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高中数学基础知识归纳汇总

时间:2014-10-27

高中数学基础知识归纳汇总(主要是文科)
第一部分、集合与逻辑用语
1、集合 ①.定义:一组对象的全体形成一个集合;②.表示方法有:列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P}、图示法;③.常 用数集:正整数集 N
*

(3) a (4) a

? b且a ? b>0 (同号时)则有

1 1 ? ; a b

a ? b且a ? b<0 (异号时)则有

1 1 ? ; a b

? b ? 0 则有 a n ? b n 。 (特别注意 a , b 都为正数才成立)
2

2、均值不等式: (1)对任意实数 a , b ,都有 a (2)对任意正数 a , b ,都有 a ? b ? 2

? b2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时取等号;

、空集φ ;几种数集的关系:

ab ,当且仅当 a ? b 时取等号。

? ? ? 自然数集N ? ? ? ?整数集Z ? ? ?有理数集Q ? ?负整数集 ④.集合元素的特征:确定性、互异 ?实数集R ? ? 复数集C ? 分数集 ? Z Q ? ? ? ?无理数集? Q ? R ? ?虚数集 ?
性、无序性;⑤.元素与的关系有:属于∈、不属于 ? ;⑥集合这间的关系有:包含于 ? 、真包含于 ? 、 相等 ? ;⑦、集合的运算:交集 :A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; 并集 :A∪B={x|x∈A 或 x∈B};补集 : CU

(3)应用—-求最值:一正二定三相等(得最值) 。 3、一元二次不等式的求解: (1)特殊情况特殊处理:若根的判别式 ? (2)一般情况:若根的判别式 ?
2

? 0 则配方处理(或用图象法处理) ;

? 0 则按按照大于取(根的)两边,小于取(根的)中间处理( x 2 的系数

要为正,若 x 的系数为负则先化为正再求解) 。 4、线性规划问题的处理:

A ={x| x ?

A

且 x∈U},U 为全集。

方法: (1)画图找出可行域(有等号时画实线) ,特别注意不画图容易产生有一些交点不在可行域内的情况; (2)解方程组求两两直线的交点找出可行解(在可行域内且符合题目要求的点) ; (3)把交点(一定要是可行解)的坐标代入目标函数求值找出最优解(即最值,同时也可求得取值范围或 可行域的面积) 。

⑧若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 非空真子集的个数是 2
n

2 n ,所有真子集的个数是 2 n ? 1 ,

? 2。

第三部分、函数与函数的应用
1、函数的主要性质: (1) 、单调性①增函数定义,若 x1 ②减函数定义,若 x1

2、充分(必要)条件: (1)前 ? 后(顺推)则前是后的充分条件: (2)后 ? 前(倒推)则前是后的必要条 件;前 ? 后(互推)则前是后的充分且必要条件(简称充要条件) 。 3、 (1)数学上的命题是指能判断真假的陈述句,其中判断为真的语句叫真命题;判断为假的语句叫假命题。 (2)命题都可以写成“若 (3) “若

? x2 ? D ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;增函数图象上升,导数 f ?( x) ? 0 。 ? x2 ? D ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;减函数图象下降,导数 f ?( x) ? 0 。

p 则 q ”的形式,其中 p 叫条件, q 叫结论; p 则q ” 是原命题, 则它逆命题是若 q 则 p ; 否命题是 ? p 则 ? q ; 逆否命题是若 ? q 则 ? p 。

(4)原命题和它的逆否命题同真同假(等价) ,逆命题和否命题同真同假(等价) 。 4、且( ? ) 、或( ? ) 、非( ? ) 、存在( ? ) 、任意( ? ) ,存在与任意互为否定。 5、一些常用词的否定形式有: 原语句 否定形式 是 不是 都是 不都是 或 且 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少两个 所有 某些

