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2017届高三文科数学(通用版)二轮复习:专题限时集训9 空间几何体表面积或体积的求解 Word版含解析

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专题限时集训(九) 空间几何体表面积或体积的求解
建议 A、B 组各用时:45 分钟] A组 一、选择题 1. (2016· 石家庄二模)一个三棱锥的正视图和俯视图如图 1013 所示, 则该三棱 锥的侧视图可能为( ) 高考达标]

图 1013 D 分析三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,

其中平面 ACD⊥平面 BCD,故选 D.] 2. (2016· 郑州一模)一个几何体的三视图如图 1014 所示, 且其侧视图是一个等 边三角形,则这个几何体的体积为( )

图 1014
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4 A.3 3 C.2 3 B

5 B.3 3 8 D.3 3

1 由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥 PABCDE,∴体积 V=3

5 ?1 ? ×?2×2×1+22?× 3=3 3,故选 B.] ? ?

3.(2016· 开封一模)在三棱锥 PABC 中,AB=BC= 15,AC=6,PC⊥平面 ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为( ) 【导学号:85952038】 25 A. 3 π 83 C. 3 π D 25 B. 2 π 83 D. 2 π

由题可知,△ABC 中 AC 边上的高为 15-32= 6,球心 O 在底面 ABC 的

5 投影即为△ABC 的外心 D, 设 DA=DB=DC=x, ∴x2=32+( 6-x)2, 解得 x=4 6, 83 ?PC? 75 ∴R2=x2+? 2 ?2= 8 +1= 8 (其中 R 为三棱锥外接球的半径), ∴外接球的表面积 S ? ? 83 =4πR2= 2 π,故选 D.] 4. (2016· 湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图 1015 所示, 其中俯视图是 正三角形,则该几何体的体积为( )

图 1015 A. 3
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B.2 3

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C.3 3

D.4 3

B

分析题意可知,该几何体是由如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1 截去四棱锥

3 1 1+2 ABEDC 得到的,故其体积 V= 4 ×22×3-3× 2 ×2× 3=2 3,故选 B.] 5.(2016· 广州二模)如图 1016,网格纸上小正方形的边长为 1,

图 1016 粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为( A.8+8 2+4 6 B.8+8 2+2 6 C.2+2 2+ 6 1 2 6 D.2+ 2 + 4 )

A

在正方体中还原出该四面体 CA1EC1 如图所示,可求得该四面体的表面积

为 8+8 2+4 6.] 二、填空题 6.(2016· 昆明一模)已知三棱锥 PABC 的顶点 P,A,B,C 在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 3的等边三角形,如果球 O 的表面积为 36π,那么 P 到平面 ABC 距离的最大值为________.

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3+2 2

1 3 依题意,边长是 3的等边△ABC 的外接圆半径 r=2· =1.∵球 sin 60°

O 的表面积为 36π=4πR2, ∴球 O 的半径 R=3,∴球心 O 到平面 ABC 的距离 d= R2-r2=2 2,∴球面 上的点 P 到平面 ABC 距离的最大值为 R+d=3+2 2.] 7.(2016· 山东省实验中学模拟)三棱锥 PABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中 V1 点,记三棱锥 DABE 的体积为 V1,PABC 的体积为 V2,则V =________.
2

1 4

如图,设 S△ABD=S1,S△PAB=S2,

E 到平面 ABD 的距离为 h1,C 到平面 PAB 的距离为 h2,则 S2=2S1,h2=2h1, 1 1 V1 S1h1 1 V1=3S1h1,V2=3S2h2,所以V =S h =4.]
2 2 2

8.(2016· 海口二模)半径为 2 的球 O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形,侧棱 垂直底面). 当该正四棱柱的侧面积最大时, 球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差 是________. 16(π- 2) 设内接正四棱柱底边长为 a,高为 h,那么 16=2a2+h2≥2 2ah, 正四棱柱的侧面积 S=4ah≤16 2,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是 16(π - 2).] 三、解答题 9.(2016· 合肥二模)如图 1017,P 为正方形 ABCD 外一点,PB⊥平面 ABCD, PB=AB=2,E 为 PD 的中点.

图 1017 (1)求证:PA⊥CE; (2)求四棱锥 PABCD 的表面积.
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解] 共面.

