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2015年全国各地高考模拟数学试题汇编【三轮】平面向量(理卷B)

时间:2015-11-06


专题 3 三角函数、解三角形、平面向量 第3讲
一、选择题(45 分) 1. (2015·肇庆市高中毕业班第三次统一检测题·2)已知向量 a ? (2,4) , b ? (?1,1) ,则

平面向量(B 卷)

2a ? b ? ( )
A. (3,7) B. (3,9) C. (5,7) D. (5,9)

2. (2015· 佛山市普通高中高三教学质量检测 (二) · 3) 已知向量 a ? 0 ,?2 3 , b ? 1, 3 , 则向量 a 在 b 上的投影为( A. ? 3 B. ? 3 ) C. 3 D.3

?

?

?

?

3.(2015·北京市西城区高三二模试卷·2)已知平面向量 ,则 实数k =( A.4 ) B.-4 C. 8 D.-8

4.(2015· 大连市高三第二次模拟考试· 5)在△ ABC 中,D 为 BC 边的中点, 若 BC ? (2,0) ,

??? ?

???? ??? ? AC ? (1, 4) ,则 AD ? (
(A) (?2, ?4)

) (B) (0, ?4) (C) (2, 4) (D) (0, 4)

5.(2015·丰台区学期统一练习二·6)平面向量 a 与 b 的夹角是

?

?

如果 AB ? a ? b , AC ? a ? 3b ,D 是 BC 的中点,那么 AD ? ( (A)

??? ?

? ?

??? ?

?

?

????

? ? ? ,且 a ? 1 , b ? 2 , 3
) (D) 6

3

(B) 2 3

(C) 3

6. (2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·10)已知 O 为正三角形 ABC 内一点,且 满足 OA ? ?OB ? (1 ? ? )OC ? 0 ,若 ?OAB 的面积与 ?OAC 的面积比值为 3,则 ? 的值为 ( )

A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 3

7.(2015·济宁市 5 月高考模拟考试·9)

8.(2015·陕西省咸阳市高考模拟考试(三) ·5)

9.(江西省九江市 2015 届高三第三次模拟考试·9)如图,已知 △ ABC 中, AB ? AC ? 4 ,

?BAC ?

?
2

, D 是 BC 的中点, 若向量 AM ?

???? ?

? ???? 1 ??? AB ? mAC , 且点 M 在 △ ACD 的内部 (不 4

含边界) ,则 AM ?BM 的取值范围是( )

???? ? ???? ?

A. (?2, 4) 二、非选择题(55 分)

B. (?2, 6)

C. (0, 4)

D. (0, 6)

10. (2015·厦门市高三适应性考试·14)如图,在 △ABC 中, AD ? BC ? 0 , BC ? 3BD , 过点 D 的直线分别交直线 AB, AC 于点 M, N.若 AM ? ? AB, AN ? ? AC ? ? ? 0, ? ? 0 ? , 则 ? ? 2 ? 的最小值是 .
A N B M D C

???? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ????

??? ?

11 . (2015 济 宁 市 曲 阜 市 第 一 中 学 高 三 校 模 拟 考 试 · 17) 在 平 面 上 ,

??? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 1 AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 . 若 OP ? , 则 OA 的 取 值 范 围 是 __ 3
_. 12. (2015·青岛市高三自主诊断试题·11)已知不共线的平面向量 a ,b 满足 a ? (?2, 2) ,

?

?

?

? ? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |?



13. (2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·13)已知 G 为△ABC 的重心,令 AB ? a ,

AC ? b ,过点 G 的直线分别交 AB 、AC 于 P、 Q 两点,且 AP ? ma , AQ ? nb ,则
1 1 ? =__________. m n
14.(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学(理)试题·15)已知向量

a 、 b 的夹角为 60? ,且 | a |? 2 , | b |? 1 ,则 a 与 a ? 2b 的夹角等于
15. (2015·开封市高三数学(理)冲刺模拟考试·14) 若等边 ?ABC 的 边 长 为 2 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ?



1 1 CB ? CA , 则 3 2

MA ? MB ?



