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广东省北江中学2009届高三12月月考数学理科试卷

时间:2019-05-14

12999 数学

广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学(理)试卷
第一部分 选择题(共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x | y ? log2 (?x2 ? x ? 2), x ? R} , B ? {x | y ? 1 ? x 2 , x ? R} 则 A ? B = A.

(?1,1)

B.

(?1,1]

C.

(?1, 2)

D.

[?1, 2]

2. 已知复数 z 满足

?

3 ? 3i z ? 3i ,则 z =

?

A

3 3 - i 2 2

B.

3 3 - i 4 4

C

3 3 + i 2 2

D

3 3 + i 4 4

3. 甲校有 3600 名学生, 乙校有 5400 名学生, 丙校有 1800 名学生, 为统计三校学生某方面的情况, 计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学生 A. 30 人, 30 人, 30 人 C. 20 人, 30 人, 10 人 B. 30 人, 45 人, 15 人 D. 30 人, 50 人, 10 人

4. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0 D. ?2 或 0

?

? x) ? f ( ? x), 则 f ( ) 等于 6 6 6

?

?

4 5.“ a ? 2 ”是“ ( x ? a)6 的展开式的第三项是 60 x ”的________条件

A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要

D. 既不充分也不必要

6. 甲、乙两间工厂的月产值在 08 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以 后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到 08 年 11 月份发现两间工厂的月产值又相同.比较 甲、乙两间工厂 08 年 6 月份的月产值大小,则有 A. 甲的产值<乙的产值 B. 甲的产值=乙的产值 C. 甲的产值>乙的产值 D.不能确定 7. 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ?

1 ,若 f ( x ) 在 [?1, 0] 上是减函数,那么 f ( x)

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f ( x) 在 [2,3] 上是
A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

8. △ ABC 内有一点 O ,满足 OA ? OB ? OC ? 0 ,且 OA OB ? OB OC .则 △ ABC 一定是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

第二部分
二. 填空题(每小题 5 分,共 30 分)

非选择题(共 110 分)

9. 从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动,要求翻 译有 2 人参加,交通和礼仪各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 10. 定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如图 1 所示,则式子: . (用数字作答)
开始

5? ? ? ?1? ? 2 tan ? ? ln e ? lg100? ? ? 的值是 4 ? ? ? 3?

?1

.


输入两个数 a 和 b

a?b



输出 a ×( b +1)

输出 a ×( b –1)

结束

图1

11. 如图 2,由两条曲线

y ? ? x 2 ,4 y ? ? x 2 及直线 y ? ?1 所围成
的图形的面积为 。

?x ? y ? 2 ? 0 ? 12.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
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图2

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目标函数 z ? y ? ax(a ? R) .若 z 取最大值时的唯一最优解 是(1,3),则实数 a 的取值范围是________________. 注意,请从 13-15 题中任选两题,三题都选只计算前两题得分. 13 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 把 极 坐 标 方 程 ? cos(? ? ____________________. 14. (几何证明选讲选做题)如图,梯形 ABCD , AB // CD ,

?
6

) ?1 化为直角坐标方程是

D E

C

E 是对角线 AC 和 BD 的交点, S?DEC : S?DBC ? 1: 3 ,
则 S?DEC : S ABD ? __________ .

A

B

15. (不等式选讲选做题) 函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x 的最大值为_________________。 三.解答题(共 6 小题,共 80 分,请写出必要的解题步骤) 16.(本小题满分 12 分) 4

y

nx(? ? 已 知 f ( x )? A s i?
的图象如右图 (Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式;

A? ) ( ? ? 0 ,?

?
2

?0 ?, ?

?
2

)
0

?4

? 6

?

x

(Ⅱ)说明 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到?

17. (本小题满分 12 分) 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (Ⅰ)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率;

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(Ⅱ)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

18. (本小题满分 14 分) 已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时,直线 AB 恒 过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

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19. (本小题满分 14 分) A 如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.
D (Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离. B E O C

20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } , a1 ? a2 ? 2 , an?1 ? an ? 2an?1 (n ? 2) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an (Ⅱ)当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an

2 * (Ⅲ)若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f (n) ? f (n). (n ? N )

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求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学(理)答题卷
姓名:____________班级:____________学号:____________考号:___________

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9、______________;10、_______ ;11、________;12、_____________

13、______________;14、___________; 15、_______________.

三、解答题(共 80 分) 16、 (本小题满分 12 分)

y
4

0

?4

? 6

?

x

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17、 (本小题满分 12 分)

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18、 (本小题满分 14 分)

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19、 (本小题满分 14 分) A

D O B E C

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姓名:____________班级:____________学号:____________考号:_________

20、 (本小题满分 14 分)
12999 数学

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21、 (本小题满分 14 分)

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广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学(理)试卷参考答案
一、选择题:BDBBA CAD 二、填空题:9.60; 10.8; 11. 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 解: ( 1) 由图知 A= 4----------------1 分

4 ; 12. (1, ??) ;13. 3

3x ? y ? 2 ? 0 ; 14.1:6;15. 6 3

3T ? 5? 10? 9 ?? ? ? ,得 T ? 所以 ? ? -------------3 分 4 6 6 9 5 9 ? ? ? 9 ? 由 ? ? ? ? ,得 ? ? -------------5 分,所以, f ( x) ? 4sin( x ? ) ---------6 分 5 6 2 5 5 5
由 (2) ①由 y ? sin x 得图象向左平移

