nbhkdz.com冰点文库

第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5)

时间:2010-09-16


第四讲:数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一, 包含数学归纳法的定义和数学归纳 法证明基本步骤,用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一,在数 列推理能力的考查中占有重要的地位。 本讲主要复习数学归纳法的定义、 数学归纳法证明基本步骤、 用数学归纳法证明不等式 的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法,以及类比与猜想、抽象与概 括、从特殊到一般等数学思想方法。 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点: (1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也 就是要认清不等式的结构特征; (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3)活用起点的位置; (4)有的试题需要先作等价变换。 例题精讲 例 1、用数学归纳法证明

1

1 1 1 1 1 1 1 1 + ++ = + ++ 2 3 4 2 n 1 2n n + 1 n + 2 2n

分析:该命题意图:本题主要考查数学归纳法定义,证明基本步骤 证明:

1 1 1 1 1°当 n=1 时,左边=1- 2 = 2 ,右边= 1 + 1 = 2 ,所以等式成立。
2°假设当 n=k 时,等式成立,



1

1 1 1 1 1 1 1 1 + ++ = + ++ 2 3 4 2k 1 2k k + 1 k + 2 2k 。

那么,当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 1 + ++ + 2 3 4 2 k 1 2 k 2 k + 1 2k + 2 1 1 1 1 1 = + ++ + k +1 k + 2 2k 2 k + 1 2 k + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = + ++ + +( ) 2 3 4 k +2 k +3 2k 2 k + 1 k + 1 2 k + 2 1

=

1 1 1 1 1 + ++ + + k +2 k +3 2k 2k + 1 2(k + 1)

这就是说,当 n=k+1 时等式也成立。 综上所述,等式对任何自然数 n 都成立。 点评: 点评: 数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为 P(n)(1)证 . 明当 n 取第一个值 n0 时,结论正确,即验证 P(n0)正确; (2)假设 n=k(k∈N 且 k≥n0) 时结论正确,证明当 n=k+1 时, 结论也正确, 即由 P (k) 正确推出 P(k+1)正确, 根据 (1) ,

(2) ,就可以判定命题 P(n)对于从 n0 开始的所有自然数 n 都正确. 要证明的等式左边共 2n 项,而右边共 n 项。f(k)与 f(k+1)相比较,左边增加两项,右边增加

1 1 一项, 并且二者右边的首项也不一样, 因此在证明中采取了将 k + 1 与 2k + 2 合并的变形方
式,这是在分析了 f(k)与 f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。 练习: 练习: 1.用数学归纳法证明 3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 解析:由题意知 n≥3,∴应验证 n=3.答案:C 2.用数学归纳法证明 4
2n

+1 +3n+2 能被 13 整除,其中 n∈N

证明: × (1)当 n=1 时,42 1+1+31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时,42k+1+3k+2 能被 13 整除,则当 n=k+1 时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2 ) ∵42k+113 能被 13 整除,42k+1+3k+2 能被 13 整除 ∴当 n=k+1 时也成立. 由①②知,当 n∈N*时,42n+1+3n+2 能被 13 整除.

1 1 1 5 + ++ > , (n ≥ 2, n ∈ N * ) 3n 6 . 例 2、求证: n + 1 n + 2 、
分析: 分析:该命题意图:本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。 用数学归纳法证明,要完成两个步骤,这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析, 证明第二步是难点和关键,要充分利用归纳假设,做好命题从 n=k 到 n=k+1 的转化,这个 转化要求在变化过程中结构不变. 证明:

1 1 1 1 5 + + + > (1)当 n=2 时,右边= 3 4 5 6 6 ,不等式成立.
* (2)假设当 n = k ( k ≥ 2, k ∈ N ) 时命题成立,即

1 1 1 5 + ++ > k +1 k + 2 3k 6 .
则当 n = k + 1 时,

1 1 1 1 1 1 + ++ + + + ( k + 1) + 1 ( k + 1) + 2 3k 3k + 1 3k + 2 3( k + 1) 1 1 1 1 1 1 1 = + ++ +( + + ) k +1 k + 2 3k 3k + 1 3k + 2 3k + 3 k + 1 5 1 1 1 1 > +( + + ) 6 3k + 1 3k + 2 3k + 3 k + 1 5 1 1 1 1 > +( + + ) 6 3k + 3 3k + 3 3k + 3 k + 1 5 1 1 5 = + (3 × ) = . 6 3k + 3 k + 1 6
所以则当 n = k + 1 时,不等式也成立.
* 由(1)(2)可知,原不等式对一切 n ≥ 2, n ∈ N 均成立. ,