16、 (2015· 海南省高考模拟测试题· 13) 在△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 ,AB ? AC ? 0 , 且△ ABC 的面积为

??? ?

????

??? ? ??? ?

3 ,则 ?BAC =_______ 2

17.(2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·14)

18. (2015 · 海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 · 14) 设 关 于

x, y 的 不 等 式 组

?3x ? 4 ? 0, 表示的平面区域为 D ,已知点 O(0, 0), A(1, 0) ,点 M 是 D 上的动 ? ?( y ? 1)(3x ? y ? 6) ? 0 ??? ? ???? ? ???? ? 点. OA ? OM ? ? OM ,则 ? 的取值范围是 .
19. (2015· 日照市高三校际联合 5 月检测· 14)在平面直角坐标系 xOy 中, 设直线 y ? ? x ? 2

与 圆 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ?0? 交 于 A,B 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 若 圆 上 一 点 C 满 足

20.(2015·北京市东城区综合练习二·13)已知非零向量 a , b 满足 | b |? 1 , a 与 b ? a 的夹角 为 120 ,则 | a | 的取值范围是
?

uuu r 5 uur 3 uu u r OC ? OA ? OB,则r ? ______. 4 4



专题 3 三角函数、解三角形、平面向量 第3讲
1.【答案】C 【命题立意】本题考查的是平面向量的坐标运算. 【解析】∵a = ? 2,4 ? ,b = ? -1, 1? , ∴2a - b = ? 5,7? ,故选 C. 2.【答案】A 【命题立意】本题旨在考查向量的数量积的定义和计算公式.

平面向量(B 卷)答案与解析

?

?

? ?

? ? ? a ? b 0 ? 2 3 ? 3 ?6 ? ? ?3 ,故选:A. 【解析】向量 a 在 b 上的投影为 a cos ? ? ? ? 2 b 1 ? ( 3) 2
3.【答案】 D 【命题立意】本题旨在考查向量的坐标运算及两向量平行的条件。 【解析】 a ? b ? (1,4) ,若 (a ? b) // c ,则 k ? 8 ? 0 ,解得 k ? ?8 .故选 D 4.【答案】D 【命题立意】本题重点考查了平面向量的基本运算法则等知识。 【 解 析 】 因 为 D 为 BC 边 的 中 点 , 故 B D ?

??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? BC ? (1, 0 ) , AB ? AC ? BC ? (?1,4) , 2

???? ??? ? ??? ? AD ? AB ? BD ? (0,4) ,故选 D。
5.【答案】A 【命题立意】考查平面向量的加法法则,考查转化能力,中等题. 【 解 析 】 依 题 意 ,

AD ?

1 1 ( AB ? AC ) ? (2a ? 2b) ? a ? b 2 2

, 所 以

1 | AD |? 1 ? 2 ?1? 2 ? ? 4 ? 3 , 2
所以 | AD |? 3 . 6.【答案】A 【命题立意】本题旨在考查向量在几何中的应用,平面向量的基本定理及其应用. 【解析】设 AC、BC 边的中点为 E、F,则由 OA ? ?OB ? (1 ? ?)OC ? 0得OE ? ?OF ? 0, ∴点 O 在中位线 EF 上.∵△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为 3,∴点 O 为 EF 的靠近 E 的三等分点,∴λ = 7.【答案】D 【命题立意】本题主要考查向量的线性运算、向量共线的、充要条件及均值不等式. 【解析】 BP ? AP ? BP ? mAB ? nAC ? AB ? (m ?1) AB ? nAC ,

????

??? ?

??? ?

? ??? ?

??? ?

?

1 . 2

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? BE ? AE ? AB ? AC ? AB , 又 B,P,E 三 点 共 线 , 所 以 ? B E ? B, P 即 3

?? ? ? ? ? ? ? ?? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ?( A C ? A)B ? ( ? m1 ) A ?B n ? A3 C ,所以 ,化简得 3m+n=1, 3 ? ? ?? ? m ? 1
所以 (

3 1 9n m ? )(3n ? m) ? 3 ? 3 ? ? ? 6 ? 2 9 ? 12 . m n m n

8.【答案】 D. 【命题立意】考查向量的加法运算,以及向量共线的充要条件. 【解析】根据 AP ?λ (AB ? AC) 以及向量加法可知点 P 在直线 AD 上 ,

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ?? ? BP ?μ BC 可知点 P 在直线 BC 上,如图所示可知点 P 位于边 BC 的中点上,所
以有λ ?

