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2014-2015学年辽宁省大连市第二十高级中学高二数学上学期期末考试试题 理

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数学(理)试题
一.选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、已知 a ? ? 2,1,0? , b ? ? ?1,0,2? , 且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是 ( A. 1 B.
1 4



C.

3 4

D.

7 5
( )

2、设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x2 ? y 2 ? 4 ”的 A、充分而不必要条件 C、充分必要条件
6 6 6 6

B、必要而不充分条件 D、即不充分也不必要条件 )
6 6

3、已知 A ?1,0,0 ? , B ? 0, ?1,1? , OA ? ? OB 与 OB 的夹角为 60°,则 ? 的值为( A. ? B. C. ? D. ? 6 ( D、 ??

4、已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A、 7 B、 5 C、 ??

?



5、直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 的离心率为 A、

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆 a 2 b2
( ) D、

2 5 5

B、

1 2

C、

5 5

2 3
( )

6、设 x ? 3 y ? 2 ,则函数 z ? 3x ? 27 y 的最小值是 A、12 7、 已知双曲线 B、 6 C、27

D、30

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 x ? y 2 的焦点重合,且双曲线的渐近线方 2 4 a b
( )

程为 y ? ?2 x ,则该双曲线的方程为 A、 5 x 2 ?

4 y2 x2 y2 ? 1 B、 ? ?1 5 5 4

C、

y2 x2 ? ?1 5 4

D、 5 x 2 ?

5 y2 ?1 4
( ) ④

8、下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是 1 1 1 ① OM ? OA ? OB ? OC; ② OM ? OA ? OB ? OC; 5 3 2 OM ? OA ? OB ? OC ? 0 A. 1 B. 2 C. 3 9、已知 f (n) ? ? A、 ?1



MA ? MB ? MC ? 0;

D. 4 )

?n, n为奇数 ??n,n为偶数

f n) ?( f n ?1 ) 若 an ? ( ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a2014 ? (
C、0 D、-2012

B、2012

-1-

y2 10、设直线 l:y=2x+2,若 l 与椭圆 x ? ? 1的交点为 A、B,点 P 为椭圆上的动点,则 4
2

使△PAB 的面积为 2-1 的点 P 的个数为 A、0 B、1 C、2 D、3 11、将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,若点 P 满足 BP ? 3 A. 2





1 1 BA ? BC ? BD ,则 BP 的值为 2 2
B.2 10- 2 C. 4

( 9 D. 4



12、若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 所截的弦长不小于 2,则 l 与下列曲线一定有公共点的是 ( ) B. y ? x
2

A、 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D. x 2 ? y 2 ? 1

卷Ⅱ 二.填空题 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、已知 A(2,1, 0) , B(0,3,1) , C (2, 2,3) ,则 AC 在 AB 上的正投影的数量为

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 14 、 若 实 数 x , y 满 足 ? x ? y ? 0 , 则 z ? 22 x ? y 的 最 大 值 为 _______ , 最 小 值 为 ? x? y?2?0 ?
______ .

x2 y 2 15、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲 a b
线的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线方程为 16、正四棱柱 ABCD ? A' B'C ' D' 中,底面边长为 1,侧棱长为 2,且 MN 是 AB ' , BC ' 的公 垂线, M 在 AB ' 上, N 在 BC ' 上,则线段 MN 的长度为 三.解答题本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 10 分)已知 f(x)= ax 2 ? x ? a , 17 (1)若函数 f ( x ) 有最大值 8 ,求实数 a 的值; (2)若不等式 f ( x ) > -2x2-3x+ 1-2a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; 18、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 为等差数列, a3 ? 5 , a7 ? 13 ,数列 ?bn ? 的前 n 项 和为 S n ,且有 S n ? 2bn ? 1

-2-

(1)求 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an bn , ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn ; 19、 (本小题满分 12 分)如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 O 是正方形 ABCD 对 角线的交点,AA 点 E ,F 分别在 CC1 和 A 1 ? 4, AB ? 2 , 1 A 上, 且A 1 F ? CE (Ⅰ)求证: B1F ∥平面 BDE (Ⅱ)若 AO ? BE ,求 CE 的长; 1 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角 A 1 ? BE ? O 的余弦值.

20、 (本小题满分 12 分)如图, F 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点,A(4,2)为抛物线内一定点, P 为抛物线上一动点,且 PA ? PF 的最小值为 8。 (1)求该抛物线方程; (2)如果过 F 的直线 l 交抛物线于 M , N 两点, 且 | MN |? 32 ,求直线 l 的倾斜角的取值范围。

21、 (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB, AB ? A A1, 且 ?BA A1 ? 60? (Ⅰ)证明 AB ? A1C; (Ⅱ)若平面 ABC ? 平面 AA1B1B, AB ? CB ? 2, 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的 正弦值. y A x O F B
-3-

l

x2 y 2 3 22、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的 a b 3
直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求椭圆的方程; (II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立?若存在, 求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

2 2

-4-

当 a ≠-2 时, ?