(2)奇偶性: (定义域必须关于原点对称) ①奇函数定义:

f (? x) ? ? f ( x) 。奇函数的图象关于坐标原点对称。 f (? x) ? f ( x) 。偶函数的图象关于 Y 轴对称。

②偶函数定义:都有

(3)周期性:若函数 指的是最小正周期) 。

f ( x ? T ) ? f ( x) ,则 f ( x) 称为以 T

为周期的周期函数( kT 也是周期,通常周期

第二部分、不等式与线性规划
1、不等式的性质:

? b且c>d 则有 a ? c ? b ? d ; (若相减则变成加它的相反数) (2) a ? b ? 0且c>d>0 则有 a ? c ? b ? d ; (若相除则变为乘以它的倒数)
(1) a 1

(4)函数图象的三种变换(基本口诀是: x ---左增右减,乘缩除伸; ①平移变换:

y ---上增下减,乘伸除缩)

沿X 轴方向向左,向右平移a个单位 y ? f ( x) ?????????? ? y ? f ( x ? a) (a ? 0)

沿X 轴方向向上,向下平移b个单位 y ? f ( x) ?????????? ? y ? f ( x) ? b (b ? 0)

a ?1


0 ? a ?1

②伸缩变换:
k ? y ? f (kx) (k ? 0) y ? f ( x) ?????????? 1 当k>1时,横坐标缩短到原来的 倍 k 1 当0<k<1时,横坐标伸长到原来的 倍



当0<k<1时,横坐标缩短到原来的k倍 y ? f ( x) ?????????? ? y ? kf ( x) (k ? 0) 当k>1时,横坐标伸长到原来的k倍

③对称变换:
关于Y 轴对称 关于X 轴对称 ? y ? f (? x) ; y ? f ( x) ????? ? y ? ? f ( x) y ? f ( x) ????? 关于原点对称 关于直线x ?a对称 ? y ? ? f (? x) ; y ? f ( x) ?????? ? f ( a ? x) ? f ( a ? x) y ? f ( x) ?????



(1)定义域为 R ,值域为 (0, ??) 。 (2)图象都经过点 (0,1) ,即当 x

? 0 时, y ? 1。
当x



当x 当x

? 0 时, y ? 1 ; ? 0 时, 0 ? y ? 1 。

? 0 时, 0 ? y ? 1 ; ? 0 时, y ? 1 。

2、二次函数

? b 4ac ? b 2 b (1)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ? ,顶点坐标是 ? ? ? 2a , 4a 2a ?
2

? ? ?。 ?


当x



?? ?,??? 上是 增 函数。
b



?? ?,??? 上是 减 函数。

(2)用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式:一般式: 点式:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,

4、对数运算与对数函数 ①指数与对数的相互转化: a ②对数基本性质: ③运算性质: (a

f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2 ) ,顶点式: f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n 。 y ? ax2 ? bx ? c 图象:

? N ? b ? log a N (其中 a ? 0 且 a ? 1 ) 。

(3)二次函数 ①当 ?

log ? ; 0 loga a ? 1 ;零和负数没有对数。 a 1

? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 X 轴有 2 个交点;
b c ? bx ? c ? 0 有两根 x1 , x2 , 则 x1 ? x2 ? ? ; x1 x2 ? a a
; 变化:( x1 ? x2 )
2

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0)
M ? l oag M? N 1 log a M n


若 ax

2

? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 。

loga MN ? loga M ? loga N ; l o g a

lo g; aN

②当 ? ③当 ?

? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 X 轴只有 1 个交点。 ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 X 轴没有交点。

loga M n ? n loga M ;
④指数、对数式的恒等变形: (a

log a n M ?

