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2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书:必修5 第2章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

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第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质及应用 1.掌握等比数列前 n 项和的性质的应用.(重点) 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.(重点) 3.能用分组转化方法求数列的和.(重点、易错点) [基础· 初探] 教材整理 等比数列前 n 项和的性质 阅读教材 P57 第 13 行~P58,完成下列问题. 等比数列前 n 项和的性质 性质一:若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,且 Sn=Aqn-A(Aq≠0,q≠± 1),则 数列{an}是等比数列. 性质二:若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 ①在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),则 ②Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列. S偶 =q. S奇 1.下列说法正确的是________.(填序号) (1)等比数列{an}共 2n 项,其中奇数项的和为 240,偶数项的和为 120,则该 等比数列的公比 q=2. (2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a· 3n-1-1,则 a=1. (3)若数列{an}为等比数列,则 a1+a2,a3+a4,a5+a6 也成等比数列. (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和,则 S3,S6,S9 成等比数列. 【解析】 (1)错误.因为由等比数列前 n 项和的性质 S偶 120 1 =q,得 q=240=2. S奇 a1?1-qn? a1 n a1 (2)错误.因为由 Sn= =- q+ 1-q 1-q 1-q a n a 知在 Sn=a· 3n-1-1=3· 3 -1 中3=1,故 a=3. (3)正确.因为 a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q4(a1+a2), 所以 a1+a2,a3+a4,a5+a6 成等比数列. (4)错误.因为在等比数列中 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列,故 S3,S6- S3,S9-S6 成等比数列. 【答案】 (3) a1+a3+a5+a7 1 2.已知等比数列{an}的公比 q=3,则 =________. a2+a4+a6+a8 【解析】 ∴ a2 a4 a6 a8 ∵q=a =a =a =a , 1 3 5 7 a1+?+a7 1 = =3. a2+?+a8 q 3 【答案】 3.等比数列{an}的前 5 项和 S5=10,前 10 项和 S10=50,则它的前 15 项和 S15=________. 【解析】 由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5, S15-S10 成等比数列, 故(S10-S5)2=S5(S15-S10), 即(50-10)2=10(S15-50), 解得 S15=210. 【答案】 210 [小组合作型] 等比数列前 n 项和性质的应 用 (1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S2=7,S6=91,则 S4 为( ) A.28 B.32 C.21 D.28 或-21 (2)等比数列{an}中, 公比 q=3, S80=32, 则 a2+a4+a6+?+a80=________. 【精彩点拨】 (2)利用 (1)由 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列求解. S偶 =q,及 S2n=S 奇+S 偶求解. S奇 (1)∵{an}为等比数列, 【自主解答】 ∴S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列, 即 7,S4-7,91-S4 成等比数列, ∴(S4-7)2=7(91-S4),解得 S4=28 或 S4=-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,∴S4=28. (2)设 S1=a2+a4+a6+?+a80, S1 S2=a1+a3+a5+?+a79.则S =q=3 即 S1=3S2. 2 4 又 S1+S2=S80=32,∴3S1=32,解得 S1=24. 即 a2+a4+a6+?+a80=24. 【答案】 (1)A (2)24 1. 在涉及奇数项和 S 奇与偶数项和 S 偶时, 常考虑其差或比进行简化运算. 若 项数为 2n,则 S偶 S奇-a1 =q(S 奇≠0);若项数为 2n+1,则 =q(S 偶≠0). S奇 S偶 2.等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0),则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数 列,其公比为 qn(q≠-1). 3.若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,且 Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0 且 q≠1),则 数列{an}成等比数列. [再练一题] 1.(1)等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q=________. (2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2, S3n=14, 则 S4n =________. 【解析】 ?S奇+S偶=-240, (1)根据题意得? ?S奇-S偶=80, ?S奇=-80, S偶 -160 ∴? ∴q= = =2. S奇 -80 ?S偶=-160, (2) 设 S2n = x , S4n = y , 则 2 , x - 2,14 - x , y - 14 成 等 比 数 列, 所 以 2 ??x-2? =2?14-x?, ? 2 ??14-x? =?x-2??y-14?, ?x=6, ?x=-4, 所以? 或? (舍去),所以 S4n=30. ?y=30 ?y=-40 【答案】 (1)2 (2)30 分组求和法 已知数列{an}构成一个新数列:a1,(a2-a1),?,(an-an-1),?此 1 数列是首项为 1,公比为3的等比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【精彩点拨】 通过观察,不难发现,新数列的前 n 项和恰为 an,这样即可 1 将问题转化为首项为 1, 公比为3的等比数列的前 n 项和, 数列{an}的通项公

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