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12.2圆的标准方程(1)

时间:2017-01-03


圆的标准方程

问题:求圆心是C(a ,b),半径 是r的圆的方程。

y r C M(x,y)

回顾
求曲线方程的一般步骤是:
建系设点

O
化简 查漏补缺

x

找几何条件

列式

圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

记忆: 圆的标准方程有哪些特点? ① 是关于x、y的二元二次方程; ② 方程明确给出了圆心坐标和半径; ③ 确定圆的方程必须具备三个独立条件即 a 、 b 、 r。

例1:看图写出下列圆的方程:
y

r
O
y
C(a,b) O

(x-a)2+(y-a)2=a2
r
x y
C(a,a)

x2+y2=r2

x

(x-a)2+(y-b)2=a2+b2
x

练习: 写出下列各圆的圆心坐标和半径:

(1)(x-1)2 + y2 = 6
(2)(x+1)2 +(y-2)2 = 9

(1,0) (-1,2)

6 3

(3)(x+a)2 + y2 = a2

(-a,0)

|a|

例2.已知圆C经过P(5,1),圆心C ? 8,3? , 求圆C的方程.
解:设圆的方程为( x ? 8) ? ( y ? 3) ? r
2 2 2

y
C(8,3) P(5,1)

?点P(5,1)在圆上, 代入圆的方程得
r 2 ? 13
x

0

故所求圆的方程为: ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 13
2 2

也可用两点间距离公式求r

练习:已知A ? 4, 9 ?,B ? 6, 3?,求以AB为直径 的圆的方程.
Y A(4,9)

解:设AB的中点为(a, b)
B(6,3)

0

X
2

4?6 9?3 则a ? ? 5, b ? ? 6. 2 2
2 2 2

设圆的方程为 ( x ? 5) AB ? (? y ?( 6 ) ?? r , 把点 6 4) ? (3 ?B 9( )6,3 ?)代入得 2 10 r .
2
2

故所求圆的方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10
2 2

练习:求过点C (?1,1)和D(1,3),圆心在x轴 上的圆的方程.
解:依题意设所求圆的方程为( x ? a) ? y ? r .
2 2 2

? ?(?1 ? a) ? 1 ? r 解方程组 ? 2 2 2 ? ?(1 ? a) ? 3 ? r
2 2

2

得a ? 2, r ? 10,
2

故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 10.
2 2

例3.求以C (1,3)为圆心,并和直线3x ? 4 y ? 6 ? 0 相切的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 : y
C(1,3)

( x ? 1) ? ( y ? 3) ? r
2 2

2

圆心C (1,3)到直线3x ? 4 y ? 6 ? 0
0 x

的距离
r? | 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 | 32 ? 42
2

3x-4y-6=0

? 3,
2

故所求圆的方程为 : ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 9

练习: ?1? 求圆心在? -1,2?,且与y轴相切的圆 的方程; ? 2 ? 求圆心在直线y ? x上,且同时和两坐
标轴相切,半径为2的圆的方程;

?1? 解:因圆与y轴相切, 故圆的半径为1,
y C(-1,2)

设所求圆的方程为 : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? r
2 2 2

x -1 0

所求圆的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

练习: ?1? 求圆心在? -1,2?,且与y轴相切的圆 的方程; ? 2 ? 求圆心在直线y ? x上,且同时和两坐
标轴相切,半径为2的圆的方程;
Y 2

(2)解:依题意得所求圆的方程为
y=x

-2 C(-2,-2)

C(2,2) 0 2 -2
X

(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4

例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意 图,该圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建 造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度(精确到0.01m)
y

x

例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) 解:建立坐标系如图所示, 圆心在y轴上。 设圆心坐标是(0,b), 圆的 半径是r , 则圆的方程是 x 2+( y -b)2 =r 2。 因为P、B都在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是 圆的方程的解。所以有
?10 2 ? ( 0 ? b ) 2 ? r 2 解之得:b = -10.5 , r2=14.5 2 ? 2 2 2 ? 0 ? (4 ? b) ? r
y

x

例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) y (续)

所以圆的方程是:
x2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2 把点P2的横坐标x = -2 代入圆的方程,得 (-2) 2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2 因为P 2 的纵坐标 y > 0 ,所以 y ? 14.5 ? ( ?2) ? 10.5
2 2

x

≈14.36 -10.5 = 3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

(1)圆心为C(a ,b),半径为r的圆的标准方程为 ( x - a ) 2 + (y - b ) 2 = r 2 当圆心在原点时,a = b = 0,圆的标准方程为: x 2+ y 2= r 2 (2)由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数, 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆; 对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径 或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。

小结


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