3、指数运算与指数函数: ①指数的性质与运算法则:a
m

? 0 且 a ? 1 , M ? 0, N ? 0, b ? 0, b ? 1 )

?a ? a
n

m? n



am n an ?a? n n m?n m n mn ab ? a b ? a a ? a ; ; ; 。 ? ? ? ? ? ? ? an bn ?b?

n

log a N ? N ; log a b ? N ? ab ? l o g a N, a

log c b (换底公式)(c>0,c ? 1) log c a

② 指数函数的定义:函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 叫做指数函数。③指数函数的图象和性质:
2

⑤对数函数:函数

y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 叫做对数函数。

⑥对数函数的图象和性质:

a ?1


0 ? a ?1

? a, b? 上存在零点的条件是 f (a)

f (b) ? 0 。
第四部分、导数

1、基本初等函数的导数公式: (c 为常数) ① (c) ' ? 0 ② (x
n

) ' ? nx n ?1
⑥ (e
x

③ (sin x) ' ? cos x ⑦ (log a

④ (cos x) ' ?

? sin x



⑤ (a

x

) ' ? a x ? ln a (a>0)
1 x
⑨ x? ? 1

) ' ? ex
x )? ?

x) ' ?

1 (a ? 0且a ? 1) ) x ? ln a



(1)定义域 (0, ??) ,值域为 R 。 (2)图象都经过点 (1, 0) ,即当 x

⑧ (ln x) ' ?

⑩ (tan
'

1 cos 2 x
(3)( ) ?
'

? 1 时, y ? 0。
? 1 时, y ? 0 ; ? x ? 1 时, y ? 0 。

2、导数运算法则: (1)(u ? v)

? u' ? v' . (2)(uv)' ? u'v ? uv' .

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2



3、导数的应用: (1)求曲线的切线的斜率和方程: 当x 当0

? 1 时, y ? 0 ; ? x ? 1 时, y ? 0 。

当x 当0

y ? f ( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? K切线 ? 切线的方程为: y ? y0 ? K切线 ? ( x ? x0 ) ,其中切点为 ( x0 , y0 ) ;
? (2)求函数的单调区间: y ? f ( x) ? f ?( x) ? ?增函数 : f ( x) ? 0 ? 递增区间 ? ?减函数 : f ?( x) ? 0 ? 递减区间
(3)求函数的极值(注:导数为 0 的点不一定就是极值点但极值点的导数一定为 0)

在 5、幂函数

?0,??? 上是 增 函数。
y?x
?



?0,??? 上是 减 函数。

①幂函数的定义,形如 ②性质:当 ?

的函数叫做幂函数( ? 为常数) 。

?左增右减 ? 极大值 y ? f ( x) ? f ?( x) ? f ?( x) ? 0 ? 极值点 ? ? ?左减右增 ? 极小值
(4)求函数的最值:

? 0 时,幂函数图象都过点 (0, 0), (1,1) 点、且在第一象限都是增函数;当 ? ? 0 时,幂函数图

y ? f ( x) ? f ?( x) ? f ?( x) ? 0 ? 极值点(判断极值点是否在所给的区间内)
将在所给区间内的极值点连同区间的端点代入函数求值后找出最大值和最小值。

象总是经过点 (1,1) 点、且在第一象限都是减函数。 6、反函数的知识: (1) 、指数函数

第五部分、三角函数
1、以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取一个异于原点的点

y ? a x 与对数函数 y ? log a x (对底数 a 的要求都是 a ? 0, a ? 1 )互为反函数;
②互为反函数的函数的图象关于直线

P( x, y) ,点 P 到原点的距离记为 r ?
则 sin ? =

x2 ? y2



(2) 、反函数的性质:①互为反函数的函数的定义域与值域互换;

y ? x 对称。

7、函数与方程的关系: ( 1) 、函数的零点的概念:对于函数 做函数

y ? f ( x) ,我们把使方程 f ( x) ? 0 的实数 x 叫

y r

,cos ? =

x r

,tan ? =

y x

, cot?

?

x 。 y

2、同角三角函数的关系中,

y ? f ( x) 的零点。即函数 y ? f ( x) 有零点 ? 方程 f ( x) ? 0 有解 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x
①平方关系是: sin

2

? ? cos2 ? ? 1

②相除关系是: tan ?