点评: 点评:本题在由 n = k 到 n = k + 1 时的推证过程中, (1) 一定要注意分析清楚命题的结构特征, 即由 n = k 到 n = k + 1 时不等式左端项数的增 减情况; (2)应用了放缩技巧:

1 1 1 1 1 1 1 1 + + > + + = 3× = . 3k + 1 3k + 2 3k + 3 3k + 3 3k + 3 3k + 3 3k + 3 k + 1 Sn = 1 + 1 1 1 + ++ , n ∈ N* 2 3 n ,

例 3、已知, 、

n S2n > 1 + (n ≥ 2, n ∈ N * ) 2 用数学归纳法证明: .
证明:

(1)当 n=2 时,

S 22 = 1 +

1 1 1 13 2 + + = 1+ > 1+ 2 3 4 12 2 ,∴命题成立.

* (2)假设当 n = k ( k ≥ 2, k ∈ N ) 时命题成立,即

S 2k = 1 +

1 1 1 k + ++ k > 1+ 2 3 2 2.

则当 n = k + 1 时,

S2k +1 = 1 +

1 1 1 1 1 1 + + + k + k + k + + k +1 2 3 2 2 +1 2 + 2 2

k 1 1 1 k 1 1 1 + k + k + + k +1 > 1 + + k +1 + k +1 + + k +1 2 2 +1 2 + 2 2 2 2 2 2 k 1 k 1 k +1 = 1 + + 2 k × k +1 = 1 + + = 1 + . 2 2 2 2 2 > 1+
所以则当 n = k + 1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式对一切 n ≥ 2, n ∈ N 均成立. ,
*

点评: 点评:本题在由 n = k 到 n = k + 1 时的推证过程中,

1 k +1 (1)不等式左端增加了 2 项,而不是只增加了“ 2 ”这一项,否则证题思路必然
k

受阻; (2)应用了放缩技巧:

1 1 1 1 1 1 1 1 + k + + k +1 > k +1 + k +1 + + k +1 = 2k × k +1 = . 2 +1 2 + 2 2 2 2 2 2 2
k

练习: 练习: 1、证明不等式:

分析 1、数学归纳法的基本步骤: 设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 1°P(n0)成立(奠基) 2°假设 P(k)成立(k≥n0),可以推出 P(k+1)成立(归纳),则 P(n)对一切大于等于 n0 的自然数 n 都成立. 2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题,除运用证明不等式的几种基本方法外,经 常使用的方法就是放缩法,针对目标,合理放缩,从而达到目标. 证明: (1)当 n=1 时,不等式成立. 证明: (2)假设 n=k 时,不等式成立,即

那么,

这就是说,n=k+1 时,不等式也成立. 根据(1) (2)可知不等式对 n∈N+都成立. 2.求证:用数学归纳法证明 2 + 2 > n
n 2

(n ∈ N * ) .

证明:
1 2 (1) 当 n=1 时, 2 + 2 > 1 ,不等式成立; 2 2 当 n=2 时, 2 + 2 > 2 ,不等式成立;

当 n=3 时, 2 + 2 > 3 ,不等式成立.
3 2 * k 2 (2)假设当 n = k ( k ≥ 3, k ∈ N ) 时不等式成立,即 2 + 2 > k .

则当 n = k + 1 时,

2 k +1 + 2 = 2(2 k + 2) 2 > 2k 2 2 = ( k + 1) 2 + k 2 2k 3 ,
2 (*) ∵ k ≥ 3 ,∴ k 2k 3 = ( k 3)( k + 1) ≥ 0 ,

从而 2 ∴2

k +1

+ 2 > ( k + 1) 2 + k 2 2k 3 ≥ ( k + 1) 2 ,

k +1

+ 2 > ( k + 1) 2 .

即当 n = k + 1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知, 2 + 2 > n 对一切 n ∈ N 都成立. ,
n 2 *

点评: 因为在(*)处,当 k ≥ 3 时才成立,故起点只证 n=1 还不够,因此我们需注意命题 的递推关系式中起点位置的推移.

