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函数的奇偶性和单调性2

时间:2017-03-01


理科

函数的奇偶性和单调性
1.函数的奇偶性

偶函数

奇函数

对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有 定义 ____________ ____________

图象

关于________对称

关于________对称

定义域 性 质 单调性

关于________对称

在关于原点对称的两个区间上

有________的单调性 图象与原 点的关系

有________的单调性 若奇函数 f(x)在原点有意 义则 f(0)=________

2.周期性 (1)周期函数:T 为函数 f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②________ 对定义域内的任意 x 都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个________,那么这个________ 就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若 T 是函数 y=f(x)(x∈R)的一个周期,则 nT(n∈Z,且 n≠0)也是 f(x)的周 期. 3.练练基础 1.(2013·广东)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函数的 个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 那么 a+b 的值是( ) 1 A.- 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2

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3. (2015· 大连模拟)函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示, 下列说法正确的是( ①函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x); ②函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x); ③函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x); ④函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x). A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 4. 已知 f(x)在 R 上满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2), f(x)= 2 A.-2 B.2 C.-98 D.98

)

x

2

, 则 f(2 013)=(

)

1 5.定义在 R 上的奇函数 y=f(x )在(0,+∞)上单调递增,且 f 2 =0,则满足 f(x )>0 的 x 的集合为________.
二。考点归纳 考点一 函数奇偶性判断的方法与探究 [调研 1] (1)(2014·新课标全国Ⅰ)设函数 f(x),g(x )的定义域都为 R ,且 f(x)是奇函数,g(x )是偶函数,

则下列结论中正确的是(
x2 -2x?x ≥0?, x2 +2x?x <0?,

)

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x )|是奇函数
(2)已知函数 f(x )= 则 f(x)是( )

A.奇函数 B.偶函数 C .非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

(3)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos 2x ,x∈R ex-e C.y = ,x∈R 2
-x

)

B.y =log2 |x|,x∈R ,且 x≠0 D.y =x3+1,x ∈R

考点二 函数的周期性及其创新题型 [调研 2] (1)(2014· 四川)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,
2

?-4x +2,-1≤x<0, 3? f(x)=? 则 f? 2?=________. ? ?x,0≤x<1,

ax+1,-1≤x<0, (2)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x )= bx+2 ,0≤x≤1, x +1 1 3 其中 a,b∈R .若 f 2 =f 2 ,则 a+3b 的值为________.

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1.(2014·江西七校联考)已知定义在 R 上的函数 y=f(x )满足 f(x+2)=f(x),当-1<x ≤1 时,f(x)=x3, 若函数 g(x)=f(x)-loga |x|至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是( A.(1,5) B. 1 0, 5 ∪[5,+∞ C. 1 0, 5 ∪[5,+∞) ) 1 ,1 D. 5 ∪(1,5]

2.(2014·湖南,文 4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( 1 A.f(x)= x2 B .f(x)=x2 +1C.f(x)=x3 D.f(x)=2
-x

)

考点三 函数奇偶性的应用探究 1 [调研 3] (1)(2014· 湖北)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x- 2 a2|+|x-2a2|-3a2).若?x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为( 1 1 - , ? A.? ? 6 6? B.?- ) 6 6? , 6 6? 1 1 - , ? C.? ? 3 3? D.?- 3 3? , 3 3?

?

?

(2)(2013·天津,文 7)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增. 1 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( 2 A. [1,2] B. 1 0, 2 1 ,2 C. 2 )

D . (0,2]

1.(2014·北京东城一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=ex(x+1), 给出下列命题: ①当 x>0 时,f(x)=ex(1-x);②函数 f(x)有两个零点; ③f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞);④? x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.(2014·安徽,文 14)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x)= x?1-x?,0≤x≤1, sin πx,1<x≤2, 29 41 则 f 4 +f 6 =________.

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链接高考 1.(2010 全国新课标理)5)已知命题

p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数,
则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ? p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,真命 题是 (A) q1 , q3 (B) q2 , q3 (C) q1 , q4 (D) q2 , q4

3 | f( x 2 ) ?0 }? ? (2010 全国新课标理) (8) 设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x ? 8( x ? 0) , 则 {x

(A) {x | x ? ?2或x ? 4} (C) {x | x ? 0或x ? 6}

(B) {x | x ? 0或x ? 4} (D) {x | x ? ?2或x ? 2}

2011 全国新课标理)(2)下列函数中,既是偶函数哦、又在(0,)单调递增的函数是 (A) y ? x
2

(B) y ? x ? 1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x


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