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必修2第三章直线与方程测试题

时间:2016-02-11


第三章

直线与方程测试题
0

一.选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分)
1.若直线过点 ( 3, ? 3) 且倾斜角为 30 ,则该直线的方程为( ) A. y ? 3x ? 6 B. y ?

3 x?4 3

C. y ?

3 x?4 3

D. y ?

3 x?2 3

2. 如果 A(3,1) 、 B(?2, k ) 、 C (8,11) ,在同一直线上,那么 k 的值是( ) 。 A. ? 6 -6 B. ? 7 C. ? 8 D. ? 9

3. 如果直线 x ? by ? 9 ? 0 经过直线 5 x ? 6 y ? 17 ? 0 与直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的交点,那么 b 等于 ( ). A. 2

B. 3

C. 4

D.

5
0

4. 直线 (2m 2 ? 5m ? 2) x ? (m 2 ? 4) y ? 5m ? 0 的倾斜角是 45 ,则 m 的值为( ) 。 A.2 B. 3
2

C. -3

D. -2

5.两条直线 3x ? 2 y ? m ? 0 和 (m ? 1) x ? 3 y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.重合 D.与 m 有关

)

*6.到直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 A.直线 2 x ? y ? 2 ? 0

5 的点的集合是( 5

)

B.直线 2 x ? y ? 0 D.直线 2 x ? y ? 0 或直线 2 x ? y ? 2 ? 0

C.直线 2 x ? y ? 0 或直线 2 x ? y ? 2 ? 0

7 直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是( ) A. [?2,2] C. [?2,0) ? (0,2] B. (??,?2] ? [2,??) D. (??,??)

1

*8.若直线 l 与两直线 y ? 1 , x ? y ? 7 ? 0 分别交于 M , N 两点,且 MN 的中点是 P(1,?1) ,则 直线 l 的斜率是( A. ? ) B.

2 3

2 3

C. ?

3 2

D.

3 2

9.两平行线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 , 6 x ? ay ? c ? 0 之间的距离为 A .±1 B. 1 C. -1

c?2 2 13 ,则 的值是( ) a 13
D.2

10.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0



**11. 点 P 到点 A?(1,0) 和直线 x ? ?1 的距离相等, 且 P 到直线 y ? x 的距离等于 共有 ( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

2 , 这样的点 P 2

*12.若 y ? a | x | 的图象与直线 y ? x ? a(a ? 0) y=x+a,有两个不同交点,则 a 的取值范围是 ( ) A. 0 ? a ? 1 0 C. a ? 0 且 a ? 1 B. a ? 1 D. a ? 1

二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)
13. 经过点 (?2,?3) ,在 x 轴、 y 轴上截距相等的直线方程是 或 。 ;

*14. 直线方程为 (3a ? 2) x ? y ? 8 ? 0 ,若直线不过第二象限,则 a 的取值范围是



15. 在直线 x ? 3 y ? 0 上求一点, 使它到原点的距离和到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离相等,则此点的
2

坐标为

. 。

*16. 若方程 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? x ? y ? 0 表示的图形是

三.解答题(共 6 小题,共 70 分)
17. (12 分)在 ?ABC 中, BC 边上的高所在直线方程为: x ? 2 y ? 1 ? 0 , ? A 的平分线所在直线 方程为: y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1,2) ,求点 A 和 C 的坐标.

*18.已知直线 (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1 . (1)求证:无论 a 为何值,直线总过第一象限; (2)为使这条直线不过第二象限,求 a 的取值范围.

19.已知实数 x , y 满足 2 x ? y ? 8 ,当 2 ? x ? 3 时,求

y 的最值. x

20.已知点 P(2,?1) . (1)求过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程;
3

(2)求过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

**21. 已知集合 A ? {( x, y ) |

y ?3 ? a ? 1} ,B ? {( x, y) | (a 2 ?) x ? (a ? 1) y ? 15}, 求 a 为何值时, x?2

A? B ?? .

**22.有一个附近有进出水管的容器,每单位时间进 出的水量是一定的,设从某时刻开始 10 分钟内只进水, 不出水,在随后的 30 分钟内既进水又出水,得到时间 x (分)与水量 y (升)之间的关系如图所示,若 40 分钟 后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系.

y 30· B 20 · A 10 · ·· 10 20· 30· 40 O

x

第三章直线与方程测试题答案与提示
一、选择题
4

1—4 CDDB 提示:

5—8 BDCA 9—12 ADCB
0

1. 据直线的点斜式该直线的方程为 y ? (3) ? tan30 ( x ? 3) ,整理即得。 2. 由 k AC ? k BC ? 2 得 D 3. 直线 5 x ? 6 y ? 17 ? 0 与直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的交点坐标为(1, -2), 代入直线 x ? by ? 9 ? 0 , 得b ? 5 4. 由题意知 k ? 1 ,所以

2m 2 ? 5m ? 2 ? 1,所以 m ? 3 或 m ? 2 (舍去) m2 ? 4

3 m2 ? 1 ? 0 所以 k1 ? k 2 . 5. 第一条直线的斜率为 k1 ? ? ,第二条直线的斜率为 k 2 ? 2 3
6. 设此点坐标为 ( x, y ) ,则 7. 令 x ? 0 ,得 y ?

| 2x ? y ? 1 | 2 2 ? 12

?

