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人教课标版高中数学必修三《随机事件的概率(第1课时)》教案(1)-新版

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第三章 概率
3.1 随机事件的概率 第 1 课时 一、教学目标 1.核心素养 通过随机事件概率的学习.初步形成数据分析能力与抽象概括的能力. 2.学习目标 (1)了解随机事件发生的不确定性. (2)理解随机事件的规律性. (3)进一步理解概率的意义. (4)利用概率的意义解释生活中的事例. 3.学习重点 频率与概率的关系,对概率含义正确理解. 4.学习难点 频率与概率的关系,对概率含义正确理解. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 任务 1 阅读教材 P108,思考:如何判定一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件?随机事 件说法中“同样的条件下”能否去掉?请举例说明. 任务 2 阅读教材 P113—118. 明白概率的意义及其在生活中的指导性作用! 2.预习自测 1.指出下列事件哪些是必然事件. A.某地 1 月 1 日刮西北风; C.手电筒的电池没电,灯泡发亮; 解:B 2.某种新药在使用的患者中进行调查的结果如下表: 调查患者人数 100 200 500 1000 2000 B.当 x 是实数时,x2≥0; D.一个电影院某天的上座率超过 50%.

n

用药有效人数

m
有效频率 m / n

85 0.850

180 0.900

435 0.870

884 0.884

1761 0.8805

请填写表中有效频率一栏,则该药的有效概率是多少? A.84% 解:C (二)课堂设计 1.知识回顾 (1)必然事件:有些事件我们事先能肯定其一定会发生; (2)不可能事件:有些事件我们事先能肯定其一定不会发生; (3)随机事件:有些事件我们事先无法肯定其会不会发生; (4)举出现实生活中随机事件,必然事件,不可能事件的案例. 2.问题探究 问题探究一 创设情景,体会随机事件发生的不确定性(★▲) B.87% C.88% D.90%

●活动一 “麦蒂的 35 秒奇迹” 在火箭队与马刺队的篮球比赛中 , 麦蒂在最后几十秒已经连续投进了三个三分球 , 并且在最后关 头抢断成功,推进到前场,在距离比赛结束还有 1.7 秒时再次投出三分球! 为什么在那个时刻,所有 人都紧张的注视着麦蒂和他投出的篮球 ?你能确定神奇的麦蒂在即将开始的 NBA 比赛中的下一 个三分球投进? ●活动二 “石头,剪刀,布” 再看看我们身边的实例,两名同学想看同一本好书,于是采用“石头,剪刀,步”的方式来决定谁 先看,那么能预测这两名同学认赢吗? 问题探究二 重复实验,体会随机事件的规律性. (★▲)

●活动一 抛掷硬币试验 抛掷硬币试验结果表: 抛掷次数( n ) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 正面朝上次数( m ) 1061 2048 6019 12012 14984 36124 频率( m / n ) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

当抛掷次数很多时,出现正面的频率值是稳定的,接近于常数 0.5 ,并在它附近摆动 ●活动二 某批乒乓球产品质量检查试验: 50 45 0.9 100 92 0.92 200 194 0.97 500 470 0.94 1000 954 0.954 2000 1902 0.951

抽取球数 n 优等品数

m
频率 m / n

当抽查的球数很多时,抽到优等品的频率接近于常数 0.95 ,并在它附近摆动. ●活动三 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表: 每批粒数 n 发芽的粒数 m 发芽的频率 2 2 1 5 4 0.8 10 9 0.9 70 60 0.85 130 116 0.89 310 282 0.91 700 639 0.91 1500 1339 0.89 2000 1806 0.90 3000 2715 0.90

m/n

当试验的油菜籽的粒数很多时,油菜籽发芽的频率接近于常数 0.9 ,并在它附近摆动 ●活动四 反思活动,感知随机事件的规律性. 通过上述三个大量重复性实验,你能发现随机事件具有什么规律性吗? 一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率. 问题探究三 创设生活实例,深化概率意义的理解. (▲)
m 总是接近某个常数,在它附 n

●活动一 彩票中奖问题 若某种彩票准备发行 1000 万张,其中 1 万张可以中奖,则买一张这种彩票的中奖的概率 是多少?买 1000 张的话是否会中奖? 分析:中奖的概率为 1/ 1000;不一定中奖,因为买彩票是随机的,每张彩票都可能中奖也可 能不中奖,买彩票中奖概率为 1/1000 是指试验次数相当大,即随着购买彩票的数量增加,大约 有 1/1000 的彩票中奖. ●活动二 游戏的公平性问题 某中学在高一年级的二、三班中任选一个班参加社区服务活动,有人提议用如下方法选班: 掷两枚硬币,正面朝上的记作 2 点,反面向上记作 1 点,两枚硬币的点数和是几,就选几班, 你认为这种方法公平吗? 分析:不公平,记(x,y)中的 x,y 分别代表两枚硬币的点数,则有(1,1),(1,2),(2,1), (2,2)。 试验的结果共有 4 种,而点数为 3 的占了 2 种,点数为 2 和 4 的各点 1 种。因此,每个班被选