?

轴有交点。 (结合函数的图象用数形结合法求解) (2)零点存在的条件:如果函数

sin ? cos ?

(三角计算中通常切化弦) 。

y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象是连续的曲线,则函数 y ? f ( x) 在区间
3

3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如:

sin(

15? sin( ? ? ) = ? cos? , tan(3? ? ? ) ? ? tan ? 。 2
4、函数

3? ? ? ) ? ? cos? 2



8、二倍角公式是:sin2 ? = 2 sin ?

? cos ?

cos2 ? = cos

2

? ? sin 2 ? = 2 cos2 ? ? 1 = 1 ? 2 sin 2 ?
??
1 ? cos 2? 2

(其中A ? 0,? ? 0) 的最大值是 A ,最小值是 ? A ,周期是 T ? y ? A sin(? x ? ? )

2?

tan2 ? = ,频

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

; 降次公式: sin

2

??

1 ? cos 2? 2

; cos

2



?

9、正弦定理:

率是

f ?

? 2?

,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ?

? k? ?

?
2

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) sin A sin B sin C
2
2

(k ? Z ) ,凡是该

10、余弦定理: (1) a = b

? c2 ? 2bc cos A ; b2 ?
?
; cos C

;c

2

?




图象与 x 轴的交点都是该图象的对称中心。 (函数

y ? A cos(? x ? ? ) 的处理与此类似)
b 2? , 周期 T ? a ?


b2 ? c 2 ? a 2 (2)cosA= 2bc
11、

; cos B

?


5、 辅助角公式: 函数

其中 tan ? ? y ? a sin ? x ? b cos ? x ? a 2 ? b2 sin(? x ? ? ) ,

1 ABC的面积S ? bc sin A ? 2

=

第六部分、数列
最大值

a ?b
2

2

,最小值是 ?

a ?b
2

2



1、数列的三个基本公式: (1)通项公式是 an (2)前 n 项和公式是:Sn = a1 + a2 + a3 + ? f (n), n ? N ? ; ? + an ? Sn?1 ? an ; (3)

6、 三角函数的单调区间(处理方法是:打包----局部----整体) ①

y ? sin x

的 递 增 区 间 是

? ?? ? 2k? ? ? ?2k? ? 2 , 2? ?

(k ? Z )

, 递 减 区 间 是

由 Sn 求 an 的公式: an

? S ? a , (n ? 1) ?? 1 1 ? Sn ? Sn ?1 , (n ? 2)



? ? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ;对称轴方程是 x ? k? ? (k ? Z ) ; ? 2 2 2? ?


2、求数列的前 n 项和 Sn 的方法有: 分组求和法、倒序相加法、拆项相消法或错位相减法(结果是取头取尾去中间)等。 3、等差数列和等比数列的知识: 等差数列(关键求公差 d) ,定义域是 定义 等比数列(关键求公比 q)

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ;对称轴方程



x ? k? (k ? Z )

;③

y ? tan x

的递增区间是

? ?? ? ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) 2 2? ?

an ? an?1 ? d (n ? 2) an ? a1 ? (n ?1)d

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? ; 2 ? ?
7、和角公式: sin(?

an ? q(n ? 2) an?1

an ? a1 ? qn?1

? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

通项

an ? am ? (n ? m)d
中项

an ? am ? qn?m

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 tan ? ? tan ?



特别的

1 ? tan ? ? ? tan( ? ? ) 1 tan ? 4



a 与 b 的等差中项 A ?

a?b 2

a 与 b 的等比中项 G ? ? a ? b

4

(a ? a ) ? n Sn ? 1 n 2
求和

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q
a ?a ?q Sn ? 1 n 1? q

(2)若事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生,那么称事件 A 与事件 B 是对立事件;事件 A 的对立事件也叫逆事件,记作

A 且 P( A) ? 1 ? P( A) 。

n(n ? 1) Sn ? na1 ? ?d 2

3、在几何概型中,事件 A 的概率的计算公式如下:

P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
(2)必然事件的概率是 1; (3)不可能事件的概率是 0; 1? ; ?0,

a1 ? a9 ? a2 ? a8 ?
性质

? 2a5

a1 ? a9 ? a2 ? a8 ?