3.求证: e

2m

> 3m ,其中 m > 1 ,且 m ∈ N .

分析:此题是 2004 年广东高考数学试卷第 21 题的适当变形,有两种证法 证法一:用数学归纳法证明.
4 4 (1)当 m=2 时, e > 2 > 3 × 2 ,不等式成立. * 2k (2)假设 m = k ( k ≥ 2, k ∈ N ) 时,有 e > 3k ,

则 e

2( k +1)

= e 2 k e 2 > 3k e 2 > 6k ,

∵ k ≥ 2 ,∴ 6k 3( k + 1) = 3k 3 > 0 ,即 6k > 3( k + 1) . 从而 e
2( k +1)

> 6k > 3( k + 1) ,
即 m = k + 1 时,亦有 e
2m

> 3m .


由(1)和(2)知,对 m > 1, m ∈ N 都成立. 证法二:作差、放缩,然后利用二项展开式和放缩法证明.

e 2 m 3m > (1 + 1)2 m 3m
0 1 2 > C2 m + C2 m + C2 m 3m

2m(2m 1) 3m 2 > 1 + 2m + m 3m = 1 + 2m + >0
∴当 m > 1 ,且 m ∈ N 时, e


( m > 1 2m 1 > 1)

2m

> 3m .

(2005 年江西省高考理科数学第 21 题第(1)小题,本小题满分 12 分) 例 4、 、

{a } 已知数列 n 的各项都是正数, 且满足 :
证明

a 0 = 1, a n +1 =

1 a n , ( 4 a n ), n ∈ N . 2

a n < a n +1 < 2, n ∈ N ; {a n } 的通项公式 a .
n

求数列

分析: 加强了数列推理能力的考查。 对数列进行了考查, 分析 近年来高考对于数学归纳法的考查, 和数学归纳法一起,成为压轴题。 解: (1)方法一 用数学归纳法证明:

1°当 n=1 时,

a 0 = 1, a1 =

1 3 a 0 (4 a0 ) = , 2 2



a 0 < a1 < 2 ,命题正确.

2°假设 n=k 时有

a k 1 < a k < 2.
1 1 ak 1 (4 ak 1 ) ak (4 ak ) 2 2



n = k + 1时, ak ak +1 =

1 1 = 2(ak 1 ak ) (ak 1 ak )(ak 1 + ak ) = (ak 1 ak )(4 ak 1 ak ). 2 2


ak 1 ak < 0,

4 ak 1 ak > 0,

∴ ak ak 1 < 0.



ak +1 =

1 1 ak (4 ak ) = [4 ( ak 2) 2 ] < 2. 2 2

∴ n = k + 1 时命题正确. 由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 方法二:用数学归纳法证明:

a n < a n +1 < 2.

1°当 n=1 时,

a 0 = 1, a1 =

1 3 a 0 (4 a0 ) = , 0 < a < a < 2 0 1 2 2 ∴ ;

2°假设 n=k 时有

a k 1 < a k < 2 成立,



f ( x) =

1 x(4 x) 2 , f (x ) 在[0,2]上单调递增,

所以由假设有:

f (a k 1 ) < f (a k ) < f (2),

1 1 1 a k 1 ( 4 a k 1 ) < a k ( 4 a k ) < × 2 × ( 4 2), 2 2 即2
也即当 n=k+1 时 所以对一切

a k < a k +1 < 2 成立,

n ∈ N , 有a k < a k +1 < 2 .
a n +1 = 1 1 a n ( 4 a n ) = [ ( a n 2) 2 + 4], 2 2

(2)下面来求数列的通项: 所以

2( a n +1 2) = ( a n 2) 2


令bn = an 2,

2 n 1 n 1 2 1 1 2 1 1 1 bn = bn 1 = ( bn 2 ) 2 = ( ) 2 bn21 = = ( )1+ 2++ 2 bn2 2 2 2 2 2 2

1 n bn = ( ) 2 1 , 2 又 bn=-1,所以 1 n 即an = 2 + bn = 2 ( ) 2 1 2 .
点评: 点评: 本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明,所不同的是:方法一采用了作差比较法;方 法二利用了函数的单调性.

