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2010年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市模拟及答题适应性考试数学 理科A

时间:2011-02-07


2010 年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市模拟 及答题适应性考试数学参考答案(理科)
审核人:张浩 校对:陈亮

一、选择题 A卷 B卷 ABACB ACD CB DCACC ABBCC

二、填空题[来源:Zxxk.Com] 11.225 12.③④ 13.-1 14.{x | x≥1 或 x=-1} m(m + 1) 15. 2 三、16.(1)解: f ′( x) = cos x ? sin x , ∴ F ( x) = cos 2 x + sin 2 x + 1 = 2 sin(2 x + 当 2x +

π
4

) +1

? x = k π + (k ∈ Z ) 时, [ F ( x)]max = 2 + 1 2 8 2π 最小正周期为 T = =π 2 4

π

= 2k π +

π

π

8分

(2)解由 f ( x) = 2 f ′( x) 得: sin x + cos x = 2 cos x ? 2 sin x ? tan x =

1 3
12 分



1 + sin 2 x 2sin 2 x + cos 2 x 2 tan 2 x + 1 11 = = = ; 2 cos x ? sin x cos x cos x ? sin x cos x 1 ? tan x 6
2

(1) 设分数在[70, 内的频率为 x, 80) 根据频率分布直方图, (0.01+0.015×2+0.025 有 17. 解: +0.005)×10+x=1,可得 x=0.3,所以频率分布直方图如右图所示 (2)解:平均分为:
x = 45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.15 + 75 × 0.3
+85 × 0.25 + 95 × 0.05 = 71
频率/组 0.035 0.030 0.025 0.015

4分

7分

[来源:Z+xx+k.Com]

(3)解:学生成绩 在[ 40,60)的有 0.25×60=15 人, 0.020

在[60,80)的有 0.45×60 = 27 人, 在[80,100)的有 0.3×60 = 18 人,

0.010 0.005 O 40 50 60 70 80 90 100 分数

ξ 的可能取值是 0,1,2,3,4
则 P(ξ = 0) =
P(ξ = 3) =
2 C15 C 1 C1 C1 C1 + C 2 7 27 207 = , P(ξ = 1) = 15 2 27 = , P(ξ = 2) = 15 18 2 27 = , 2 C60 118 C60 118 C60 590

1 1 C27 C18 C2 81 51 = , P(ξ = 4) = 18 = 2 2 C60 295 C60 590

所以 ξ 的分布列为
0 1 2 7 27 207 P 118 118 590 7 27 207 81 51 Eξ = 0 × + 1× + 2× + 3× + 4× = 2.1 118 118 590 295 590

11 分
3 81 295 4 51 590

ξ

12 分

18.解: (Ⅰ)作 A1O⊥AC,垂足为 O, ∵平面 A1ACC1⊥平面 ABC,∴ A1O⊥面 ABC, ∴∴A1AO 为 A1A 与面 ABC 所成的角. ∵AA1⊥A1C,AA1=A1C,∴∴A1AO=45°为所求. ……………4 分 (Ⅱ)以 OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,O A1 为 z 轴建立空 间直角坐标系,如图, 则 A(0, ?2, 0) , B (2 3, 0, 0) , C (0, 2, 0) , A1 (0, 0, 2) .[来源:学科网 ZXXK] 设 n = ( x, y, z ) 是面 A1ABB1 的法向量,则 n ⊥ AA1 , n ⊥ AB , ∵ AA1 = (0, 2, 2) , AB = (2 3, 2, 0) , ∴?

? y+z =0 ? ,可取 n = (1, ? 3, 3) . ? 3x + y = 0 ?

而面 ABC 的法向量为 m = (0, 0,1) , ∵ cos m, n =

m?n 21 = , m?n 7

∴侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角为

arc cos

21 .…………………8 分 7

(Ⅲ)∵ A1C1 = (0, 4, 0) ,∴ A1C1 在平面 A1ABB1 的法向量 n = (1, ? 3, 3) 上的射 影为 d =

A1C1 ? n 4 21 =? , n 7

4 21 . ……………12 分 7 1 3 1 x?4 ? . 19.解: (Ⅰ) f ′( x) = [ ]= 2 2 x+2 x?2 x ?4
∴点 C 到侧面 A1ABB1 的距离为

∴当2 < x < 4时, f ′( x) < 0;当x > 4时, f ′( x ) > 0. ∴ f ( x)在(2, 4)上是减函数, 在(4, +∞)是增函数. ∴ f ( x)在[3, 7]上的最大值应在端点处取得. 1 1 1 ∵ f (3) ? f (7) = [3ln 5 ? ln1] ? [3ln 9 ? ln 5] = [ln 625 ? ln 729] < 0, 2 2 2
∴ f (3) < f (7).即当x = 7时, f ( x)取得在[3, 7]上的最大值.?????? 6

f (7)= 1 (6ln 3 ? ln 5) ……………………………………………………5 分 2 (Ⅱ)∵ F(x)是单调递增函数,∴ F / ( x) ≥ 0 恒成立 又∵ F ′( x) =

a x ? 4 (a ? 1) x 2 + 5 x ? 4(a + 1) ? 2 = . x ?1 x ? 4 ( x ? 1)( x 2 ? 4) [来源:学科网]

显然在 f ( x)的定义域(2, +∞)上, ( x ? 1)( x 2 ? 4) > 0 恒成立.