5 ,整理即得。 5

b 1 b 1 2 ,令 y ? 0 , x ? ?b ,所以所求三角形面积为 | || b |? b ,且 b ? 0 , 2 2 2 4

1 2 b ? 1 ,所以 b 2 ? 4 ,所以 b ? [?2,0) ? (0,2] . 4
8. 由题意,可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1 ,分别与 y ? 1 , x ? y ? 7 ? 0 ,联立解得

2 k ? 6 ? 6k ? 1 2 M ( ? 1,1) ,M ( , ), 又因为 MN 的中点是 P(1,?1) , 所以由中点坐标公式得 k ? ? . k k ?1 k ?1 3
3 -2 -1 9. 由题意 = ≠ ,∴a=-4,c≠-2. 6 a c c 则 6 x ? ay ? c ? 0 可化为 3x-2y+ =0. 2

c | ?1| 2 13 c?2 ? 2 ? ?1 . 由两平行线距离得 ,得 c=2 或 c=-6,? 13 a 13

10. x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 的交点为 A(1,1) ,点 (?1,0) 关于 x ? 1 的对称点为 B(3,0) 也在所求 直线上,∴所求直线方程为 y ? 1 ?

1 ( x ? 1) ,即 x+2y-3=0,或所求直线与直线 x-2y+1=0 的 2
5

斜率互为相反数, k ? ?

1 亦可得解. 2

2 2 11.由题意知: ( x ? 1) ? y ?| x ? 1 | ,且

2 | x? y| , ? 2 2

所以 ?

? y 2 ? 4x ? y 2 ? 4x ? y 2 ? 4x ①或 ? ②,解得,①有两根,②有一根. ?? ?| x ? y |? 1 ? x ? y ? 1 ? x ? y ? ?1

12..如图,要使 y ? a | x | 的图象与直线 y ? x ? a(a ? 0) y=x+a 有两个不同的交点,则 a ? 1 .

y

y=a|x| y=x-a

O 二、填空题 13. x ? y ? 5 ? 0 或 3x ? 2 y ? 0 ; 14. a ? ?

x

2 ; 3

15. ( ? , ) 或 ( ,? ) ;

3 1 5 5

3 5

1 5

16.两条直线. 提示: 13.注意经过原点的直线在 x 轴、y 轴上的截距均为零 14.直线在 y 轴上的截距为-8, 直线不过第二象限, 画图可知, 直线的斜率为正或 0, 即 ? (3a ? 2) ? 0 , 所以 a ? ?

2 。 3
2 2

15.设此点坐标 (?3 y0 , y0 ) ,由题意 (?3 y 0 ) ? y0 ?

| ?3 y0 ? 3 y0 ? 2 | 12 ? 32

,可得 y 0 ? ?

1 5

16. x ? xy ? 2 y ? x ? y ? ( x ? y)(x ? 2 y) ? ( x ? y) ? ( x ? y)(x ? 2 y ? 1) ? 0 ,
2 2

所以表示两条直线 x ? y ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 . 三.解答题 17.解:由 ?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ,? A(?1,0) ?y ? 0

,又 k AB ?

2?0 ? 1 ,∵x 轴为 ? A 的平分线, 1 ? (?1)

6

故 k AC ? ?1 ,? AC : y ? ?( x ? 1) ,∵BC 边上的高的方程为:x-2y+1=0 ,∴KBC=-2 ∴BC:y-2=-2(x-1) ,即:2x+y-4=0 ,由 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 ,解得 C (5,?6) 。 ?x ? y ? 1 ? 0

18.解: (1)将方程整理得 a(3x ? y) ? (? x ? 2 y ? 1) ? 0 ,对任意实数 a,直线恒过 3x-y=0 1 3 与 x-2y+1=0 的交点( , ) , 5 5 1 3 ∴直线系恒过第一象限内的定点( , ) ,即无论 a 为何值,直线总过第一象限. 5 5 (2)当 a=2 时,直线为 x= y= 1 ,不过第二象限;当 a≠2 时,直线方程化为 5

3a-1 1 x- ,不过第二象限的充要条件为 a-2 a-2 -1 >0 ?3aa- 2 ? 1 ? a-2 ≤0

? a ? 2 ,综上 a≥2 时直线不过第二象限.