? ? 单位得 y ? sin( x ? ) 的图象--------8 分 5 5 ? 5 9 ? ② 再由 y ? sin( x ? ) 图象的横坐标缩短为原来 得 y ? sin( x ? ) 的图象---10 分 5 9 5 5 9 ? 9 ? ③由 y ? sin( x ? ) 的图象纵坐标伸长为原来的 4 倍得 f ( x) ? 4sin( x ? ) 的图象 12 5 5 5 5
17. (本小题满分 12 分) 解: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 ? ……4 分 3 8 4

(2)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3………………5 分

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P(ξ=0)=

33 27 ? 4 3 64
1 C3 ?3 9 ? 3 64 4

P(ξ=1)=

1 C3 ? 32 27 ? 64 43

P(ξ=2)=

P(ξ=3)=

3 C3 1 ? ………………9 分 43 64

∴ξ的分布列为:

ξ P

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

………………10 分

∴期望 Eξ=0×

27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = ………………12 分 64 64 64 64 4

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的距 离.所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 所以所求的轨迹方程为 y 2 ? 4 x ---------5 分 (2) 假设存在 A,B 在 y 2 ? 4 x 上, 所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

p ? 1, p ? 2 , 2

y2 ? y1 y12 y2 ? y1 ( x ? ) ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 y2 y12 4 x2 ? x1 ? 4 4

即 AB 的方程为: y ? y1 ?

y2 4 ( x ? 1 ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4x ? y12 y1 ? y2 4

即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) 19(本小题满分 14 分) 解:方法一:⑴.证明:连结 OC

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ………… 1 分 BO ? DO, BC ? CD , CO ? BD . ……… 2 分
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A

M D O

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在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. … 3 分 而 AC ? 2 , ? AO2 ? CO2 ? AC 2 , ………………… 4 分

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC. ………………… 5 分
BD OC ? O, ∴ AO ? 平面 BCD .
…………………………… 6 分

⑵.解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC , ∴ 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角,…………… 8 分 在 ?OME 中, EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1 ……………9 分 2

OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,∴ OM ?

OE 2 ? EM 2 ? OM 2 2 ∴ cos ?OEM ? , ? 2 ? OE ? EM 4
∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为

……………………… 10 分

2 . ………………………… 11 分 4

⑶.解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

VE ? ACD ? VA?CDE



1 1 ? h ? S?ACD ? ? AO ? S ?CDE 3 3

………………………………………………12 分

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2 ,

1 3 2 3 1 2 7 ?2 ? ,而 AO ? 1 , S?CDE ? ? . ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? 2 4 2 2 2 2
AO ? S ?CDE ? S ?ACD 1? 3 2 ? 21 , 7 7 2

∴h ?

∴点 E 到平面 ACD 的距离为 方法二:⑴.同方法一.

21 7

…14 分

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12999 数学

⑵.解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0), D(?1,0,0),

1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
? cos ? BA, CD ?? BA ? CD BA ? CD ? 2 , 4
…………… 9分 z

A

∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为

2 .…… 4

10 分 D O x B E C y

⑶.解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

? ?n ? AD ? ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) ? 0 , ? ? ?n ? AC ? ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) ? 0
∴?

? ?x ? z ? 0 ,令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量. 3 y ? z ? 0 ? ?
又 EC ? (? ,

EC ? n 1 3 3 21 .…14 分 , 0), ∴点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? 2 2 7 7 n

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20(本小题满分 14 分 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

……1 分

∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ……3 分 ……4 分

(Ⅱ)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1 令 h( x ) ? g ( x ) ? ……5 分

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , h ?( x) ? , ……6 分 2 x 2 x

当 0 ? x ? e 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ……7 分 ∴ h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2 1 2
……9 分

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

……9 分

① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 此时 f ( x) 无最小值. ②当 0 ? ……10 分

4 (舍去) ,所以, e

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ……11 分 a
③ 当

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) ,所以, a e
2

此时 f ( x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3. 21(本小题满分 14 分) 解: (1)

an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ,
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? {an?1 ? an } 是以 2 为公比, a1 ? a2 ? 4 为首项的等比数列.

? an?1 ? an ? 4 2n?1 ? 2 2n ……………………①
由 an?1 ? an ? 2an?1 两边减 2an 得: an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2)

? {an?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.

? an?1 ? 2an ? ?2 (?1)n?1 ? 2 (?1)n ……………………②
①-②得: 3an ? 2[2n ? (?1) n ] 所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] ……………………5 分 3

(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? [ n ?1 ? n ] ? an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2n ?1 2n ? 2n ? 2n ?1 ? 1 3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 n n ?1 n ?1 n 2 2 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 2 ? 3?3 1 ? 3 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2n 2
当 n 为奇数时,

2 1 an ? [2n ? (?1) n ] ? 0 ,? an?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an?1

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? 3 ……………………10 分 a1 a2 an a1 a2 an an ?1

(3)证明:

f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ? ? …………………………………………12 分 f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) ………………-14 分 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2

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