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版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案新人教A版选修2 1(数学教案)

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第二章 圆锥曲线与方程 学习目标 1.理解曲线方程的概念,掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛 物线的定义及其应用,会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及 其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简 单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法. 知识点一 三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 平面内与两个定点 定义 双曲线 抛物线 平面内与两个定点 F1, 平面内与一个定点 F 和 F1,F2 的距离的和等 F2 的距离的差的绝对 一条定直线 l(l 不经过 于 常 数 ( 大 于 |F1F2|)的点的轨迹 值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹 点 F)距离相等的点的轨 迹 标准方程 关系式 图形 对称性 顶点 离心率 准线方程 决定形状的因素 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 a2-b2=c2 封闭图形 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 a2+b2=c2 无限延展,有渐近线 y2=2px(p>0) 无限延展,没有渐近线 无对称中心 一条对称轴 对称中心为原点 两条对称轴 四个 0<e<1 两个 一个 e>1 p x=- 2 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小 1 知识点二 待定系数法求圆锥曲线标准方程 1.椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面,一般先确定焦点的位置,再确 定参数.当焦点位置不确定时,要分情况讨论.也可将椭圆方程设为 Ax +By =1(A>0,B>0, 2 2 A≠B),其中当 > 时,焦点在 x 轴上,当 < 时,焦点在 y 轴上;双曲线方程可设为 Ax2+By2 A B A B 1 1 =1(AB<0),当 <0 时,焦点在 y 轴上,当 <0 时,焦点在 x 轴上. 1 1 1 1 A B 另外,与已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0); 已知所求双曲线为等轴双曲线,其方程可设为 x -y =λ (λ ≠0). 2.抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时,先确定抛物线的方程类型,再由条件求出参数 p 的大小.当焦点位 置不确定时,要分情况讨论,也可将方程设为 y =2px(p≠0)或 x =2py(p≠0),然后建立方 程求出参数 p 的值. 知识点三 直线与圆锥曲线有关的问题 1.直线与圆锥曲线的位置关系, 可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定, 通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程, 考虑该 一元二次方程的判别式 Δ ,则有:Δ >0?直线与圆锥曲线相交于两点;Δ =0?直线与圆锥 曲线相切于一点;Δ <0?直线与圆锥曲线无交点. 2.直线 l 截圆锥曲线所得的弦长|AB|= ?1+k ??x1-x2? 或 2 2 2 2 2 2 x2 y2 a b x2 y2 a b 1 2 ?1+ 2??y1-y2? ,其中 k 是直 k 线 l 的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直线与圆锥曲线的两个交点 A,B 的坐标,且(x1-x2) = (x1+x2) -4x1x2,x1+x2,x1x2 可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出. 2 2 类型一 圆锥曲线定义的应用 例 1 已知点 M(2, 1), 点 C 是椭圆 + =1 的右焦点, 点 A 是椭圆上的动点, 则|AM|+|AC| 16 7 的最小值是________. 答案 8- 26 解析 如图,设点 B 为椭圆的左焦点,点 M(2,1)在椭圆内, x2 y2 2 那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a, 所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|, 而 a=4, |BM|= ?2+3? +1= 26, 2 所以(|AM|+|AC|)最小值=8- 26. 反思与感悟 应用定义解决问题时,需紧扣其内涵,注意限制条件是否成立,然后得到相应 的结论. 跟踪训练 1 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 D 解析 ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴D1C1⊥侧面 BCC1B1.∴D1C1⊥PC1. ∴PC1 为 P 到直线 D1C1 的距离. ∵P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等, ∴PC1 等于 P 到直线 BC 的距离, ∴点 P 到点 C1 的距离等于 P 到直线 BC 的距离, 由圆锥曲线的定义知,动点 P 的轨迹所在的曲线是抛物线. 类型二 圆锥曲线性质的应用 例2 设 P 是抛物线 y =4x 上的一个动点,则点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x= 2 -1 的距离之和的最小值为________. 答案 5 解析 如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1, 3 由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到 F 的距离. 于是,问题转化为在抛物线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的 距离之和最小, 显然,连接 AF 与抛物线相交得的点即为满足题意的点, 此时最小值为 [1-?-1?] +?0-1? = 5. 2 2 反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强, 需弄清每个性质的真正内涵, 然后正确地应用到解 题中去. 跟踪训练 2 双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( A.2 B. 3 C. 2 3 D. 2 x2 y2 a b ) 答案 C x2 y2 b b ? b? 解析

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