本题也可先求出第(2)问,即数列

{a n }

1 n an = 2 ( ) 2 1 2 的通项公式 ,然后利用函数

1 x f ( x ) = 2 ( ) 2 1 2 的单调性和有界性,来证明第(1)问的不等式.但若这样做,则无形
当中加大了第(1)问的难度,显然不如用数学归纳法证明来得简捷. 练习: 练习: 1.试证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、c 互不相等 时,均有:an+cn>2bn. 分析:该命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,考查的知识包括等差数列、等比 数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0 恒成立(a、b、c 为正数),从而 ak+1+ck+1 >akc+cka.

b 证明:(1)设 a、b、c 为等比数列,a= q ,c=bq(q>0 且 q≠1)

bn 1 n n ∴an+cn= q +bnqn=bn( q +qn)>2bn
an + cn a+c 2 >( 2 )n(n≥2 且 n∈N*) (2)设 a、b、c 为等差数列,则 2b=a+c 猜想
下面用数学归纳法证明:

a2 + c2 a+c 2 >( ) 2 2 2 2 2 ①当 n=2 时,由 2(a +c )>(a+c) ,∴ a k + ck a+c k >( ) , 2 2 ②设 n=k 时成立,即 a k +1 + c k +1 1 = 2 4 (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 则当 n=k+1 时, 1 1 4 (ak+1+ck+1+akc+cka)= 4 (ak+ck)(a+c) > a+c a+c a+c >( 2 )k( 2 )=( 2 )k+1
根据①、②可知不等式对 n>1,n∈N*都成立. 二.基础训练 基础训练

一、选择题 1.已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除. 证明:n=1,2 时,由上得证,设 n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除,则 n=k+1 时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1 -(2k+7)3k =(6k+27)3k-(2k+7)3k - =(4k+20)3k=36(k+5)3k 2 (k≥2) f(k+1)能被 36 整除 ∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴所求最大的 m 值等于 36. 答案:C 二、填空题

1+
2.观察下列式子:

1 3 1 1 5 1 1 1 7 < ,1 + 2 + 2 < ,1 + 2 + 2 + 2 < 2 2 3 4 …则可归纳出_________. 2 3 2 3 4

1+
解析:

1 3 1 2 ×1 + 1 < 即1 + < 2 2 2 1+1 2 (1 + 1)

1+

1 1 5 1 1 2× 2 +1 + 2 < ,即1 + + < 2 2 2 3 2 +1 2 3 (1 + 1) (2 + 1) 1 1 1 2n + 1 + 2 ++ < 2 2 n + 1 (n∈N*) 2 3 (n + 1)

归纳为1 +

答案 : 1 +

1 1 1 2n + 1 + 2 ++ < 2 2 n + 1 (n∈N*) 2 3 (n + 1)

3a n 1 a + 3 ,则 a ,a ,a ,a 的值分别为_________,由此猜想 a =_________. 3.已知 a1= 2 ,an+1= n 2 3 4 5 n

1 3× 3a1 2 = 3 = 3 同理, 3.解析 : a2 = = a1 + 3 1 + 3 7 2 + 5 2 3a2 3 3 3 3 3 3 3 a3 = = = = , a4 = = , a5 = , 猜想an = a2 + 3 8 3 + 5 9 4+5 10 5 + 5 n+5
3 3 3 3 答案 : 、 、 、 7 8 9 10 3 n=5

三、解答题

1 1 1 13 + + + > 2n 24 . 4.若 n 为大于 1 的自然数,求证: n + 1 n + 2
证明:(1)当 n=2 时,

1 1 7 13 + = > 2 + 1 2 + 2 12 24 1 1 1 13 (2)假设当 n=k 时成立,即 + ++ > k +1 k + 2 2k 24 1 1 1 1 1 1 1 则当n = k + 1时, + ++ + + + k +2 k +3 2 k 2k + 1 2 k + 2 k + 1 k + 1 13 1 1 1 13 1 1 > + + = + 24 2k + 1 2k + 2 k + 1 24 2k + 1 2k + 2 13 1 13 = + > 24 2( 2k + 1)(k + 1) 24

1 1 1 13 + + + > 2n 24 所以:对于 n∈N ,且 n>1 时,有 n + 1 n + 2
*

5.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式 bn;

