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定积分与微积分练习题及答案

时间:2014-06-05

定积分与微积分练习题及答案
一、选择题: 1 如图,阴影部分面积等于( ) 32 C. 3 35 D. 3

A.2 3 [答案] C

B.2- 3

[解析] 图中阴影部分面积为 1 32 S=?1 (3-x2-2x)dx=(3x- x3-x2)|1 -3= . 3 3 ?-3 2.?2 4-x2dx=( ?0 A.4π [答案] C [解析] 令 y= 4-x2,则 x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴 1 影部分的面积,∴S= ×π×22=π. 4 π π 3.(2012· 山东日照模拟)向平面区域 Ω={(x,y)|- ≤x≤ ,0≤y≤1}内随机投掷一点,该 4 4 点落在曲线 y=cos2x 下方的概率是( π A. 4 [答案] 1 B. 2 D[ 解 析 ] π C. -1 2 ) 2 D. π π ,在这个区 2 ) B.2π C.π π D. 2

平面区域 Ω 是矩形区域,其面积是

?x2, x∈ [0,1], ? 4.设 f(x)=? 则 ?2-x,x∈ [1,2], ?

?

2

0

f(x)dx 等于 D.不存在

(

)

3 A. 4

4 B. 5

5 C. 6

解析:数形结合,

?

2

0

f(x)dx= ?

1

0

x2dx+ ?

2

1

(2-x)dx

2 1 1 31 1 1 5 x ? (2 x ? x 2 ) x 3 ? (4 ? 2 ? 2 ? ) ? 3 0 2 1 2 6 .答案:C = =3
5.如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 A.1 4 B. 3 C. 3 D.2 ( )

解析: 函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1), 所以闭合图形的面积等 于

?

2

0

(-x2+2x+1-1)dx=

?
0

2

0

4 (-x2+2x)dx= .答案:B 3 (sint+costsint)dt, 则 y 的最大值是 C.- 7 2
x 0

6.(2010· 烟台模拟)若 y= ? A.1 解析:y= ?
x

x

(

)

B.2

D.0 1 (sint+ sin2t)dt 2

0

(sint+costsint)dt= ?

x
1 1 5 1 5 1 0 = ( - cost - cos2t) =- cosx - cos2x + =- cosx - (2cos2x - 1) + =- cos2x - 4 4 4 4 4 2 3 1 cosx+ =- (cosx+1)2+2≤2. 答案:B 2 2 7.(2010· 惠州模拟)?2(2-|1-x|)dx=________.[答案] 3 ?0
?1+x 0≤x≤1 ? [解析] ∵y=? ,∴?2(2-|1-x|)dx=?1(1+x)dx+?2(3-x)dx ? ?0 ?0 ?1 ?3-x 1<x≤2

1 1 3 3 =(x+ x2)|1 0+(3x- x2)|2 1= + =3. 2 2 2 2 8.(2012· 太原模拟)已知(xlnx)′=lnx+1,则?e lnxdx=( ?1 A.1 B.e C.e-1 D.e+1 [答案 ] A[解析 ] 由 (xlnx)′= lnx+ 1,联想到 (xlnx- x)′= (lnx+ 1)- 1= lnx,于是?e ?1 )

lnxdx=(xlnx-x)|e 1=(elne-e)-(1× ln1-1)=1. -x-1 - , ? ? 9. 若函数 f(x)=? 的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 a, π , ? 2 ? 则 a 的值为( 2+π A. 4 ) 1 B. 2 C.1 3 D. 2

1 1 π 3 [答案] D[解析] 由图可知 a= +? πcosxdx= +sinx| 0= . 2 ? 2 2 2 2 ?0 二、填空题: 1.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分 4 (如图所示)的面积为 ,则 k=________. 3 解析:直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k],

再由

?

k

k
kx2 x3 0 k3 4 (kx-x2)dx=( - ) = = 求得 k=2.答案:2 2 3 6 3

0

2.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动, 记直线 OP、曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积 分别记为 S1,S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标为________. 解析:设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x,y), 则?
x 0

(kx-x2)dx= ?

2 x

(x2-kx)dx,

x

2

1 1 1 0 1 x 即( kx2- x3) =( x3- kx2) , 2 3 3 2 1 1 8 1 1 解得 kx2- x3= -2k-( x3- kx2), 2 3 3 3 2 4 4 4 16 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ).答案:( , ) 3 3 3 9 3 9 3. 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示, 则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______ 米. 解析:据题意,v 与 t 的函数关系式如下:

? ?2t,0≤t<20, v=v(t)=?50-t,20≤t<40, ?10,40≤t≤60. ?
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为

3

s=

?

