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数列的通项复习课(高三)

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高三第一轮复习 《必修五 第二章 数列》

? 第一节 数列的概念与简单表示法
在教学中要充分发挥学生的主体地位,尽量让学生 独立完成包括例题在内的题目,教师在于对方法和 规律的总结,在于引导。

知识点

考试大纲说明

考情分析 1.以数列的前几项为背

数列的 概念和 简单表

1.了解数列的概念和几

景,考查通项公式.

种简单的表示方法(
列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为

2.以数列的递推公式为
载体,考查数列各项 的求法及数列的通项. 求通项an.



正整数的一种特殊函数. 3.由数列前n项和Sn,

一、基本概念
1、数列的定义

按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列,数列中的
每一个数叫做这个数列的项.

2、数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式 子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 3、数列是否可以看作一个函数,若是,则其定义域是什么? 答:可以看作一个函数! 其定义域是正整数集N*(或它的有限 子集{1,2,3,…,n}),可表示为an=f(n).

4、数列的分类: 分类原则 类型 有穷数列 按项数分类 无穷数列 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 递减数列 常数列 项数 无限 an+1>an an+1<an an+1=an 其中 满足条件 项数 有限

n∈N*

5、数列的表示法:数列有三种表示法,它们分别 是 列表法、 公式法 和 图象法 .

二、考点集结

考点一

观察法求数列的通项公式
2 n (1)an ? 2n ? 1 (2)an ? (3)an ? 3n ? 1 2

?1,(n ? 2k ? 1) (4)an ? ? (k ? N *) ?0,(n ? 2k )

考点一:观察法求数列的通项公式说明:
1.据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析, 抓住以下几方面的特征:

(1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征;
(3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、 联想. (5)通项公式的形式可能不唯一. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得 出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变

化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.

3.观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观
察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些 特殊数列(如自然数列、奇偶数列、等差数列、等比数列等) 转换而使问题得到解决.常见数列通项公式:

考点二

求递推数列的通项公式
先将各项加1.

【问题】由an与an+1(an-1)的递推关系,怎样求an? (递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系)

1 1 例2 (1)若a1 ? , an?1 ? 1 ? ,则a16 = —— . 2 an an?1 (2)若a1 ? 1, an ? ,则a12 = —— . 2an?1 ? 1
可得周期为3,则a16=a1=1/2.周期数列. (2) 方法1:先写出前几项观察,1,1/3,1/5,1/7,1/9, …. 可得a12=1/23.

分析:

(1)先写出前几项观察,1/2,-1,2, 1/2,-1,2, ….

考点二

求递推数列的通项公式说明1:

(1)已知数列的递推公式求通项,可把每相邻两项的关系列 出来,抓住它们的特点进行适当处理,有时借助拆分或取

倒数等方法构造等差数列或等比数列,转化为等差数列或
等比数列的通项问题;

例3 根据下列条件,确定数列{an }的通项公式. (1)a1 ? 1, an ? an?1 ? 2n-1 ( n ? 2), n -1 (2)a1 ? 1, an ? an?1 ( n ? 2), n (3)a1 ? 1, an ? 2an?1 +1( n ? 2).

分析: (1)可转化后利用累加法求解. (2)可转化后利用累乘法求解.

(3)可转化后利用累加法求解,
也可用构造等比数列法求解.

考点二

求递推数列的通项公式说明2:

(2)对于形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项公式,只要 f(n)可求和,便可利用累加法或迭代法; (3)对于形如

an ? 1 ? g( n) 的递推公式求通项公式,只要 an

g(n)可求积,便可利用累乘法或迭代法; (4)对于形如an+1=Aan+B(A≠0,且A≠1,且B≠0)的递推公

式求通项公式时,可用构造等比数列法或迭代法.