中的概率是不相等的,因此是不公平的。 问题探究四,实例分析,感知概率的指导意义. (▲) ●活动一 决策中的概率思想 根据下面的游戏规则:现有不透明的两个袋子,甲袋中有 99 个红球 1 个黑球,乙袋中有 1 个红球 99 个黑球。今随机地从一袋中抽取一球。若随机抽取的是红球,问这个球可能是从哪一 个袋子中取出的? 分析:从甲袋中随机的抽取一球,是红球的概率是 99/100,从乙袋中随机抽取一球,是红球 的概率为 1/100. 因为从甲袋中抽取红球的概率比乙袋抽取红球的概率要大。由极大似然法,既然甲袋提到红球 的概率要远大于乙袋中抽到红球的概率,因此我们可以认为是从概率大的袋子中取得的。所以 我们可以作推断:该红球是从甲袋中取得. 例 1. 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1)“抛一石块,下落”. (2)“在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化”; (3)“某人射击一次,中靶”; (4)“如果 a>b,那么 a-b>0”; (5)“掷一枚硬币,出现正面”; (6)“导体通电后,发热”; (7)“从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签”; (8)“某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫”; (9)“没有水份,种子能发芽”; (10)“在常温下,焊锡熔化”. 【知识点:必然事件,不可能事件,随机事件】 详解:根据定义,事件(1)、(4)、(6)是必然事件;事件( 2)、(9)、(10)是 不可能事件;事件(3)、(5)、(7)、(8)是随机事件. 点拔:判断事件的类型,关键是事件要发生与否的条件. 例 2. 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心的频率
m n

10 8

20 19

50 44

100 92

200 178

500 455

(1)填写表中击中靶心的频率;

(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 【知识点:频率 概率】

详解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。 点拔:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。求某事件的概率可以通过求该事件 的频率而得之。 例 3.如果某种彩票中奖的概率为 【知识点:概率的意义】 详解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果 都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也 可能有一张、两张乃至多张中奖。 点拔:买 1000 张彩票, 相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结果也是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 例 4 在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平 性。 【知识点:概率的意义】 详解:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任 何一名运动员猜中的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 点拔:利用概率来解释公平性时,主要是看所讨论的事件是否是等概率的。 3.课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳) 【知识梳理】 (1)事件的定义: 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; 必然事件:在一定条件下必然发生的事件; 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件 (2)随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P( A) . (3)概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概 率; (4) 概 率 的 性 质 : 必 然 事 件 的 概 率 为 1 , 不 可 能 事 件 的 概 率 为 0 , 随 机 事 件 的 概 率 为
m 总是接近 n 1 , 那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意义解释。 1000

0 ? P( A) ? 1 ,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形

【重难点突破】 (1) 三种事件都是在“一定条件下”发生的,当条件改变时,事件的性质也可以发生变化 (2)随机事件的统计规律表现在:随机事件的频率即此事件发生的次数与试验总次数的比值具有 稳定性。即总是在某个常数附近摆动,且随着试验次数不断增多,这种摆动幅度越来越小。这 个常数叫做这个随机事件的概率。概率可以看作频率在理论上的期望,是概率的一种统计定义. (3)概率在实际中的应用,明确随机事件发生可能性的大小的度量是由它自身决定的,并且是客 观存在的,正确认识这一点,结合背景材料,努力建立概率与实际的联系. 4.随堂检测 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 ) D.无法确定

【知识点:事件的分类】 解:B 2.下列说法正确的是( )