?a ? 2 ? 0 ?? ? 16 ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0

所以 a >2. ?10 分 18、解: (1)∵ ?an ? 是等差数列,且 a3 ? 5 , a7 ? 13 ,设公差为 d 。 ∴ ?

? a1 ? 2d ? 5 , ?a1 ? 6d ? 13

解得 ?

?a1 ? 1 ∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ?d ? 2
在 ?bn ? 中,∵ S n ? 2bn ? 1

(n? N?)

?3 分

当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 1 ,∴ b1 ? 1

当 n ? 2 时,由 S n ? 2bn ? 1 及 S n?1 ? 2bn?1 ? 1 可得

bn ? 2bn ? 2bn?1 ,∴ bn ? 2bn?1
∴ bn ? 2
n ?1

∴ ?bn ? 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 ?6 分

(n? N?)
n?1

(2) cn ? an bn ? (2n ? 1) ? 2

Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ①

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 n?1

? (2n ? 1) ? 2n
? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n

2(1 ? 2 n ?1 ) ? 1? 2? ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n

∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 ? 3
n

(n? N?)

?12 分

-5-

19、解:解: (Ⅰ)证明:取 BE1 ? CE ,连结 EE1 和 AE1 , ∴ EE1 ? BC , EE1 ∥ BC , BC ? AD , BC ∥ AD , ∴ EE1 ? AD , EE1 ∥ AD .∴四边形 AE1ED 为平行四边形, ∴ AE1 ∥ DE , 在矩形 A 1 ABB 1 中, A 1 F ? BE1 , ∴ B1F ∥ AE1 , B1F ∥ DE . ∴四边形 B1FAE1 为平行四边形.

∵ DE ? 平面 BDE , B1F ? 平面 BDE ,∴ B1F ∥平面 BDE .———4 分 (Ⅱ)连结 OE ,在棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,以 OA 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 Y

3 .————8 分 4 (Ⅲ)以 A 为原点, AB , AD , AA1 所在直线为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标 1 B(2, 0, 0), E (2, 2, ), A1 (0, 0, 4), O(1,1, 0) . 系. 2 7 OA1 ? (?1, ?1, 4), A1 B ? (2, 0, ?4), A1 E ? (2, 2, ? ) , 2 OBE 的一个法向量, 由(Ⅱ)知 OA 1 为平面
轴建系,

CE ?

设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A 1BE 的一个法向量,

?2 x ? 4 z ? 0 ? 则 , ? 7 2 x ? 2 y ? z ? 0 ? ? 2 1 2 令 z ? 1 ,所以 n ? (2, ? ,1) . ∴ cos ? n, OA1 ?? , 4 6 ∵二面角 A ∴二面角 A 1 ? BE ? O 的平面角为锐角, 1 ? BE ? O 的余弦值为

? ?n ? A1 B ? 0 ,即 ? n ? A E ? 0 ? ? 1

2 . 12 分 6
20、 (1) y ? 16 x ;4 分
2

(2)设直线方程为 x ? ky ? 4 ,与抛物线方程联立: y ? 16ky ? 64 ? 0 ?6 分
2

MN ? (1 ? k 2 )(256k 2 ? 256) ? 32 , k 2 ? 1 ,所以斜率的范围是 ??1,1? ,所以倾斜角的范
围是 ?0,

? ?? ? 4? ?

? 3? ? ,? ? ? ? 4 ?

?12 分

21、(Ⅰ)取 AB 中点 E,连结 CE, A1 B , A1 E , ∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正
0



角 形 ,∴ A1 E ⊥AB,

∵CA=CB,

-6-

∴CE⊥AB, ∴AB⊥ A1C ;

∵ CE ? A1 E =E,∴AB⊥面 CEA1 ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A1 ,面 ABC∩面 ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 , ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单位长 度,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0),

A1 (0,

3

,0),C(0,0,

3

),B(-1,0,0),



BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA1 =(-1,0, 3 ), A1C =(0,- 3 , 3 ),
设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, 则?

? ?n ? BC ? 0 ? ?n ? BB1 ? 0

,即 ?

? ? x ? 3z ? 0 ? ?x ? 3y ? 0

,可取 n =( 3 ,1,-1),

∴ cos n, A1C =

n ? A1C 10 , | n || A1C | 5
10 5

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

22、解(I)设 F (c,0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

2 2



c 3 |0?0?c| 2 ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ,? a ? 3, b ? 2 . ? a 3 2 2
x2 y 2 ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1
2 2 代入椭圆的方程中整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。

由韦达定理有: y1 ? y2 ? ?

4m 4 , y1 y2 ? ? ,. . . . . . . .① 2 2m ? 3 2m 2 ? 3

.假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:

-7-

点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1。 3 2

整 理 得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1 x2? 6 y1 y? 。6 又 A、B 在 椭 圆 上 , 即 2

2x12 ? 3 y12 ? 6 , x 222 ? y 322 ?. 6
故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② 将 x1x2 ? (my1 ? 1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 及①代入②解得 m ?
2

1 2

? y1 ? y2 ?

4m 2 3 2 2 3 2 ? 2 ? ,即 P( , ? , x1 ? x2 = ? 或? ). 2 2m ? 3 2 2 2 2 2

-8-


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