1 b (2)设数列{an}的通项 an=loga(1+ n )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比较 1 Sn 与 3 logabn+1 的大小,并证明你的结论.

b1 = 1 b = 1 1 10(10 1) d = 145 d = 3 10b1 + 2 (1)解:设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ,∴bn=3n-2
(2)证明:由 bn=3n-2 知

1 1 Sn=loga(1+1)+loga(1+ 4 )+…+loga(1+ 3n 2 ) 1 1 =loga[(1+1)(1+ 4 )…(1+ 3n 2 )] 1 1 1 3 logabn+1=loga 3 3n + 1 , 于是,比较 Sn 与 3 logabn+1 的大小 比 较(1+1)(1+ 4 ) … 而

1 3 (1+ 3n 2 )与 3n + 1 的大小.
3 3 3 取 n=1,有(1+1)= 8 > 4 = 3 1 + 1

1 3 ) > 8 > 3 7 = 3 3× 2 +1 4 取 n=2,有(1+1)(1+ 1 1 3 * 推测:(1+1)(1+ 4 )…(1+ 3n 2 )> 3n + 1 ( )
①当 n=1 时,已验证( )式成立.
*

1 1 3 * ②假设 n=k(k≥1)时( )式成立,即(1+1)(1+ 4 )…(1+ 3k 2 )> 3k + 1
1 1 1 1 (1 + 1)(1 + )(1 + )(1 + ) > 3 3k + 1(1 + ) 4 3k 2 3(k + 1) 2 3k + 1 则当 n=k+1 时, = 3k + 2 3 3k + 1 3k + 1

∵(

3k + 2 3 3k + 1) 3 (3 3k + 4 ) 3 3k + 1 (3k + 2) 3 (3k + 4)(3k + 1) 2 9k + 4 = = >0 2 (3k + 1) (3k + 1) 2
3



3k + 1 (3k + 2) > 3 3k + 4 = 3 3(k + 1) + 1 3k + 1

1 1 1 )(1 + 从而(1 + 1)(1 + )(1 + ) > 3 3( k + 1) + 1 * 4 3k 2 3k 1 ,即当 n=k+1 时,( )式成立
由①②知,( )式对任意正整数 n 都成立.
*

1 1 3 logabn+1 ,当 0<a<1 时,Sn< 3 logabn+1 于是,当 a>1 时,Sn>

lim 6.设实数 q 满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,anan+1=-qn,求 an 表达式,又如果 n →∞ S2n
<3,求 q 的取值范围. 解:∵a1a2=-q,a1=2,a2≠0,

9 ∴q≠0,a2=- 2 ,
∵anan+1=-q ,an+1an+2=-q
n n+1

an 1 = a q ,即 a =qa 两式相除,得 n + 2 n+2 n 1 n 于是,a1=2,a3=2q,a5=2q …猜想:a2n+1=- 2 q (n=1,2,3,…)
n

2 q k 1 n = 2k 1时(k ∈ N ) 1 k q n = 2k时(k ∈ N ) 综合①②,猜想通项公式为 an= 2
下证:(1)当 n=1,2 时猜想成立 k-1 (2)设 n=2k-1 时,a2k-1=2q 则 n=2k+1 时,由于 a2k+1=qa2k-1 k ∴a2k+1=2q 即 n=2k-1 成立. 可推知 n=2k+1 也成立.

1 k 设 n=2k 时,a2k=- 2 q ,则 n=2k+2 时,由于 a2k+2=qa2k , 1 k 所以 a2k+2=- 2 q +1,这说明 n=2k 成立,可推知 n=2k+2 也成立.
综上所述,对一切自然数 n,猜想都成立.

2 q k 1 当n = 2k 1时(k ∈ N ) 1 k q 当n = 2k时(k ∈ N ) 这样所求通项公式为 an= 2

S2n=(a1+a3…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
1 2 n =2(1+q+q +…+q )- 2 (q+q +…+q )
2

n-1

=

2(1 q n ) 1 q (1 q n ) 1 q n 4 q =( )( ) 1 q 2 (1 q) 1 q 2
n

1 qn 4 q lim q = 0, 故 lim S 2 n 1 q )( 2 ) n →∞ n →∞ 由于|q|<1,∴ = (
4q 2 依题意知 2(1 q ) <3,并注意 1-q>0,|q|<1 解得-1<q<0 或 0<q< 5

巩固练习 三.巩固练习 巩固 1. (06 年湖南卷. 理 .19 本小题满分 14 分)

a 0 < a1 < 1, an +1 = f (an ), n = 1, 2,3,. 已知函数 f ( x ) = x sin x ,数列{ n }满足: 0 < an +1 < an < 1 ;(ⅱ)
an +1 < 1 3 an 6 .
,n=1,2,3,…

证明:(ⅰ)

证明: (I) .先用数学归纳法证明

0 < an < 1

(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立.