(1)解:当n ? 2时,an ? an?1 ? 2n-1,即an ? an?1 ? 2n-1. ? ? 2 a3 ? a2 ? 2 , ? ? 3 则 a4 ? a3 ? 2 , ? ? an ? a1 ? 21 + 22 + 23 + ? + 2n-1 = 2n -2, ? ?? ? an ? an?1 ? 2n-1. ? ? ? a1 ? 1,? an ? 2n ? 1, ? an ? 2n ? 1. a2 ? a1 ? 21 ,

例3 根据下列条件,确定数列{an }的通项公式. (1)a1 ? 1, an ? an?1 ? 2n-1 ( n ? 2), n -1 (2)a1 ? 1, an ? an?1 ( n ? 2), n (3)a1 ? 1, an ? 2an?1 +1( n ? 2).

(3)解:当n ? 2时,an ? 2an?1 ? 1, ???? 1 设(an ? x ) ? 2(an?1 ? x ),即an ? 2an?1 ? x .? 2 比较 1 ,2 可知x ? 1,即(an ? 1) ? 2(an?1 ? 1). ? a1 ? 1, ? 新数列{an ? 1}是以2为首项,为公比 2 的等比数列. ? an ? 1 ? 2 ? 2n-1 ? 2n , ? an ? 2n ? 1.

考点三

由an与Sn的关系求an

由an与Sn的关系求an时,要分n=1和n≥2两种情况讨 论: ? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ,

Sn?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ( n ? 2). ?当n ? 1时,a1 ? S1; 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不
能,则用分段函数的形式表示为:

例4 根据下列条件,确定数列{an }的通项公式. (1)已知数列{an }的前n项和Sn =n2 ? 9n, (2)已知数列{an }满足a1 ? 1, Sn ? n2an .

(1)解:当n ? 1时, a1 ? S1 ? ?8, 当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? ( n2 ? 9n) ? [( n ? 1)2 ? 9( n ? 1)] ? 2n ? 10. ? ?8, n ? 1, ? an ? ? ? 2n ? 10, n ? 2. * 即an ? 2n ? 10( n ? N ).

例4 根据下列条件,确定数列{an }的通项公式. (1)已知数列{an }的前n项和Sn =n2 ? 9n, (2)已知数列{an }满足a1 ? 1, Sn ? n2an .

(2)解:当n ? 1时,已知a1 ? S1 ? 1. 当n ? 2时, an ? Sn ? S n?1 =n 2an ? ( n ? 1)2 an-1 ,
2 a ( n ? 1) n?1 2 2 n ? ( n ? 1)an =( n ? 1) an-1 , 即 = 2 = . an-1 n ? 1 n ? 1

a n ?1 a n a 2 a 3 a4 a 5 ? ? ? ? ?? ? a1 a2 a3 a4 an? 2 an?1 1 2 3 4 n? 2 n?1 1? 2 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2( ? ). 3 4 5 6 n n ? 1 n( n ? 1) n n?1 1 1 ? an ? 2( ? ), 检验可知n ? 1时也符合. n n?1

三、小结与作业:
小结:
(1)观察法(如例1);

(2)方法2:由an ?

2a n ?1 ? 1

a n ?1

,得

1 2an?1 ? 1 1 1 1 ? =2+ ,即 ? ? 2. an a n ?1 a n ?1 a n a n ?1

1 1 又 ? a1 =1,于是数列{ }是以 ? 1,d ? 2的等差数列. an a1 ? 1 1 1 =2n ? 1,? an ? ,? a12 ? . an 2n ? 1 23

(2)递推数列(小题观察,大题对应类型与方法.如例2,例3); (3)已知Sn=f(n),或G(an,Sn)=0,求通项公式(如例4). 本部分内容在近几年的高考中都有涉及,请看下列作业.

S n+1=4an+2,

分析:指向性明确!

Sn=4an-1+2(n≥2)

思考5.(2009· 全国卷Ⅱ理科)设数列{an}的 两式相减! 前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:由已知有a1+a2=4a1+2,

解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3. 又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,
于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

思考5.(2009· 全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,

已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.


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