? a52

4、概率的几个基本性质: (1)任何事件的概率范围是

(即:配对相加,和相等)

(即:配对相乘,积相等)

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 成等差数列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 成等比数列

5、统计知识: (1)平均数: x

?

第七部分、复数
1、 (1)虚数单位“i”的两条规定:①i2=1, ② i 与实数在一起,可以进行通常的四则运算。 (2) 形如

1 ? x1 ? x2 ? n
2

? xn ? ?

1 n ? Xi ; n i ?1
? ( xn ? x) 2 ]

a ? bi (a, b ? R ) 的数叫做复数, 其中 a

方差: 与 b 分别叫做复数 a+bi 的实部和虚部 (注意是 i 前的系数) 。 特例 a+bi=0 ? ____________。

s2 ?

1 n ? xi ? x n i ?1

?

[( x ? x) ? =1 n
2
1

? ( x2 ? x) 2 ? ( x3 ? x) 2 ?

(3)复数 a+bi=c+di 的充要条件是:____________________。

(4)对于复数 a+bi,当且仅当虚部为 0 时,它是实数;当且仅当实部为 0 而虚部不为 0 时,它是纯虚数。 (5) 复数的几何表示:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴 上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。 (6)复数的模:向量 OZ 的模,叫做复数 z=a+bi 的模,即 (7)共轭复数:当两个复数实部 复数 z=a+bi 的共轭复数记作_____________。 性质:
2 2

标准差: s

?

1 n ? xi ? x n i ?1

?

?

2

(s ?

2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ) ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

常用方差和标准差来刻画样本数据的分散程度,标准差(或方差)越大,数据的离散程度越大(即数据越 零散) ;标准差(或方差)越小,数据的离散程度越小(即数据越整齐) 。

z ? a ? bi ? a 2 ? b 2



(2)统计中的回归分析是指对具有相关关系的两个变量进行的统计分析的方法,它的步骤是:①画散点图; ②求线性回归直线方程;③用回归直线方程进行预报。 (3)线性回归方程是:

虚部_____________时,这两个复数叫做共轭复数。

? ? bx ? a ,回归直线 y y ? ? bx ? a 必过样本中心点 ( x, y ) ;
n i

z?z ? z ? z ? a ?b
2

2

,z?

z ? 2a ; (a ? bi)(a ? bi) ? a2 ? b2 。
求 a,b 的公式: b

2、复数的加减乘除四则运算: ①复数的加法法则:实部和虚部分别对应相加;②复数的减法法则:实部和虚部分别对应相减;③复数的乘法 法则:展开后将 i 换成 ?1 合并即可;
2

?

? (x
i ?1 n

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y
, 由此知 a

? x)

2

?x
i ?1

? y ? bx 。

2 i

? nx

2

④复数的除法法则:分母实数化——分子、分母同乘以分母的共轭复数后展开再运算;

(4)在回归分析中:①常用相关系数 r 来衡量两个变量之间的线形相关关系,当 r

? 0 时,表明两个变量正

第八部分、概率与统计
1、古典概型的概率计算公式: 如果试验的所有可能结果(即基本事件)数为 n ,随机事件

A 包含的基本事件

相关;当 r

? 0 时,表明两个变量负相关。②用相关指数 R 2 来刻画回归的效果, R 2 越大,表明模型的拟合

m 所要的情况 数为 m ,那么事件 A 发生的概率为 P ? A? ? 。 ? n 所有的情况
2、 (1)若事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生,那么称事件 A 与事件 B 是互斥事件;若事件 A 与事件 B 是互斥事件,则事件 A 或事件 B 发生的概率为

效果越好。其中

r?

