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一元二次方程概念17.1

时间:2018-03-06


第17章 一元二次方程
17.1 一元二次方程

复习引入
1.你还记得什么叫方程?什么叫方程的解吗?
2.什么是一元一次方程?它的一般形式是怎样的?

一般形式:ax+b=0 (a≠0)
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的

一些实际问题,你还记得利用一元一次方程解决实
际问题的步骤吗? ◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.

合作探究
活动1:探究列一元二次方程及其一般形式 从而2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一翻,那

问题1:某地为增加农民收入,调整农作物种植结构,

么2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率
应是多少? 思考:

方程

1.根据以往的经验,你想用什么知识来解决这个实 际问题?

2.如图:如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2005年 的产量为a,那么2006年无公害蔬菜产量为 a+ax=a(1+x) ,

? 2007年无公害蔬菜产量为

a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2 .

3.你能根据题意,列出方程吗?

a(1+x)2=2a
把以上方程整理得: x2+2x-1=0 (1) .

问题2: 在一块宽20m、长32m的矩形空地上,修 筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向

与横向垂直),把矩形空地分成大小一样的六块,
建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2,问小

路的宽应为多少?

20
32

x

思考:
1.若设小路的宽是xm,那么
20 32

x

横向小路的面______m 32x 2,纵 向小路的面积是 2×20x m2, 两者重叠的面积是 2x2 m2.

2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意,列出方程吗?

32×20-(32x+2×20x)+2x2=570
整理以上方程可得:x2-36x+35=0 (2)

还有其它的列法吗?试说明原因.
32-2x

(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32

类比发现,探索新知

能使一元二次方

1.请观察下面两个方程并回答问题: 程两边相等的未 x2+2x-1=0 x2-36x+35=0 知数的值叫一元 (1)它们是一元一次方程吗?
二次方程的解 (或根).

(2)与一元一次方程有何异同?

(3)通过比较你能归纳出这类方程的特点吗?

特点:

1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2

(4)通过与一元一次方程的对比,你能给这类方程取个合 理的名字吗? 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
2 ax ? bx ? c ? 0 化为 ax ? bx ? c ? 0 的形式,我们把
2

(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式.
想一想
为什么要限制a≠0,b,c可以为零吗?

a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数

一次项系数

2.做一做:

(1)列表填空:
方程 4x2=3x 4x2-3x=0 (x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2 ) x2-2x-8=0 x2-x-6=0 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项

4 1 1

-3 -2 -1

0 -8 -6

(2)下列方程中哪些是一元二次方程,并说明
理由?

x+2=5x-3
2x2-4=(x+2)2

x2=4

1 ? 10 x ? 900 ? 0 2 x

(3)方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一

元二次方程?

通过以上习题的练习的情况,你认为在确定一元二次方程 的各项系数及常数项的时候,需要注意哪些? (1)在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常 数项时必须把方程化为一般形式才能进行. (2)二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面

的符号.
(3)二次项系数a≠0.

活动2:探究一元二次方程的根

判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x
的根. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元 二次方程的解(或根).

1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根: x2-3x+2=0 (x1=1, x2=2 ,x3=3)

2.构造一个一元二次方程,要求:
(1)常数项为零;(2)有一根为2.

3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3, 求a的值. 解:由题意得

把x=3代入方程x2+ax+a=0得,
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9

9 ?a ? ? 4

4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1,
求a+b+c的值. 解:由题意得

a ? 12 ? b ? 1 ? c ? 0
即a ? b ? c ? 0

思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 一个根吗? 解:由题意得

a?b?c ? 0
即a ? 12 ? b ? 1 ? c ? 0

∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.

拓展:若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求出方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?

课堂小结
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 ? bx ? c ? 0 的形式,我们把

ax 2 ? bx ? c ? 0

(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解(或根).


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