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2013-2014学年高中数学课件:2.2.2对数函数及其性质(2)(新人教A版必修1)

时间:2013-11-06


2.2.2

第二课时

对数函数的性质

复习引入
1. 对数函数的定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做

对数函数,定义域为(0,+∞),
值域为(-∞,+∞).

2. 对数函数的性质:
a>1 0<a<1
y

图 象

y
O

x

O

x

性 x∈(0, 1)时,y<0; x∈(0, 1)时,y>0 质 x∈(1, +∞)时,y>0. x∈(1, +∞)时,y<0.
在(0,+∞)上是增函数

定义域:(0, +∞); 值域:R 过点(1, 0),即当x=1时,y=0.

在(0,+∞)上是减函数

练习
1. 函数y=x+a与y=logax的图象可能是 y ① 1 O y 1 ③ O 1 x 1 x y ( ③ )

1
② O y 1 ④ O 1 x

1

x

练习

2.求下列函数的定义域: (1) y

? log3 (1 ? x) ? (??,1)

(2)

? [1,??) 1 1 (3) y ? log 7 ? (??, ) 1 ? 3x 3 1 (4) y ? ? (0,1) ? (1,??) log 2 x

y ? log 3 x

讲授新课
例1、求log 2x?1 (3X ? 2)的定义域。
1 ? ? 2x ? 1 ? 0 ?x ? 2 2 ? ? 解:2x ? 1 ? 1 ? ? x ? 1 ? x ? 且x ? 1 ? 3 ?3x ? 2 ? o ?x ? 2 ? ? 3 ?

2 ? ? ? 定义域为?x / x ? 且x ? 1? 3 ? ?

的定义域为(0, 99 ? , 例2. 已知f ?lg ( x ? 1)?
解:∵0<x≤99,∴ 1<x+1≤100 ∴ 0<lg(x+1)≤2, ∴ f(x)的定义域为 (0,2]

讲授新课

求函数y ? f ?log 2 ( x ? 2)? 的定义域。

由 0 ? log 2 ( x ? 2) ? 2,得 : 1 ? x ? 2 ? 4.
解得:-1<x≤2

故函数y ? f [log 2 ( x ? 2)] 的定义域为(-1,2]

例3 若函数f(x)=logax (0<a<1)在区间[a, 2a]

上的最大值是最小值的3倍,求a的值.
解:∵0<a<1,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. ∴函数f(x)在[a,2a]上的最大值为f(a),最小值 为f(2a). 依题意,有:f(a)=3f(2a) 3 ? log a a ? 3 log a 2a ? log a a ? log a (2a )

2 ? a ? (2a ) ? a ? 8a ? a ? . 4
3 3

例4 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的 计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表 示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计 算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离 子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.

解:(1) 根据对数的运算性质,有
1 pH ? ? lg[ H ] ? lg[ H ] ? lg ? . [H ]
? ? ?1

在(0,+∞)上,随着 相应地,
1 lg [H ? ]
[H ? ]

[H ? ]

的增大,

1 [H ? ]

减小.

也减小,即pH减小. 的增大, pH减小.

所以,随着

即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸碱 度就越大.

例4 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的 计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表 示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.
解:(2) 当[ H ? ] ? 10 ?7 时 , pH ? ? lg 10 ?7 ? 7. 所以,纯净水的pH是7.

练习: 求下列函数的的定义域、值域

(1) y ? log 2 ( x ? 2 x ? 5) 2 (2) y ? log 1 (? x ? 4 x ? 5)
2
3

(1) 定义域为R,值域为[2,+∞) (2) 定义域为(-1,5),值域为[-2,+∞)

课堂小结
1. 对数函数的性质及其应用; 2. 对数复合函数定义域、值域的求法.

谢谢大家!
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再见


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