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

,当

r ? 0.75 时认为两个变量有很强的线性相关关系;

? (x
i ?1

n

i

? x) 2 ? ( yi ? y ) 2
i ?1

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 。
5

R ? 1?
2

?(y ?(y
i ?1 i ?1 n

n

i

? y )2 ? y )2



K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )



a 与 b 垂直;由此得 cos ? ?
8、若 a

ab ? | a || b |

x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1 x2 ? y2



i

6、 (1)分层抽样:分层后再在各个层中按相同比例随机抽取一定的样本的抽样方法; (2)系统抽样:编号后再按相同的间隔抽取样本的抽样方法。 (3)画一组数据的频率分布直方图的步骤: ①求极差,即数据中最大值与最小值的差; ②决定组距与组数:组距=极差/组数; ③将数据分组,通常对组内数值所在区间,取左闭右开区间,最后一组取闭区间; ④登记频数,计算频率=频数/总个数,列出频率分布表; ⑤画出频率分布直方图(横轴上表示分组和组距,纵轴上表示频率/组距) ; 注:频率分布直方图中小长方形的意义是:①小长方形的面积= 各组的频率; ②小长方形的面积总和=总频率=1。 7、知道画茎叶图的步骤并会分析有关数据。 8、独立性检验的方法: (1)根据列联表求随机变量 K ; (2)查对表格确定临界值 k0 和 P( K 率值 P ----两个分类变量无关的把握; (3) (1 ? P) ?100 ﹪即为两个分类变量有关的把握。
2

? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a b ? x1x2 ? y1 y2
第十部分、算法初步与框图、推理与证明

1、在分析算法框图时,主要要从框图中弄清楚从什么开始计算(即输入什么) ,算到什么为止(即输出什么) , 怎样计算(即计算公式和计算条件) ,一定要注意在恰当的时候结束。 2、推理分为合情推理(包括归纳推理和类比推理)和演绎推理(也叫三段论,包括大前提,小前提和结论; 证明的方法有直接证明 (包括综合法----顺推和分析法----倒推) 和间接证明 (主要是反证法--从反面入手得矛盾) 。

第十一部分、立体几何初步
1、体积公式: ①柱体: V
2

? S ? h ,其中,圆柱体: V ? ? r 2 ? h 。斜棱柱体积: V ? S ? ? l ( S ? 是直截面面积, l 是侧

? k0 ) 时的概

棱长) ;②锥体: V

?

1 1 1 S ? h ,其中,圆锥体:V ? ? r 2 ? h 。③台体:V ? ? h( S ? S ? S ? ? S ?) , 3 3 3

第九部分、平面向量
1、 平面向量的正交分解及其坐标表示: a

其中,圆台体: V 2、侧面积:

? xi ? y j ? ( x, y) .

1 4 ? ?h( R 2 ? R ? r ? r 2 ) ④球体: V ? ? r 3 。 3 3

2、 平面向量的坐标运算:若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),λ∈R,则: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,

? a ? (? x1, ? y1 ) 。
3、若已知点 A(x1,y1), B(x2,y2) , 则向量 4、向量模的公式:设 a =(x,y),则

①直棱柱侧面积: S

? c ? h ,②斜棱柱侧面积: S ? c ? ? l ;③正棱锥侧面积: S ?

AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ;
④正棱台侧面积:S

1 c ? h? , 2

a ? a 2 ? x2 ? y 2 r r r r r r x y 5、向量平行: a // b(b ? 0) ? a ? ?b ? 1 ? 1 ? 0 (除减零) x2 y2
6、向量垂直: a ? b ? a 7、 向量 a, b 的内积:a 当?

?

1 1 (c ? c ?)h ? ; ⑤圆柱侧面积:S ? c ? h ? 2?rh , ⑥圆锥侧面积:S ? c ? l ? ?rl , 2 2

b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 (乘加零)

⑦圆台侧面积: S

?