1 1 ,μ ? ,λ ?μ ? 1 ,故选 D. 2 2

9.【答案】B 【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算、平面向量基本定理及其运用等知识。 【解析】建立如图直角坐标系,设 M ( x, y ) ,依题意得

1 (4, 0) ? m(0, 4) ,? x ? 1, y ? 4m , 1 ? y ? 3 4 ???? ? ???? ? ? AM ? BM ? ( x, y)( x ? 4, y) ? ?3 ? y 2 ? (?2,6) ,故选 B. ( x, y ) ?
y C D

A

B

x

10.【答案】

8 3

【命题立意】本题旨在考查平面向量基本定理以及直线的向量参数方程. 【解析】由题 AD ? AB ? BD ? AB ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? 1 ???? 1 ???? ??? 2 ??? AC ? AB ? AB ? AC . 3 3 3

?

?

2 ? x ? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 3 设 AD ? x AM ? y AN ? x ? y ? 1? ,则 AD ? x? AB ? y? AC ,则 ? , 1 ? y? ? ? 3 ?

? ?? ? ? 故? ?? ? ? ?

2 ? 2? 2? 1 1 ? 2? y x y x? 8 3x ? ?? . .故 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2 1 3? x y? 3? x y x y? ? 3? ? ? 3 3y
1 8 时,等号成立.故答案为: 3 2

当且仅当 x ? y ?

11.【答案】 (

35 , 2] 3

【命题立意】本题考查向量知识的运用,考查学生转化问题的能力,考查学生的计算能力, 属于难题. 【解析】根据题意知,A、B1、P、B2 构成一个矩形 AB1PB2,

以 AB1,AB2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系,如图所示;

设|AB1|=a,|AB2|=b,点 O 的坐标为(x,y) ,则点 P 的坐标为(a,b) ;
2 2 2 2 ? ? ???? ???? ? ?? x ? a ? ? y ? 1 ?? x ? a ? ? 1 ? y 由 OB1 ? OB2 ? 1 ,得 ? ,则 ? ; 2 2 2 2 x ? y ? b ? 1 y ? b ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 1 1 ∵ OP ? ,∴(x-a)2+(y-b)2< , 9 3 1 17 ∴1-y2+1-x2< ,∴x2+y2> ;① 9 9

又∵(x-a)2+y2=1,∴y2=1-(x-a)2≤1,∴y2≤1; 同理 x2≤1,∴x2+y2≤2;② 由①②知

??? ? 17 <x2+y2≤2,∵ OA ? x 2 ? y 2 , 9

∴ OA 的取值范围是

??? ?

??? ? 17 < OA ≤ 2 . 3

12.【答案】 2 2 【命题立意】本题考查了向量的坐标运算、向量的垂直、向量的模. 【解析】?(a ? b) ? (a ? b),?(a ? b) ? (a ? b) ? | a |2 ? | b |2 ? 0 ,即 | b |? | a |? 2 2 . 13.【答案】3 【命题立意】本题旨在考查平面向量的线性运算。 【解析】直线 PQ 过重心 G,可采取特殊化的处理办法,若 PQ 过 B 点,则 Q 点即 AC

? ?

? ?

? ?

? ?

?? ?

?

?

?? ?

中点。又 AP ? ma , AQ ? nb ,得 m ? 1, n ? 14.【答案】

? 6

1 1 1 , ? ? 1 ? 2 ? 3. 2 m n

【命题立意】考查平面向量的模、夹角,考查计算能力,容易题. 【 解 析 】 依 题 意 , a ? b ? 2 ? 1?