A.如果一事件发生的概率为十万分之一,说明此事件不可能发生 B.如果一事件不是不可能事件,说明此事件是必然事件 C.事件的概率的范围是 [0,1] . D.如果一事件发生的概率为 99.999%,说明此事件必然发生. 【知识点:概率的性质】 解:C 3.一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下: 时间范围 新生婴儿数 男婴数 男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第 3 位) ; (2)这一地区男婴出生的概率约是多少? 【知识点:频率 概率】 解: (1)表中依次填入的数据为:0.520,0.517,0.517,0.517. (2) 由表中的已知数据及公式 fn (A) = 1 年内 5544 2883 2 年内 9607 4970 3 年内 13520 6994 4 年内 17190 8892

nA 即可求出相应的频率, 而各个频率均稳定在常数 0.518 n

上,所以这一地区男婴出生的概率约是 0.518. 4.生活中,我们经常听到这样的议论: “天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没 下,天气预报也太不准确了。 ”学了概率后,你能给出解释吗? 【知识点:概率的意义】 解:天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发生的概 率,我们知道:在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此, “昨天没有下雨”并不 说明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的。 (三)课后作业 基础型 自主突破 1.某人将一枚硬币连续的抛掷了 10 次,正面朝上的情形出现了 6 次,若用 A 表示正面朝上这一 事件,则 A 的 A.概率为
2 3 3 5

B.频率为

C.频率为 6

D.概率接近 0.6

【知识点:频率 概率】 解 :B 2.给出下列四个命题 ①集合 {x || x |? 0} 是空集是必然事件; ③若 log a ( x ? 1) ? 0 ,则 x ? 1 是必然事件; 其中正确命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ② y ? f ( x) 是偶函数,则 f (0) ? 0 是随机事件; ④对顶角不相等是不可能事件.

【知识点:必然事件, 随机事件, 不可能事件】 解:D 3.“老师讲一道数学题,李峰能听懂的概率为 0.8”,是指 A.老师讲一道题,该题有 80%的部分听懂,20%的部分听不懂 B.在老师讲的 10 道题中,李峰能听懂 8 道 C.李峰能听懂老师所讲这道数学题的可能性是 80% D.以上解释都不对 【知识点:概率的意义】 解:C 3 3 4.事件 A 发生的概率是5,则5表示的是__________. 【知识点:概率】 解: 事件 A 发生的可能性的大小

能力型 师生共研 5.“连续抛掷两枚质地均匀的骰子,记录朝上的点数” ,该试验的结果共有 A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.36 种

【知识点:随机事件】 解:D 6.在下列事件中,发生的可能性最大的为( A.任意买一张电影票,座号是奇数 B.掷 1 枚骰子,点数小于等于 2 C.买 10000 张彩票,其中 100 张是获奖彩票,从中随机买 1 张是获奖彩票 D.一袋中装有 8 个红球,2 个白球,从中随机摸出 1 个球是红球 【知识点:概率的意义】 解:D 7.某射击教练评价一名运动员时说: “你射中的概率是 90%.”你认为下面两个解释中哪一个能代 表教练的观点_________. ①该射击运动员射击 100 次,恰有 90 次击中目标. ②该射击运动员射击 1 次,中靶的机会是 90% 【知识点:概率的意义】 解:② 8.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份 的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 1 20 110 140 4 20 160 200 220 2 20 )

(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 【知识点:频率,概率,互斥事件的概率;数学思想:数学建模】 解:(1)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个.故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220

频率

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20

X (2)由已知得 Y= 2 +425,故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)=P(Y<490 1 3 2 3 或 Y>530)=P(X<130 或 X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=20+20+20=10. 探究型 多维突破 9. 下面有三个游戏规则, 袋子中分别装有球, 从袋中无放回地取球, 问其中不公平的游戏是 ( 游戏 1 游戏 2
1 个黑球和 1 个白球



游戏 3
2 个黑球和 2 个白球

3 个黑球和 1 个白球
取 1 个球,再取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜

取 1 个球 取出的球是黑球→甲胜

取 1 个球,再取 1 个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜

取出的两个球不同色 → 乙 取出的球是白球→乙胜 胜 A.游戏 1 和游戏 3 B.游戏 1 C.游戏 2

D.游戏 3
1 ,乙胜的概率为 2

【知识点:概率,概率的意义,古典概率; 】 解:D
1?

因为每上游戏都是从袋中无放回地取球,所以游戏 1:甲胜的概率为

1 1 ? , 2 2 1 1 1 ,乙胜的概率为 1 ? ? ,则游戏 2 公平; 游戏 3: 甲胜的概 2 2 2

则游戏 1 公平;游戏 2: 甲胜的概率为 率为

2 1 1 2 ? ,乙胜的概率为 1 ? ? ,则游戏 3 不公平. 6 3 3 3

自助餐 1.已知非空集合 A、B 满足 A ? B ,给出以下四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件; ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件; ( A.1 ) B.2 C.3 D.4 ②若 x? A,则 x∈B 是不可能事件; ④若 x? B,则 x? A 是必然事件.其中正确的个数是