1 (c ? c ?)l ? ? ( R ? r )l ,⑧球的表面积: S ? 4? r 2 。 2

? ? 范围是 0 ? ? ? 180 , b ?| a || b | cos? ? x1 x2 +y1 y2,? 为向量 a, b 的夹角,

几何体的全面积=侧面积+底面积 3、几个基本公式: ①弧长公式: l

? ? 0? 时向量 a 与 b 同向,当 ? ? 180? 时向量 a 与 b 反向(同向与反向统称为平行) ;当 ? ? 90 时向量

?? ?r ?

n?r 180

( ? 是圆心角的弧度数, ? >0) ;

6

②扇形面积公式: 4、平行问题

S?

1 n?r 2 l ?r ? 2 360



3、求直线斜率的三种方法:①定义式为 k= tan ? ( ?

? 90? );②两点式为 k=

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ); x2 ? x1

③化为斜截式:

y ? kx ? b

平 行 线 线

判定定理

性质定理 4、直线方程的几种形式:

a // c, b // c ? a // b

a // c, b // c ? a // b

①点斜式: y ?

y0 ? k ( x ? x0 ) ;

②斜截式: y

? kx ? b ;

③两点式:

y ? y1 x ? x1 ; ? y 2 ? y1 x2 ? x1

④截距

线 面

a // b ? ? ? a // ? a ? ?,b ? ? ?

a // ? ? ? ? a // b a ? ? , ? ? ? ? b?

式:

x y ? ? 1 ;都可化为一般式: Ax ? By ? C ? 0 。 a b

5、已知两直线 l1

: y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 , 则有① l // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ;
②l

面 面

a, b ? ?

? ? a ? b ? P ? ? a // ? a // ? , b // ? ? ?

? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

a // ?

? l 2 ? k1k 2 ? ?1 。

6、点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ?

By ? C ? 0 的距离: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



5、垂直问题

垂 直 线 线 线 面

判定定理

性质定理

7、两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1

距离: d ? ? 0, l2:Ax ? By ? C2 ? 0,

C1 ? C 2 A2 ? B 2

a ? ?,b ? ? ? a ? b

8、圆的方程(1)圆的标准方程是: ( x ? a) (2)圆的一般方程是: x
2

2

? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心 C (a, b) ,半径为 r ;

? ? a?b ? P ? ? l ?? l / ? a, l ? b ? ?
a ? ?,a ? ? ? ? ? ?

a, b ? ?

a ? ?,b ? ? ? a ? b

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) ;

a ? ? , b ? ? ? a // b

其中,半径是 r ?

D 2 ? E 2 ? 4 F ,圆心坐标是 ? D E? ? ? ?? , 2 2? ? 2

面 面

? ? ? ? l? ? a ?? ??a ? ?
a?l ? ?

思考:方程 x

2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时各表示怎样的图形?

9、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即: ①判别式法:Δ >0,Δ =0,Δ <0,等价于直线与圆相交、相切、相离; ②考查圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系: d

第十二部分、平面解析几何
1、直角坐标平面内的两点间距离公式:

? r , d ? r , d ? r 分别等价于相离、相切、相交。

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

2、 若两点 P 1 ( x1 , y1 ),P 2 ( x2 , y 2 ) 的中点是 M ( x, y ) ,则 x =

x1 ? x 2 2



y=

y1 ? y 2 2

③直线与圆相交所得的相交弦长公式: L ? 2 (和的一半) ; 7

r2 ? d 2 ;
|?| r1 ? r2 | 内含;②

10、两圆的圆心分别是点 O1 , O2 ,半径分别是 r1 , r2 则两圆的位置关系是:① | O1O2

| O1O2 |?| r1 ? r2 |

内切;③

| r1 ? r2 |?| O1O2 |? r1 ? r2

相交 ;④

| O1O2 |? r1 ? r2

外 切 ; ⑤

1、熟练并记住几何证明中的有关定理,特别是三角形的相似与全等,与圆有关的比例线段(相交弦定理、垂 径定理、割线定理、切割线定理)及与圆有关的角(圆心角、圆周角、弦切角) ,直角三角形中的射影定理等。 2、极坐标与直角坐标之间的互化:若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 P 的极

