 【答案】 ? 1,1

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