(ii).假设当 n=k 时结论成立,即

0 < ak < 1

.因为 0<x<1 时

f ' ( x) = 1 cos x > 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数. 又 f(x)在[0,1]上连续,
从而

f (0) < f (ak ) < f (1), 即0 < ak +1 < 1 sin1 < 1 0 < an < 1
对一切正整数都成立.

.故 n=k+1 时,结论成立.

由(i)、(ii)可知,

又因为 0 < an < 1 时, an+1 an = an sin an an = sin an < 0 , 所以 an+1 < an ,综上所述 0 < an+1 < an < 1 .

1 g ( x) = sin x x + x 3 6 , 0 < x < 1 .由(I)知,当 0 < x < 1 时, sin x < x , (II) .设函数

x2 x2 x 2 x2 2 x > 2( ) + = 0. g ( x) = cos x 1 + = 2 sin + 2 2 2 2 2 从而
'

所以 g (x)在(0,1)上是增函数. 又 g (x)在[0,1]上连续,且 g (0)=0,

1 g (an ) > 0, 即 sin an an + an 3 > 0 6 所以当 0 < x < 1 时,g (x)>0 成立.于是 . an +1 < 1 3 an 6 .



点评: 点评:不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇,综合考查运用不 等式知识解决 问题的能力, 在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分 支的数学知识. 2. ( 05 年辽宁卷.19 本小题满分 12 分)

已 知函 数

f ( x) =

x+3 ( x ≠ 1). {a a = 1, a n +1 = f ( a n ) {b x +1 设 数列 n }满 足 1 , 数 列 n }满 足

bn =| a n 3 |, S n = b1 + b2 + + bn (n ∈ N * ).
( 3 1) n bn ≤ 2 n 1 ; (Ⅰ)用数学归纳法证明 Sn < 2 3 . 3

(Ⅱ)证明

分析: 分析:本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识,考查运用数学归纳法解决有关 问题的能力

(Ⅰ)证明:当 所以

x ≥ 0时, f ( x ) = 1 +

2 ≥ 1. x +1

因为 a1=1,

a n ≥ 1(n ∈ N *).
bn ≤ ( 3 1) n . 2 n 1

下面用数学归纳法证明不等式

(1)当 n=1 时,b1= 3 1 ,不等式成立,

(2)假设当 n=k 时,不等式成立,即

bk ≤

( 3 1) k . 2 k 1

bk 1 =| a k +1 3 |=
那么

( 3 1) | a k 3 | 1 + ak



3 1 ( 3 1) k +1 bk ≤ . 2 2k

所以,当 n=k+1 时,不等也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立。

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,

bn ≤

( 3 1) n . 2 n 1 ( 3 1) 2 ( 3 1) n ++ 2 2 n 1

所以

S n = b1 + b2 + + bn ≤ ( 3 1) +

3 1 n ) 1 2 2 = ( 3 1) < ( 3 1) = 3. 3 1 3 1 3 1 1 2 2 1 ( n ∈ N , Sn <

故对任意

2 3. 3 )

3.(05 年湖北卷.理 22.本小题满分 14 分) 已知不等式

1 1 1 1 + + + > [log 2 n], 其中n 为大于 2 的整数, [log 2 n] 表示不超过 2 3 n 2
设 数 列 {a n } 的 各 项 为 正 , 且 满 足

log 2 n 的 最 大 整 数 .
a1 = b(b > 0), a n ≤

na n 1 , n = 2,3,4, n + a n 1

(Ⅰ)证明 a n <

2b , n = 3,4,5, 2 + b[log 2 n]