∴ (a ? 1) x 2 + 5 x ? 4(a + 1) ≥ 0在(2, +∞) 恒成立. ………………………………8 分
下面分情况讨论 (a ? 1) x 2 + 5 x ? 4(a + 1) > 0在(2, ∞)上恒成立时, a 的解的情况. 当 a ? 1 < 0 时,显然不可能有 (a ? 1) x 2 + 5 x ? 4( a + 1) ≥ 0在(2, +∞) 上恒成立. 当 a ? 1 = 0时, ( a ? 1) x 2 + 5 x ? 4( a + 1) = 5 x ? 8 > 0在(2, +∞ ) 上恒成立. 当 a ? 1 > 0 时,又有两种情况:① 52 + 16( a ? 1)( a + 1) ≤ 0 ; ②?

5 ≤ 2且(a ? 1) ? 22 + 5 × 2 ? 4(a + 1) ≥ 0. 2(a ? 1) [来源:学.科.网 Z.X.X.K]

由①得 16a 2 + 9 ≤ 0 ,无解;由②得 a>1[来源:学科网] 综上所述各种情况, a ≥ 1时, ( a ? 1) x 2 + 5 x ? 4( a + 1) ≥ 0在(2, +∞) 上恒成立.[来源: 当 学科网] ∴所求的 a 的取值范围为 [1,+∞ ). ………………………………………………12 分
20.解: (Ⅰ) 2b = 2.b = 1, e =

c a 2 ? b2 3 = = ? a = 2, c = 3 a a 2
………………………………3 分

y2 椭圆的方程为 + x2 = 1 4
(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为 y = kx + 3

? y = kx + 3 ? 2 ? (k 2 + 4) x 2 + 2 3kx ? 1 = 0.................4 ?y 2 ? + x =1 ?4 x1 + x2 = ?2 3k ?1 , x1 x 2 = 2 . 2 k +4 k +4 .................5

由已知 m ? n = 0 得:

x1 x2 y1 y2 1 + 2 = x1 x2 + (kx1 + 3)(kx2 + 3) 2 b a 4 2 k 3k 3 ( x1 + x2 ) + .................6 = (1 + ) x1 x2 + 4 4 4
= k2 + 4 1 3k ?2 3k 3 (? 2 )+ ? + = 0, 解得k = ± 2 ……7 分 4 k +4 4 k2 + 4 4

(Ⅲ)(1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 = x2 , y1 = ? y2 ,由 m ? n = 0

x12 ?

y12 = 0 ? y12 = 4 x12 4
4 x12 2 = 1 ? x1 = , y1 = 2 4 2

又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x12 +

s=

1 1 x1 y1 ? y2 = x1 2 y1 = 1 2 2

所以三角形的面积为定值. ………………………………9 分 (2)当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

? y = kx + b ? 2kb ? 2 ? (k 2 + 4) x 2 + 2kbx + b 2 ? 4 = 0得到x1 + x 2 = 2 ?y 2 k +4 ? + x =1 ?4 x1 x 2 = b2 ? 4 k2 + 4

x1 x 2 +

y1 y 2 (kx + b)(kx2 + b) = 0 ? x1 x 2 + 1 = 0代入整理得 : 4 4
…………………………………11 分

2b 2 ? k 2 = 4

S=

1 b 1 | b | 4k 2 ? 4b2 + 16 AB = | b | ( x 1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 2 1+ k 2 2 k2 + 4

=

4b 2 =1 2|b|
………………………………13 分

所以三角形的面积为定值. 21.证明: (1)设 f ( x ) = x n + nx ? 1 ,

∵ f (0) = ?1 < 0, f (1) = n > 0, 且函数 f ( x) 的图象在 (0, +∞) 上是连续的,[来源:学
科网 ZXXK]

∴ f ( x) 在 (0,1) 上至少有一个零点,即方程 x n + nx ? 1 = 0 在 (0,1) 内至少有一个根.
………………………………2 分

∵ x ∈ (0, +∞) ,∴ f ′( x) = nx n ?1 + n > 0 ,∴ f ( x) 在 (0, +∞) 上是增函数.
∴ 方程 x n + nx ? 1 = 0 在 (0, +∞ ) 内有唯一根,且根在 (0,1) 内,即 an ∈ (0,1) 4 分
(2)∵ f ( ) = ( ) n > 0, f (

1 n

1 n

1 1 n n 1 n 1 )=( ) + ?1 = ( ) ? ≤ 0, n +1 n +1 n +1 n +1 n +1

且函数 f ( x) 的图象在 (0, +∞ ) 上是连续的,

∴ f ( x) 在 [
一个根.

1 1 1 1 , ) 内至少有一个零点, 即方程 x n + nx ? 1 = 0 在 [ , ) 内至少有 n +1 n n +1 n

又 由(1)知函数 f ( x) 在 (0, +∞ ) 上单调递增,

1 1 , ) 内有唯一根, n +1 n 1 1 1 1 ∴ ≤ an < .∴ ≤ an +1 < ,∴ an +1 < an .……………………9 分 n +1 n n+2 n +1 1 1 (3)由题设得 a1 = , a12 = < 1, 2 4 ∴ 方程 x n + nx ? 1 = 0 在 [
当 n ∈ N ? 时, an =

1 ? an n 1 < . n n
………………………12 分

1 1 1 ∴ a12 + a2 2 < ( ) 2 + ( ) 2 = < 1 . 2 2 2
当 n ≥ 3 时有[来源:学科网 ZXXK]

1 1 1 1 a12 + a2 2 + a32 +? + an 2 < ( ) 2 + ( ) 2 + ( )2 +? + ( ) 2 2 2 3 n

< =

1 1 1 1 1 + + + +…+ 4 4 2 ?3 3? 4 (n ? 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ( ? ) + ( ? ) +? + ( ? ) = 1? < 1. 4 4 2 3 3 4 n ?1 n n
………………………………… 14 分
[来源:学科网]

2 综上 a12 + a2 2 + ? + an < 1 .


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