60

0

v(t )dt



?

20

0

20 40 3 40 60 tdt (50 ? t )dt ? 10dt 3 0 1 20 + 2 + ?20 + 40 = t2 + (50t - t2) 4 2

40 20 =900 米.答案:900 10t

4.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1 f(x)dx=2f(a)成立,则 a=________. ?-1 解析:?1 (3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)| 1 -1=4, ?-1 1 1 所以 2(3a2+2a+1)=4,即 3a2+2a-1=0,解得 a=-1 或 a= .答案:-1 或 3 3 5. (2010· 温州模拟)若 f(x)是一次函数, 且? dx 的值是________.
1 0

f(x)dx=5,?

1

0

17 xf(x)dx= , 那么 6

?

2

1

f(x) x

解析: ∵ f(x)是一次函数, ∴ 设 f(x)=ax+b(a≠0), 由 1 a+b=5, ① 由 2

?

1

0

1 1 0 (ax+b)dx=5 得( ax2+bx) =
2

?

1

0

17 xf(x)dx= 得 6

?

1

0

(ax2+bx)dx=

17 ,即 6

1 1 1 1 1 17 0 =17,∴ ( ax3+ bx2) a+ b= ,② 解① ② 得 a=4,b=3,∴ f(x)=4x+3, 3 2 6 3 2 6

于是

?

2

1

f(x) dx= x

?

2

1

4x+3 dx= x

?

2

2
3 1 (4+ )dx=(4x+3lnx) =8+3ln2-4=4+3ln2. x

1

答案:4+3ln2 6.抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18
?y2=2x, ? y2 [解析] 由方程组? 解得两交点 A(2,2)、 B(8, -4), 选 y 作为积分变量 x= 、 2 ? y = 4 - x , ?

x=4-y, y2 y2 y3 ∴S=?2 [(4-y)- ]dy=(4y- - )|2 -4=18. 2 2 6 ?-4 7.如果?1f(x)dx=1,?2f(x)dx=-1,则?2f(x)dx=________. ?0 ?0 ?1 解析:∵ 2f(x)dx=?1f(x)dx+?2f(x)dx, ? ?0 ?0 ?1 ∴ 2f(x)dx=?2f(x)dx -?1f(x)dx=-1-1=-2.答案:-2 ? ?1 ?0 ?0 8.设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若?1f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的值为________. ?0 [答案] 3 3

ax3 a a a [解析] ?1f(x)dx=?1(ax2+c)dx=( +cx)|1 0= +c,故 +c=ax2 0+c,即 ax2 0= , 3 3 3 3 ?0 ?0 1 3 3 又 a≠0,所以 x2 0= ,又 0≤x0≤1,所以 x0= .故填 . 3 3 3 4 9. (2010· 安徽合肥质检)抛物线 y2=ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 , 若 3 直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. 2 [答案] 16x-8y+1=0[解析] 由题意知?1 axdx= ,∴a=1, 3 ?0

设 l:y=2x+b 代入 y2=x 中,消去 y 得, 1 4x2+(4b-1)x+b2=0,由 Δ=0 得,b= , 8 ∴l 方程为 16x-8y+1=0. 2 10.设 n=?2(3x2-2)dx,则(x- )n 展开式中含 x2 项的系数是________. x ?1 [答案] 40 [解析] ∵(x3-2x)′=3x2-2,∴n=?2(3x2-2)dx=(x3-2x)|2 1 ?1 =(23-2× 2)-(1-2)=5.∴(x- 5- =(-2)rCr 5x 3r 2 2 2 )5 的通项公式为 Tr+1=Cr 5x5-r(- )r x x

3r ,令 5- =2,得 r=2, 2

∴x2 项的系数是(-2)2C2 5=40. 三、解答题: 1.计算以下定积分:

(1) (4) ?

?
1

2

1

1 (2x2- )dx;(2) x

?

3 2

( x+

1 )2dx;(3) x

?

?
3 0

(sinx-sin2x)dx;

?1

x |x|dx; (5)?πcos2 dx; 2 ?0

解:(1) =

?

2

2
1 2 1 (2x2- )dx=( x3-lnx) x 3

1

16 2 14 -ln 2- = -ln 2. 3 3 3

(2)

?

3 2

1 ( x+ )2dx= x

?

3 2

1 (x+ +2)dx x

3
1 3 9 2 9 =( x2+lnx+2x) =( +ln 3+6)-(2+ln 2+4)=ln + . 2 2 2 2

(3)

?