; (Ⅱ)猜测数列 {a n } 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) 分析: 分析:本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

n ≥ 2时,0 < a n ≤
(Ⅰ)证法 1:∵当

nan 1 1 n + a n 1 1 1 ,∴ ≥ = + , n + a n 1 an na n 1 a n 1 n

1 1 1 ≥ , a a n 1 n 即 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ , ≥ ,, ≥ . a 2 a1 2 a 3 a 2 3 a n a n 1 n 1 1 1 1 1 ≥ + ++ . a n a1 2 3 n

于是有

所有不等式两边相加可得

1 1 1 > [log 2 n]. a a1 2 由已知不等式知,当 n≥3 时有, n

a1 = b,∴


2 + b[log 2 n] 1 1 1 > + [log 2 n] = . an b 2 2b

an <

2b . 2 + b[log 2 n]

证法 2:设

f ( n) =

1 1 1 + ++ 2 3 n ,首先利用数学归纳法证不等式

an ≤

b , n = 3,4,5, . 1 + f ( n )b a3 ≤ 3a 2 3 3 b = ≤ = . 3 2 + a1 3 + a2 1 + f (3)b +1 3 +1 a2 2a1

(i)当 n=3 时, 由 知不等式成立.

ak ≤
(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即

b , 1 + f ( k )b

a k +1 ≤


( k + 1)a k k +1 k +1 = ≤ 1 + f ( k )b ( k + 1) + a k ( k + 1) + 1 ( k + 1) +1 ak b

=

(k + 1)b = (k + 1) + (k + 1) f (k )b + b

b 1 + ( f (k ) + 1 )b k +1

=

b , 1 + f (k + 1)b

即当 n=k+1 时,不等式也成立.

an ≤
由(i)(ii)知, 、

b , n = 3,4,5, . 1 + f (n)b
b 1 1 + [log 2 n]b 2 = 2b , n = 3,4,5, . 2 + b[log 2 n]

an <
又由已知不等式得 (Ⅱ)有极限,且 n →∞

lim a n = 0.

2b 2 2 1 < ,令 < , 2 + b[log 2 n] [log 2 n] [log 2 n] 5 (Ⅲ)∵
10 则有 log 2 n ≥ [log 2 n] > 10, n > 2 = 1024,

1 an < . 5 故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有


赞助商链接

2016-2017学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式高效...

2016-2017学年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式高效整合新人教A版选修4-5讲义_数学_高中教育_教育专区。第四讲 数学归纳法证明不等式 一、选择题(本大题共 ...

选修4-5第四讲《数学归纳法证明不等式》_图文

选修4-5第四讲《数学归纳法证明不等式》 - 学科教师辅导讲义 讲义编号: 学员编号: 学员姓名: 课题年级: 辅导科目: 数学 课时数: 3 课时 学科教师: 数学归纳...

...版选修4-5习题:第四讲4.2用数学归纳法证明不等式含...

高中数学人教选修4-5习题:第四讲4.2用数学归纳法证明不等式含答案_数学_高中教育_教育专区。第四讲 4.2 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 A级 ...

...人教A版选修4-5导学案4.2用数学归纳法证明不等式举...

高中数学人教A版选修4-5导学案4.2用数学归纳法证明不等式举例 - 4.2 教学目标: 用数学归纳法证明不等式 1、了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导, 2、...

....2数学归纳法证明不等式(2)学案 新人教A版选修4-5

高二数学 §4.1.2数学归纳法证明不等式(2)学案 新人教A版选修4-5_数学_高中...高中数学 第四讲 数学归... 暂无评价 5页 ¥18.00 数学归纳法证明不等...

...人教B版数学选修4-5 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝...

2016新课标三维人教B版数学选修4-5 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016新课标三维人教B版数学选修4-5 3.2 用...

数学归纳法与贝努利不等式(选修4-5)

数学归纳法与贝努利不等式(选修4-5)_数学_高中教育...最新人教版高中数学选修... 暂无评价 1页 ¥2...第四讲《数学归纳法证明... 暂无评价 7页 免费 ...

高中数学4.2.1数学归纳法证明不等式(1)同步练习【精选...

高中数学4.2.1数学归纳法证明不等式(1)同步练习【精选】新人教版选修45 - 选修 4-5 练习 n §4.1.1 数学归纳法证明不等式( 1) 1、已知 f(n)=(2n+7)...