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高一数学第一章子集、全集、补集测试

时间:2011-09-22


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高一数学第一章子集、全集、 高一数学第一章子集、全集、补集测试
1.设 A={x|x≥2},a= 5 ,则下列结论中正确的是( A.{a} A C.{a} ∈ A B.a A D.a?A )

解析: “ “ “ 解析:本题主要对“ ∈ ” ? ” ? ” ”等符号的正确理解. 答案: 答案:A 2.设全集 U={1,2,3},M={x|x2-3x+2=0},则 CuM 等于( A.{1} C.{3} B.{1,2} D.{2} )

解析: 解析:化简集合 M={1,2},由补集定义得 CuM={3},因此 C 对. 答案: 答案:C 3.若 M={x|x>1},N={x|x≥a},且 N ? M,则( A.a>1 C.a<1 解析: 解析:略. 答案: 答案:A 4.已知全集 U={0,1,2,3}且 CuA={2},则集合 A 的真子集共有( A.3 个 B.5 个 C.8 个 D.7 个 ) B.a≥1 D.a≤1 )

解析: 解析:求出 A={0,1,3},所以 A 的真子集共有 7 个,一般地 A={a1,a2,…,an} 的子集个数为 2 个. 答案: 答案:D 5.设 U 为全集,集合 M、N U,且 M ? N,则下列各式成立的是( A.CuM ? CuN C.CuM ? CuN 解析: 解析:用 Venn 图解释比较清晰. 答案: 答案:A 6.已知全集 U={x|-2≤x≤1},A={x|-2<x<1},B={x|x2+x-2=0},C= {x|-2≤x<1},则(
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n



B.CuM ? M D.CuM ? N


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A.C ? A C.CuB=C

B.C ? CuA D.CuA=B

解析: 解析:化简集合 B={-2,1},由补集定义知 D 对. 答案: 答案:D 7.已知 A ={x|x <-1 , B ={x|4x + p <0 ,当 A ? B 时,则 p 的取值范围是 _____________. 解析: 解析:集合 B={x|x<- 答案: 答案:p≥4 8.设集合 M={1,2,3,4,5,6},A ? M,A 不是空集,且满足:a ∈ A,则 6-a ∈ A, 则满足条件的集合 A 共有_____________个. 解析: 解析:由 A ? M 知,A 中的元素来自 M 中的元素,因为若 a ∈ A,则 6-a ∈ A,所以 若 1 ∈ A,则 6-1=5 ∈ A,反之若 5 ∈ A,则 6-5=1 ∈ A,即 1 与 5 同时属于或不属于 A; 同理 2 与 4, 与自身都是这一相同的性质, 3 对于元素 6, 6 ∈ A, 若 则有 6-6=0, 0 ? M, 而 ∴6 ? A,所以满足条件的集合 A 为 7 个,即{1,5},{2,4},{3},{1,2,4,5},{1,3, 5},{2,3,4},{1,2,3,4,5}. 答案: 答案:7

P P ,A ? B,在数轴上表示 A、B,可知- ≤-1,∴p≥4. 4 4

1 1 , ∈ N*}, ={x|x= 2 n , ∈ N*}, CuP=_____________. n P n 则 n 3 3 1 解析: 解析:CuP={x|x= 2 n-1 ,n ∈ N*}. 3 1 答案: 答案:{x|x= 2 n-1 ,n ∈ N*} 3
9. 已知全集 U={x|x= 10.如果 M={x|x=a2+1,a ∈ N*},P={y|y=b2-2b+2,b ∈ N+},则 M 和 P 的 关系为 M_________P. 解析: 解析:集合 P 中元素性质为 y=(b-1)2+1,与 M 中的元素性质相同,根据 a 和 b 取值知,0 ∈ P,0 ? M,其他元素都相同,所以 M ? P. 答案: 答案: ? 11.已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},又知集合 C 是这样的一个 集合:若各元素都加 2 就变成 A 的一个子集;若各元素都减 2,就变成 B 的一个子集,求 集合 C. 解析: 解析:解本题的关键是要明确 C 中的元素属性,C 中各元素都加 2 就成了 A 的子集,

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那么 C 中的各元素都不加 2 与 A 的关系如何,可得 C 是 A 中各元素均减 2 后得到的集合 的子集,同理 C 也是 B 中各元素都加 2 后所得集合的子集. 由题设得 C≠ φ ,且 C ? {0,2,4,6,7},且 C ? {3,4,5,7,10}, ∵C≠ φ ,∴C={4,7}或{4}或{7}. 答案: 答案:{4,7}或{4}或{7}. 12.设全集 I={1,3,a3+3a2+2a},M={1,|2a-1|},问使 CIM={0}的实数 a 是否存在?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解析: 解析:由 CIM={0}知 0 ∈ I,且 0 ∈ M,故只有 a3+3a2+2a=0, ∴a=0 或 a=-1 或 a=-2. (1)若 a=0,则|2a-1|=1,而 M 中已有一个元素为 1,与集合元素的互异性矛盾; (2)若 a=-1,则|2a-1|=3,此时 M={1,3},I={0,1,3},符合条件 CIM={0}; (3)若 a=-2,则|2a-1|=5,此时 M={1,5}不是 I 的子集,故符合条件的实数 a 存在,仅有一个值是 a=-1. 答案: 答案:a=-1. 13.集合 A={x}x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B A,求实数 m 的值. 解析: 解析:A={x| x2+x-6=0}={-3,2},若 B A,则 B 为空集,或 B 中元素为 A 中 的元素之一,B= φ 时,m=0;B≠ φ 时,将 A 中元素-3,2 分别代入 B 中方程 mx+1=0, 分别得 m=

1 1 或 m=- . 3 2 1 1 ∴当 m=0 或 或- 时,B A. 3 2 1 1 答案: 答案:m=0 或 或- . 3 2
14.已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|k+1≤x≤2k-1},若 B ? A,求实数 k 的取

值范围. 解析:∵B ? A,∴分 B= φ 或 B≠ φ . 解析: 当 B≠ φ 时,即 k+1>2k-1,得 k<2,满足 B ? A.