(1)证明:取 PA 的中点 F,连接 EF,BF,则 EF∥AD∥BC,即 EF,BC

∵PB⊥平面 ABCD,∴PB⊥BC,又 BC⊥AB 且 PB∩AB=B, ∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PA.3 分 ∵PB=AB,∴BF⊥PA,又 BC∩BF=B, ∴PA⊥平面 EFBC,∴PA⊥CE.6 分 (2)设四棱锥 PABCD 的表面积为 S, ∵PB⊥平面 ABCD,∴PB⊥CD,又 CD⊥BC,PB∩BC=B, ∴CD⊥平面 PBC,∴CD⊥PC,即△PCD 为直角三角形,8 分 由(1)知 BC⊥平面 PAB,而 AD∥BC,∴AD⊥平面 PAB, 故 AD⊥PA,即△PAD 也为直角三角形. S?ABCD=2×2=4, 1 S△PBC=S△PAB=S△PDA= ×2×2=2, 2 1 S△PCD=2×2× 22+22=2 2,10 分 ∴S 表=S?ABCD+S△PBC+S△PDA+S△PAB+S△PCD =10+2 2.12 分 10.(2016· 湖北七市模拟)如图 1018,一个侧棱长为 l 的直三棱柱 ABCA1B1C1 容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱 AC,BC,B1C1,A1C1 的中 点 D,E,F,G.

图 1018 (1)求证:平面 DEFG∥平面 ABB1A1; (2)当底面 ABC 水平放置时,求液面的高.

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解]

(1)证明:因为 D,E 分别为棱 AC,BC 的中点,所以 DE 是△ABC 的中位

线,所以 DE∥AB.又 DE?平面 ABB1A1,AB?平面 ABB1A1,所以 DE∥平面 ABB1A1. 同理 DG∥平面 ABB1A1,又 DE∩DG=D,所以平面 DEFG∥平面 ABB1A1.6 分 (2)当直三棱柱 ABCA1B1C1 容器的侧面 AA1B1B 水平放置时,由(1)可知,液体 部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱 ABCA1B1C1 容器的高,即侧棱长 l,当底面 ABC 水平放置时, 设液面的高为 h, △ABC 的面积为 S, 则由已知条件可知, △CDE 1 3 ∽△ABC,且 S△CDE=4S,所以 S 四边形 ABED=4S.9 分 3 3 由于两种状态下液体体积相等,所以 V 液体=Sh=S 四边形 ABEDl=4Sl,即 h=4l. 3 因此,当底面 ABC 水平放置时,液面的高为4l.12 分 B组 一、选择题 1.(2016· 沈阳一模)如图 1019,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是 一个凸多面体的三视图(两个矩形,一个直角三角形),则这个几何体可能为( ) 名校冲刺]

图 1019 A.三棱台 C.四棱柱 B.三棱柱 D.四棱锥

B

根据三视图的法则:长对正,高平齐,宽相等,可得几何体如图所示.这

是一个三棱柱.] 2.(2016· 重庆二模)某几何体的三视图如图 1020 所示,则该几何体的体积为 ( )

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图 1020 2 A.3 5 C.3 B 4 B.3 7 D.3 根据三视图可知,几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中

该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为 1,2,高为 1);该三棱锥的底 1 面是一个直角三角形(腰长分别为 1,2,高为 1),因此该几何体的体积为2×2×1×1 1 1 4 +3×2×2×1×1=3,选 B.] 3.(2016· 唐山二模)某几何体的三视图如图 1021 所示,则该几何体的体积为 ( )

图 1021 A.6π+4 5π C. 2 D B.π+4 D.2π

由三视图知,该几何体为一个底面半径为 1,高为 1 的圆柱体,与底面半

1 径为 1, 高为 2 的半圆柱体构成, 所以该三视图的体积为 π×12×1+2π×12×2=2π, 故选 D.] 4.(2016· 江西上饶三模)从点 P 出发的三条射线 PA,PB,PC 两两成 60° 角,且 分别与球 O 相切于 A,B,C 三点,若 OP= 3,则球的体积为(
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)

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π A.3 4π C. 3 C

2π B. 3 8π D. 3

设 OP 交平面 ABC 于 O′,

由题得△ABC 和△PAB 为正三角形, 3 3 所以 O′A= 3 AB= 3 AP. 因为 AO′⊥PO,OA⊥PA, AO′ OP AP 3 AO′ 3 所以OA= , AB = 3 , AP = 3 , AO′ 所以 OA= OP· O′A 3 = 3 × AP 3 =1,

即球的半径为 1, 4 4 所以其体积为3π×13=3π.选 C.] 二、填空题 5.(2016· 广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱 的长都为 1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为________. 【导学号:85952039】 5 5π 6 半径为 R= 5 5π 6 .] 6.如图 1022,在三棱锥 ABCD 中,△ACD 与△BCD 都是边长为 4 的正三角 形,且平面 ACD⊥平面 BCD,则该三棱锥外接球的表面积为________. 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r=1, 其高 h=1,∴球 ?h? r2+?2?2= ? ? 1 1+4= 5 4 3 4 ? ? 4,∴该球的体积 V=3πR =3×? 5?3 ? π= 4?