?
3 0

? 3 1 0 (sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x)
2

1 1 1 1 =(- - )-(-1+ )=- . 2 4 2 4 1 (4)?1-1|x|dx=2?1xdx=2× x2|1 0=1. 2 ? ?0 1+cosx x 1 1 π (5)?πcos2 dx=?π dx= x|π 0 + sinx|π 0= 2 2 2 2 2 ?0 ?0 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x-2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b.又 f′(x)=2x-2, 所以 a=1,b=-2,即 f(x)=x2-2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等实根,所以 Δ=4-4c=0,即 c=1.故 f(x)=x2-2x+1. (2)依题意,所求面积为 1 1 S=?1(x2-2x+1)dx=( x3-x2+x)|1 0= . 3 3 ?0 3.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2. ?0 (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b.
? ? ?a-b+c=2 ?c=2-a 由 f(-1)=2,f′(0)=0,得? ,即? . ?b=0 ?b=0 ? ?

∴ f(x)=ax2+(2-a). 又?1f(x)dx=?1 [ax2+(2-a)]dx ?0 ?0 1 2 =[ ax3+(2-a)x]|1 0= 2- a=-2. 3 3

∴ a=6,∴ c=-4.从而 f(x)=6x2-4. (2)∵ f(x)=6x2-4,x∈ [-1,1], 所以当 x=0 时,f(x)min=-4;当 x=± 1 时,f(x)max=2. 4.设 f(x)= ?
1 0

|x2-a2|dx.

(1)当 0≤a≤1 与 a>1 时,分别求 f(a); (2)当 a≥0 时,求 f(a)的最小值. 解:(1)0≤a≤1 时, f(a)= ?
1 0

|x2-a2|dx= ?

a

0

(a2-x2)dx+ ?

1

a

(x2-a2)dx

a

1

1 1 1 a3 0 x3 a =(a2x- x3) +( -a2x) =a3- a3-0+0+ -a2- +a3 3 3 3 3 3 4 1 = a3-a2+ . 3 3 当 a>1 时,

f(a)=

?

1

0

1 1 1 0 (a2-x2)dx=(a2x- x3) =a2- .
3 3

1 ?4 3 a ? a2 ? ? ?3 3 ? ?a 2 ? 1 ? 3 ∴ f(a)= ?

(0 ≤ a ≤ 1), (a >1).

1 (2)当 a>1 时,由于 a2- 在[1,+∞)上是增函数,故 f(a)在[1,+∞)上的最小值是 f(1) 3 1 2 =1- = . 3 3 1 当 a∈ [0,1]时,f′(a)=4a2-2a=2a(2a-1),由 f′(a)>0 知:a> 或 a<0, 2 1 1 1 1 故在[0, ]上递减,在[ ,1]上递增.因此在[0,1]上,f(a)的最小值为 f( )= . 2 2 2 4 1 综上可知,f(x)在[0,+∞)上的最小值为 . 4 5.有一条直线与抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点,线段 AB 与抛物线所围成图形的面 4 积恒等于 ,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程. 3 [解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为 A(a,a2),B(b,b2),不妨设 a<b, 则直线 AB 的方程为 y-a2= b2-a2 (x-a),即 y=(a+b)x-ab. b-a

a+b 则直线 AB 与抛物线围成图形的面积为 S=?b[(a+b)x-ab-x2]dx=( x2-abx- 2 ?a x3 1 1 4 )|b a = (b-a)3,∴ (b-a)3= , 3 6 6 3 解得 b-a=2.设线段 AB 的中点坐标为 P(x,y), b , ?x=a+ 2 其中? a2+b2 ?y= 2 .
?x=a+1, ? 将 b-a=2 代入得? 消去 a 得 y=x2+1. ? ?y=a2+2a+2.

∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y=x2+1. 6.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影 部分的面积 S1+S2 最小.

2 [解析] 由题意得 S1=t· t2-?t x2dx= t3, 3 ?0 2 1 S2=?1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ , 3 3 ?t 4 1 所以 S=S1+S2= t3-t2+ (0≤t≤1). 3 3 1 t- ?, 又 S′(t)=4t2-2t=4t? ? 2? 1 令 S′(t)=0,得 t= 或 t=0. 2 1 1 因为当 0<t< 时,S′(t)<0;当 <t≤1 时,S′(t)>0. 2 2 1 1 0, ?上单调递减,在区间? ,1?上单调递增. 所以 S(t)在区间? ? 2? ?2 ? 1 1 所以,当 t= 时,Smin= . 2 4


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