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?k+1 ≤ 2k-1, ? 当 B≠ φ 时,要使 B ? A,必须 ?k+1 ≥ -2, 解得2 ≤ k ≤ 3. ?2k-1 ≤ -5, ?
综上所述得 k 的取值范围为 k≤3. 答案: 答案:k≤3. 15.设 A={x|-2≤x≤a}≠ φ ,B={y|y=2x+3,x ∈ A},C={z|z=x2,x ∈ A },若

C ? B,求实数 a 的取值范围.
解析: 解析:由已知可先将 B,C 由 a 表示出来,再根据已知条件中 C ? B, 列出 a 应满足的关系,从而求出 a 的取值范围. ∵A={x|-2≤x≤a}≠ φ , ∴B={y|y=2x+3,x ∈ A}={y|-1≤y≤2a+3}, (1)当 a≥2 时,C={z|z=x2,x ∈ A }={z|0≤z≤a2},若 C ? B,则 a2≤2a+3,即 -1≤a≤3.∴2≤a≤3. (2)当-2≤a<2 时,C={z|z=x2,x ∈ A }={z|0≤z≤4},若 C ? B,则 4≤2a+3, 即 a≥

1 1 .∴ ≤a<2. 2 2 1 ≤a≤3. 2

综上所述,实数 a 的取值范围是 答案: 答案:

1 ≤a≤3. 2

16.设 f(x)=x2+px+q,B={x|f[f(x) x },A={x|x=f(x)}, ]= (1)求证:A ? B; (2)如果 A={-1,3},求 B. 解析: (1)设 x0 ∈ A,则 f(x0)=x0, 解析: ∴f[f(x0) f(x0)=x0. ]= ∴x0 ∈ B.∴A ? B. (2)如果 A={-1,3},则-1,3 是方程 x2+px+q=x 的两个根,由韦达定理可求 得 p=-1,q=-3, ∴f(x)=x2-x-3.而集合 B 是方程(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x 的根的集 合, 化简得(x2-x-3)2-x2=0,解得 B={-1,3, 3 ,- 3 }. 答案: (1)略; (2)B={-1,3, 3 ,- 3 }. 答案:
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17.已知集合 M={x|x=m+

1 n 1 p ,m ∈ Z},N={x|x= - ,n ∈ Z },P={x|x= + 6 2 3 2

1 ,p ∈ Z },试确定 M、N、P 之间满足的关系. 6 1 解析: 解析:集合 M={x|x=m+ ,m ∈ Z} 6 n 1 1 1 N={x|x= - ,n ∈ Z }={x|x=m- 或 x=m+ ,m∈ Z } 2 3 3 6 p 1 1 1 P={ x|x= + ,p ∈ Z }={x|x=m+ 或 x=m- ,m∈ Z }. 2 6 6 3
所以 M N=P. 答案: 答案:M N=P. 18.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x ∈ U|x2-5qx+4=0,q ∈ R}. (1)若 CuA=U,求 q 的取值范围; (2)若 CuA 中有四个元素,求 CuA 和 q 的值; (3)若 A 中仅有两个元素,求 CuA 和 q 的值. 解析: (1)∵CuA=U,∴A= φ ,那么方程 x2-5qx+4=0 的根 x≠1,2,3,4,5 或 解析: 无解.

4 13 25 x≠1 时,q≠1,x≠2,q≠ ;x≠3,4,5 时,q≠ ,1, . 5 15 29 4 4 若△<0,即- <q< 时,方程无实根,当然 A 中方程在全集 U 中无实根. 5 5 4 4 4 13 29 综上,q 的取值范围是{q|- <q< 或 q≠1, , , . 5 5 5 15 25
(2)因为 CuA 中有四个元素,所有 A 为单元集合,由上一问知

4 13 q= 时,A={2},CuA={1,3,4,5};q= 时,A={3},CuA={1,2,4,5}; 5 15 29 q= 时,A={5},CuA={1,2,3,4}. 25
(3)因为 A 为双元素集合,由(1)知 q=1 时,A={1,4},CuA={2,3,5}. 答案: (1){q|- 答案: 3,5}. 19.已知函数 f(x)=ax2-1,a ∈ R,x ∈ R,设集合 A={x|f(x)=x },集合 B={x|f [f(x)=x]},且 A=B≠ φ ,求实数 a 的取值范围.

4 4 4 13 29 <q< 或 q≠1, , , ; (2)略; (3)q=1,CuA={2, 5 5 5 15 25

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解析: 解析:由 A={x|f(x)=x }≠ φ ,得 a≥-

1 , 4

设 t ∈ A,则必有 t ∈ B,故 A ? B.又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 的实根,整 理得 a3x4-2a2x2-x+a-1=0. 由 A ? B 知,上式含有因子 ax2-x-1,由待定系数法可知上式可因式分解为(ax2-x -1) a2x2+ax-a+1) ( ,要使 A=B,必要求方程 a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为

ax2-x-1=0 的实根.
由△=a2-4a2(1-a)<0 得 a<

3 ,当△≥0 时, 4 1 .代入 ax2-x-1 2a

∵ax2=x+1,∴方程可化为 a(x+1)+ax-a+1=0,得 x=- =0,得 a=

3 1 3 .综上,得 a ∈ [- , ] . 4 4 4 1 3 . 答案: 答案:a ∈ [- , ] 4 4

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