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图 1022 80 π 取 AB,CD 的中点分别为 E,F,连接 EF,AF,BF,由题意知 AF⊥BF, 3 1 AF=BF=2 3, EF=2 AF2+BF2= 6, 易知三棱锥的外接球球心 O 在线段 EF 上,

所以 OE+OF= 6. 设外接球的半径为 R,连接 OA,OC,则有 R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2, 所以 AE2+OE2=CF2+OF2,( 6)2+OE2=22+OF2, 所以 OF2-OE2=2, 8 20 又 OE+OF= 6,则 OF2=3,R2= 3 ,所以该三棱锥外接球的表面积为 4πR2 80 = 3 π.] 三、解答题 7.如图 1023,矩形 CDEF 和梯形 ABCD 互相垂直,∠BAD=∠ADC=90° , 1 AB=AD=2CD,BE⊥DF.

图 1023 (1)若 M 为 EA 中点,求证:AC∥平面 MDF; (2)若 AB=2,求四棱锥 EABCD 的体积.

解]

(1)证明:设 EC 与 DF 交于点 N,连接 MN,

在矩形 CDEF 中,点 N 为 EC 中点, 因为 M 为 EA 中点,所以 MN∥A C.2 分
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又因为 AC?平面 MDF,MN?平面 MDF, 所以 AC∥平面 MDF.4 分 (2)取 CD 中点为 G,连接 BG,EG, 平面 CDEF⊥平面 ABCD,平面 CDEF∩平面 ABCD=CD, AD?平面 ABCD,AD⊥CD, 所以 AD⊥平面 CDEF,同理 ED⊥平面 ABCD,7 分 所以 ED 的长即为四棱锥 EABCD 的高.8 分 1 在梯形 ABCD 中,AB=2CD=DG,AB∥DG, 所以四边形 ABGD 是平行四边形,BG∥AD,所以 BG⊥平面 CDEF. 又 DF?平面 CDEF,所以 BG⊥DF,又 BE⊥DF,BE∩BG=B, 所以 DF⊥平面 BEG,DF⊥EG.10 分 注意到 Rt△DEG∽Rt△EFD,所以 DE2=DG· EF=8,DE=2 2, 1 所以 VEED=4 2.12 分 ABCD= S 梯形 ABCD· 3 8.如图 1024,在多面体 ABCDM 中,△BCD 是等边三角形,△CMD 是等腰

图 1024 直角三角形,∠CMD=90° ,平面 CMD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,点 O 为 CD 的中点,连接 OM. (1)求证:OM∥平面 ABD; (2)若 AB=BC=2,求三棱锥 ABDM 的体积. 解] 点, ∴OM⊥CD.1 分 ∵平面 CMD⊥平面 BCD,平面 CMD∩平面 BCD=CD,OM?平面 CMD, ∴OM⊥平面 BCD.2 分 ∵AB⊥平面 BCD,∴OM∥AB.3 分 ∵AB?平面 ABD,OM?平面 ABD,∴OM∥平面 ABD.4 分 (2)法一:由(1)知 OM∥平面 ABD,
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(1)证明:∵△CMD 是等腰直角三角形,∠CMD=90° ,点 O 为 CD 的中

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∴点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离.5 分 过点 O 作 OH⊥BD,垂足为点 H.

∵AB⊥平面 BCD,OH?平面 BCD,∴OH⊥AB.6 分 ∵AB?平面 ABD,BD?平面 ABD,AB∩BD=B,∴OH⊥平面 ABD.7 分 ∵AB=BC=2,△BCD 是等边三角形, 3 ∴BD=2,OD=1,OH=OD· sin 60° = 2 .9 分 ∴V 三棱锥 ABDM=V 三棱锥 MABD 1 1 =3×2×AB· BD· OH 1 1 3 3 =3×2×2×2× 2 = 3 .11 分 3 ∴三棱锥 ABDM 的体积为 3 .12 分 法二:由(1)知 OM∥平面 ABD, ∴点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离.5 分 ∵AB=BC=2,△BCD 是等边三角形,∴BD=2,OD=1.6 分 连接 OB,则 OB⊥CD,OB=BD· sin 60° = 3.7 分 ∴V 三棱锥 ABDM=V 三棱锥 MABD=V 三棱锥 OABD=V 三棱锥 ABDO 1 1 =3×2×OD· OB· AB 1 1 3 =3×2×1× 3×2= 3 .11 分 3 ∴三棱锥 ABDM 的体积为 3 .12 分

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