19.思路点拨:本题可先作出函数 y ? 8 ? 2 x(2 ? x ? 3) 的图象, y 把 看成过点(x,y)和原点的直线的斜率进行求解. x 解析:如图,设点 P(x,y) ,因为 x,y 满足 2x+y=8, 且 2≤x≤3,所以点 P(x,y)在线段 AB 上移动,并且 A,B 两点的坐标分别是 A(2,4) ,B(3,2). y 2 因为 的几何意义是直线 OP 的斜率,且 kOA=2,kOB= , x 3 y 2 所以 的最大值为 2,最小值为 . x 3 20.解: (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为 (2,?1) ,可见,过 P(2,?1) 垂直于 x 轴 的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2) , 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知,得 =2,解得 k= . 2 4 k +1
7

y 4· A 3· · P 2· B 1· · 1· 2· 3· 4 O

x

此时 l 的方程为 2x-4y-10=0. 综所,可得直线 l 的方程为 x=2 或 2x-4y-10=0. (2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的佳绩是过 P 点且与 PO 垂直的直线,由 l⊥OP,得 k1kOP =-1,所以 k1= 1 =2. kOP

由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2) , 即 2x-y-5=0. |-5| 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 = 5 . 5 (3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超达 5 的直线,因此不存在过点 P 点且到原点距离 为 6 的直线. 21.思路点拨:先化简集体 A,B,再根据 A∩B=?,求 a 的值. 自主解答:集合 A、B 分别为 xOy 平面上的点集;直线 l1: (a+1)x-y-2a+1=0(x≠2) ,l2: (a2 -1)x+(a-1)y-15=0. ?(a+1)(a-1)=(-1)·(a2-1) 由? ,解得 a=±1. 2 ? -1×(-15)≠(a-1)(-2a -1) ①当 a=1 时,显然有 B=?,所以 A∩B=?; ②当 a=-1 时,集合 A 为直线 y=3(x≠2) , 15 集合 B 为直线 y=- ,两直线平行,所以 A∩B=?; 2 ③由 l1 可知(2,3)?A,当(2,3)∈B 时,即 2(a2-1)+3(a-1)-15=0, 5 5 可得 a= 或 a=-4,此时 A∩B=?.综上所述,当 a=-4,-1,1, 时, 2 2 A∩B=?. 22.解:当 0≤x≤10 时,直线过点 O(0,0) ,A(10,20) ; ∴kOA= 20 =2,所以此时直线方程为 y=2x; 10

当 10<x≤40 时,直线过点 A(10,20) ,B(40,30) , 30-20 1 1 此时 kAB= = ,所以此时的直线方程为 y-20= (x-10) , 3 40-10 3 1 50 即 y= x+ ; 3 3 当 x>40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为υ 1,放水的速度为 υ 2,在 OA 段时是进水过程,所以υ 1=2,在 AB 段是既进水又放水的过程,由物理知识可知,此 1 时的速度为υ 1+υ 2= , 3 1 5 5 ∴2+υ 2= ,∴υ 2=- ,所以当 x>40 时,k=- . 3 3 3

8

5 290 又过点 B(40,30) ,所以此时的方程为 y=- x+ , 3 3 令 y=0,∴x=58,此时到 C(58,0)放水完毕.

? ? 1 x+ 50 3 综合上述:y=? 3 5 290 ? ? -3 x+ 3

2x

(0≤x≤10) (10<x≤10) (40<x≤58)

章节能力测试题(三)考查知识点对照表-孙爱梅
题序 1 2 3 4 5 6 * 星级 考查知识点 点斜式该直线的方程 三点共线 直线交点 直线的倾斜角 两直线的位置关系 点到直线的距离、点的集合
9

考查能力 应用、计算能力 公式应用、计算能力 应用、计算能力 计算、综合能力 计算、判断能力 综合应用能力

7

直线的截距、三角形的面积

理解能力、 运算求解不等式能 力

8 9

*

直线的交点、中点坐标公式 两平行线的斜率、截距关系及距离 等知识

理解、计算能力 转化与计算能力

10 11 12 ** **

直线的对称 点到直线的距离 直线的交点

理解、计算能力 应用、计算等综合能力 利用数学方法 (数形结合) 解 题能力

13

直线方程

利用数学方法 (分类讨论) 解 题能力

14 15 16 17

*

点点直线、点线距离 点线距离

分析问题、解决问题能力 应用能力、计算能力 化简、转化能力 理解能力、转化能力、运算求 解能力

*

直线方程 直线的交点、直线方程、对称问题

18

*

直线的方程、直线过定点问题

理解能力、转化能力、运算求 解能力

19 20

直线的方程、直线的斜率 直线的方程、点到线的距离

转化能力、运算求解能力 转化能力、运算求解能力、 实 际应用能力

21 22

** **

集合的运算、直线方程 直线方程、实际应用

综合应用、理解与运算能力 分析转化能力、运算求解能 力、实际应用能力

10


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