【知识点:随机事件,必然事件,不可能事件,子集, 】 解 C:①③④正确,②是随机事件. )

2.下列说法正确的是(

(A)一颗质地均匀的骰子已连续掷了 2000 次,其中,抛掷出 5 点的次数最少,则第 2001 次一 定抛掷出 5 点 (B)某种彩票中奖的概率是 1%,因此买 100 张该彩票一定会中奖

(C)天气预报说明天下雨的概率是 50%,所以明天将有一半时间在下雨 (D)抛掷一枚图钉,钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【知识点:概率的意义】 解:D 3.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中“正面向上恰有 5 次”是( A.必然事件 C.不可能事件 【知识点:随机事件,必然事件,不可能事件】 解:B m m 4.在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率为 n ,当 n 很大时,P(A)与 n 的关系是( m A.P(A)≈ n m C.P(A)> n 【知识点:频率,概率】 解 A. 事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值. ) B.不可能发生的事件发生的概率为 0 D.不确定事件发生的概率为 0 m B.P(A)< n m D.P(A)= n ). B.随机事件 D.无法确定 ).

5.下列说法错误的是(

A.必然发生的事件发生的概率为 1 C.随机事件发生的概率大于 0 且小于 1 【知识点:概率的意义】 解:D

6.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得 米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A.134 石 【知识点:频率】 x 28 解 B. 设 1 534 石米内夹谷 x 石,则由题意知1 534=254,解得 x≈169.故这批米内夹谷约为 169 石. 7.某城市 2011 年的空气质量状况如下表所示: B.169 石 C.338 石 D.1 365 石 )

污染指数 T

[0,30]

(30,60]

(60,100]

(100,110]

(110,130]

(130,140]

概率 P

1 10

1 6

1 3

7 30

2 15

1 30

其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50<T≤100 时,空气质量为良;100<T≤150 时,空气质量 为轻微污染.该城市 2011 年空气质量达到良或优的概率为 3 A.5 1 B.180 1 C.19 5 D.6 ( )

【知识点:频率,概率】 解 1 1 1 3 A :空气质量达到良或优,即 T≤100,故所求概率 P=10+6+3=5.

8.利用简单随机抽样法抽查某校 150 名男学生,其中身高为 1.65 米的有 32 人,若在此校随机抽 查一名男同学,则它的身高为 1.65 米的概率大约为________ 【知识点:频率,概率】 解:0.21 9.某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益 12%;一旦失败,一年后 将丧失全部资金的 50%。通过抽样的方法获得去年 200 例类似项目开发实施的结果是:投资成 功的占 92 次,投资失败的占 8 次。那么该公司一年后估计可获收益的平均数为________元 【知识点:频率,概率,概率的意义】 解:4760 10.某市统计的 2008~2011 年新生婴儿数及其中男婴数(单位:人)见下表: 时间 新生婴儿数 男婴数 2008 年 21840 11 453 2009 年 23 070 12 031 2010 年 20 094 10 297 2011 年 19 982 10 242

(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到 0.001); (2)该市男婴出生的概率约是多少? 【知识点:频率,概率】 解 nA 11 453 (1)2008 年男婴出生的频率为 fn(A)= n =21 840≈0.524.

同理可求得 2009 年、2010 年和 2011 年男婴出生的频率分别约为 0.521、0.512、0.513. (2)由以上计算可知,各年男婴出生的频率在 0.51~0.53 之间,所以该市男婴出生的概率约为 0.52. 11.对一批衬衣进行抽样检查,结果如表: 抽取件数 n 50 100 200 500 600 700 800

次品件数 m m 次品率 n

0

2

12

27

27

35

40

(1)求次品出现的频率. (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A,求 P(A). (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1 000 件衬衣,至少需进货多少件? 【知识点:频率,概率】 解: (1)次品率依次为:0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05 m (2)由(1)知,出现次品的频率 n 在 0.05 附近摆动,故 P(A)=0.05. (3)设进衬衣 x 件,则 x(1-0.05)≥1 000,解得 x≥1 053.故至少需进货 1 053 件. 12.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等 于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) [102,106) [106,110] 42 22 8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) [102,106) [106,110] 42 32 10

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

??2, t ? 94 ? y ? ?2,94 ? t ? 102 ?4, t ? 102 ?
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均 一件的利润. 【知识点:频率,概率,平均数】 解: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为 的产品的优质品率的估计值为 0.3.
22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产 100

由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 品的优质品率的估计值为 0.42

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产 100

(Ⅱ)由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试验结 果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计 值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为
1 ? (4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 4) ? 2.68 (元) 100


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