| O1O2 |? r1 ? r2 外离。
11、椭圆标准方程的两种形式是:

x2 y2 y2 x2 和 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,判定焦点位置的方法是看 a2 b2 a2 b2

坐标为 ( ? ,? ), 直角坐标为 ( x,

y) , ?

? x ? ? cos ? ,与 ? y ? ? sin ?

? ? 2 ? x 2 ? y 2, 。 ? ? y ( x ? 0) ? tan ? ? x ?
2

大;双曲线标准方程是:

x2 y2 y2 x2 和 ? ? 1 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) ,判定焦点位置的方法是看正; a2 b2 a2 b2

4、 参数方程化为普通方程 (即消参) 的方法有: (1) 代入 (或加减) 消元法; (2) 三角关系 ( sin 消元法: (3)整体消元法。

? ? cos2 ? ? 1 )

抛物线标准方程的四种形式是:

y 2 ? 2 px,y 2 ? ?2 px, x2 ? 2 py,x2 ? ?2 py( p ? 0) ,判定焦点位

置的方法是看一次项及其前面系数的正负。

? x ? x0 ? at 5、经过点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线参数方程的一般形式是: ? ? y ? y 0 ? bt

(t是参数) 。
(?是参数) 。

x2 y2 0) ,顶点坐标是 (?a,0)和(0, ?b) ,离 12、椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点在 x 轴上,坐标是 (?c, a b
c 2 2 2 心率是 e ? , 长轴是 2 a , 短轴是 2b , 焦距是 2c 。 其中 c ? a ? b (a最大) 。 (注意定义: 距离和为 2 a ) a
13、双曲线

6、圆心在点 C ( a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是: ? x ? a ? r cos? ? ? y ? b ? r sin ? 7、椭圆

x2 y 2 ? x ? a cos ? ? 2 ? 1 的参数方程是: ? 2 a b ? y ? b sin ?

(? 是参数)

结束语:我们一步一个脚印,披荆斩棘,执著地一路走来,为此
x y 0) ,顶点也在 x 轴上,坐标是 (? a, 0) ,离心率是 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,坐标是 (?c, 2 a b
2 a , 虚 轴是 2b , 焦 距 是 2c , 渐 近线 方程 是
(注意定义:距离差为 ?2a )
2 2

我们付出了青春、汗水和热情。亲爱的同学们,老师一直在您们的背后 关注和支持着你们,要记住:细节决定成败---注意高考中的每一个细 节,细心看题,细致演算,细心做答,规范书写过程,正常发挥平时的 水平就是成功。

e?
2

c a

, 实 轴是

b x2 y2 ? 2 ? 0 (即 y ? ? x ) 。 其中 2 a a b

c ? a ? b (c最大) 。
2 2

14、抛物线标准方程的四种形式是: 抛物线

y ? 2 px,y ? ?2 px, x ? 2 py,x ? ?2 py ,其中
2 2 2 2

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点在 x 轴的正半轴上,坐标是 ? ?

p ? ,准线方程是: x ? ? p , , 0? 2 ?2 ?

p 的几何意

希望同学们用一颗平常心, 争取在 2014 年高考中取得优异的成绩!

义是焦点到准线的距离(焦准距) 15 、 直 线

(注意定义:到焦点的距离=到准线的距离)

y ? kx ? b

与 圆 锥 曲 线 交 于 两 点

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

, 则 弦 长 为

AB ? 1 ? k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ;

第十三部分、选讲内容(几何证明选讲、坐标系与参数方程)
8


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