1 ? 1 , 则 a 与 a ? 2b 的 夹 角 ? 的 余 弦 值 为 2

cos ? ?

a ? (a ? 2b) | a | ? | a ? 2b |
8 9

?

4 ? 2 ?1 2 ? 22 ? 4 ?1 ? 21

?

3 ? ,所以 a 与 a ? 2b 的夹角等于 . 2 6

15.【答案】-

【命题立意】本题旨在考查平面向量的线性运算与数量积. 【解析】由于 MA = CA - CM =-

1 3 2 1 1 - ×22- ×22+ 9 4 2

MA · MB =(-

1 1 2 1 CB + CA , MB = CB - CM = CB - CA ,故 3 2 3 2 1 2 1 2 1 1 · ( CB - CA )=- CB 2- CA 2+ CB · CA = CB + CA ) 2 3 2 9 4 2 8 ×2×2×cos60?=- . 9

16.【答案】150? 【命题立意】本题旨在考查三角形的面积公式,数量积. 【解析】由于 SABC=

1 3 1 | AB || AC |sin∠BAC= ,可得 sin∠BAC= ,而 AB · AC <0,则 2 2 2

∠BAC 为钝角,故∠BAC=150?. 17.【答案】 3 【命题立意】本题重点考查向量加法的几何意义以及向量的数量积运算,难度中等. 【解析】因为 | a |?| a ? b |?| 2a ? b |? 1,所以可将 a, a ? b, 2a ? b 置于由两个等边三角组成

?

? ?

? ?

? ? ? ? ?

2? , 3 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?2 2? (a ? b) ? a ? 1 ? 2 ?1?1? cos ? 1 ? 3 ,得 所以 | b | ?| (a ? b) ? a | ? (a ? b) ? 2a ? 3 ? | b |? 3 .
的菱形中,得 ? a, a ? b ??

? ? ?

18.【答案】 (

10 ,1] 10

【命题立意】本题考查了二元二次不等式组表示的平面区域,数量积的几何 意义及利用图形解决问题的能力. 【解析】不等式组表示的平面区域 D 如图中阴影部分所示,若点 M 是 D 上 的动点,?MOA ? [0, ?BOA] ? [0, ? ] ? [0, ? ] ,? 是直线 3x ? y ? 6 ? 0 向 下 方 向 与 x 轴 的 夹 角 , 且 cos ? ?

??? ? ???? ? ???? ? 10 . 由 OA ? OM ? ? OM , 得 10

,所以 ? ?| O A | c o? s MOA ? co ? s MO A ??( 19.【答案】 10 【命题立意】本题旨在考查向量的综合应用.

uur

10 ,1] . 10

??? ? 2 ? 5 ??? ? 3 ??? ? ?2 25 ??? ?2 ? 3 ??? ? 9 ??? ?2 5 ??? 【解析】 OC ? ? OA ? OB ? ? OA ? 2 ? OA ? OB ? OB ,即: 4 4 4 16 ?4 ? 16
r2 ? 25 2 15 2 9 3 r + r cos ?AOB ? r 2 ,整理化简得: cos ?AOB ? ? ,过点 O 作 AB 的 5 16 8 16 3 1 2 2 垂线交 AB 于 D ,则 cos ?AOB ? 2cos ?AOD ?1 ? ? ,得 cos ?AOD ? ,又圆 5 5
心到直线的距离为 OD ?

1 OD 2 2 2 2 2 ? 2, 所以 cos ?AOD ? ? 2 ? 2 , 所以 r ? 10 , 5 r r 2

r ? 10 .
20.【答案】 (0,

2 3 ] 3

【命题立意】本题重点考查向量的数量积运算和不等式恒成立问题,难度中等.

【解析】由题意知向量 a, b 不共线,则

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | b |2 ?| b ? a ? a |2 ?| b ? a |2 ? | a |2 ?2 | b ? a |? | a | cos1200 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 | b ? a |2 ? | b ? a |? | a | ? | a |2 ?1 ? 0 , 由 | a |2 ?4(| a |2 ?1) ? 0 且 a 为 非 零 向 量 得
? 2 3 . 0 ?| a |? 3


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