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第6讲正弦定理和余弦定理

时间:2015-07-31


第 6 讲 正弦定理和余弦定理
考查利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形. 【复习指导】 1.强化正、余弦定理的记忆,突出一些推论和变形公式的应用. 2.本节复习时,应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理. 3.重视三角形中的边角互化,以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用,能够 解答一些综合问题.

基础梳理 a b c 1.正弦定理: = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 sin A sin B sin C 以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; a b c (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R 2R 2R 2. 余弦定理: a2=b2+c2-2bccos_A, b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C. 余 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 弦定理可以变形为:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab 1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(R 是三角形外接圆半径,r 2 2 2 4R 2 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. 4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A,则 A 为锐角 A 为钝角或 直角

图形 关系 式 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 a<b sin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a> b a≤b

一条规律

在三角形中, 大角对大边, 大边对大角; 大角的正弦值也较大, 正弦值较大的角也较大, 即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2) 已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意 区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边, 求各角. 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 双基自测 1.(北师大版教材习题改编)在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于( A.5 2 B.10 2 10 6 C. 3 D.5 6 ).

a c 10 c 解析 由 A+B+C=180° ,知 C=45° ,由正弦定理得: = ,即 = .∴c= sin A sin C 3 2 2 2 10 6 . 3 答案 C sin A cos B 2.在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为( a b A.30° B.45° C.60° ). D.90°

解析 由正弦定理知: sin A cos B = ,∴sin B=cos B,∴B=45° . sin A sin B 答案 B 3.(2011· 郑州联考)在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° B.45° C.60° D.75° ).

b2+c2-a2 1+4-3 1 解析 由余弦定理得:cos A= = = , 2bc 2×1×2 2 ∵0<A<π,∴A=60° . 答案 C

1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3

).

1 2 2 解析 ∵cos C= ,0<C<π,∴sin C= , 3 3 1 ∴S△ABC= absin C 2 1 2 2 = ×3 2×2 3× =4 3. 2 3 答案 C 5.已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则此三角形的最大内角为________. a2+b2-c2 3 解析 ∵a +b -c =- 3ab,∴cos C= =- , 2ab 2
2 2 2

故 C=150° 为三角形的最大内角. 答案 150°

考向一 利用正弦定理解三角形 【例 1】?在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形, 但要注意解的判断. 解 a b 3 2 由正弦定理得 = , = , sin A sin B sin A sin 45° 3 . 2

∴sin A=

∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= 6+ 2 bsin C = ; sin B 2

6- 2 bsin C 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c = = . sin B 2 (1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求 解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该 角,这是解题的难点,应引起注意.

π 1 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3 bsin A 解析 由正弦定理得:a= = sin B 1 5× 3 5 2 = . 3 2 2

答案

5 2 3 考向二 利用余弦定理解三角形

cos B b 【例 2】?在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. cos B b [审题视点] 由 =- ,利用余弦定理转化为边的关系求解. cos C 2a+c 解 a2+c2-b2 (1)由余弦定理知:cos B= , 2ac

a2+b2-c2 cos C= . 2ab cos B b 将上式代入 =- 得: cos C 2a+c a2+c2-b2 2ab b ·2 =- , 2ac a +b2-c2 2a+c 整理得:a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 (2)将 b= 13, a+c=4, B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B, 得 b2=(a+c)2-2ac-2accos 3 B, 1 1- ?,∴ac=3. ∴13=16-2ac? ? 2? 1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本 题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运

用. 【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A, B, C 为△ABC 的三个内角, 其所对的边分别为 a, b,c,且 2cos2 A +cos A=0. 2

(1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. 解 (1)由 2cos2 A +cos A=0,得 1+cos A+cos A=0, 2

1 2π 即 cos A=- ,∵0<A<π,∴A= . 2 3 2π (2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,A= , 3 则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 1 有 12=42-bc,则 bc=4,故 S△ABC= bcsin A= 3. 2 考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状 【例 3】?在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC 的形状. [审题视点] 首先边化角或角化边,再整理化简即可判断. 解 由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,

得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2Bsin Acos B=sin2Acos Asin B,所以 sin 2B=sin 2A, 由于 A,B 是三角形的内角. 故 0<2A<2π,0<2B<2π. 故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= . 2 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦定理进行边角的统一.即将 条件化为只含角的三角函数关系式, 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式; 或将条 件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系. a b c 【训练 3】 在△ABC 中,若 = = ;则△ABC 是( cos A cos B cos C A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 ).

解析 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径). ∴ sin A sin B sin C = = . cos A cos B cos C

即 tan A=tan B=tan C,∴A=B=C. 答案 B 考向四 正、余弦定理的综合应用 π 【例 4】?在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于 a,b 的方程,通过方程 组求解;第(2)问根据 sin C+sin(B-A)=2sin 2A 进行三角恒等变换,将角的关系转换为边的 关系,求出边 a,b 的值即可解决问题. 解 1 (1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于 3,所以 2

?a2+b2-ab=4, ?a=2, ? ? absin C= 3,得 ab=4,联立方程组? 解得? ? ? ?ab=4, ?b=2.

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A. π π 4 3 2 3 当 cos A=0,即 A= 时,B= ,a= ,b= ; 2 6 3 3 当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A,由正弦定理,得 b=2a.
?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? 解得 ? ?b=2a,

?a=2 3 3, ? 4 3 ?b= 3 .

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= a bsin C= . 2 3 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立,通过这些等式 就可以把有限的条件纳入到方程中, 通过解方程组获得更多的元素, 再通过这些新的条件解 决问题. 【训练 4】 (2011· 北京西城一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 4 且 cos B= ,b=2. 5

(1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 解 4 3 (1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5

a b a 10 由正弦定理 = ,可得 = , sin A sin B sin 30° 3 5 所以 a= . 3 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac· sin B,sin B= , 2 5 3 所以 ac=3,ac=10. 10 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20. 5 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10.

阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍不注意,会出现“会而 不对,对而不全”的情况,其主要原因就是忽视三角形中的边角条件. 【防范措施】 解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑三角形 中的边角条件. 【示例】?(2011· 安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3, b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理, 产生了增根. 实录 由 1+2cos(B+C)=0, 1 知 cos A= , 2 π ∴A= , 3 a b 根据正弦定理 = 得: sin A sin B bsin A 2 sin B= = , a 2 π 3π ∴B= 或 . 4 4 以下解答过程略.

正解 ∵在△ABC 中,cos(B+C)=-cos A, π ∴1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,∴A= . 3 在△ABC 中,根据正弦定理 a b = , sin A sin B

bsin A 2 ∴sin B= = . a 2 π ∵a>b,∴B= , 4 5 ∴C=π-(A+B)= π. 12 ∴sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A = 6+ 2 2 1 2 3 × + × = . 2 2 2 2 4 6+ 2 3+1 = . 4 2

∴BC 边上的高为 bsin C= 2×

【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2 A= 2a. b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得, sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. b 故 sin B= 2sin A,所以 = 2. a ?1+ 3?a (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2,得 cos B= . 2c 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2. 1 2 可得 cos2B= ,又 cos B>0,故 cos B= ,所以 B=45° . 2 2


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