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【数学】2011年最新高考+最新模拟——数列

时间:2011-10-18


年最新高考+最新模拟—— ——数列 2011 年最新高考+最新模拟——数列

1.【2010?浙江理数】设 (A)11 【答案】D (B)5 (C)

为等比数列 (D)

的前 项和,

,则

【解析】解析:通过 ,设公比为 ,将该式转化为 ,解 得 =-2,带入所求式可知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的 通项公式与前 n 项和公式,属中档题 2.【2010?全国卷 2 理数】如果等差数列 中, ,那么

(A)14 【答案】C

(B)21

(C)28

(D)35

【解析】 3.【2010?辽宁文数】设 ,则公比 (A)3 【答案】B (B)4 (C)5 (D)6 为等比数列 的前 项和,已知 ,

【解析】两式相减得,


1

.

4. 【2010?辽宁理数】设{an}是有正数组成的等比数列, a2a4=1, ,则

为其前 n 项和。已知

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】 解析】 a2a4=1 可得 B 【 由

, 因此

, 又因为



联力两式有

,所以 q=

,所以 中, + +

,故选 B。 =12,那么 + +???…

5.【2010?全国卷 2 文数】如果等差数列 + = (B) 21 (C) 28

(A)14 【答案】C

(D) 35

【解析】∵ ∵

,∴ 中, ( D. , ) =4,函数

6. 【2010?江西理数】等比数列 ,则 A. 【答案】C B. C.

【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应 用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 函数 的一次项有关;得:
2

只与



7.【2010?江西理数】





A.

B.

C. 2

D. 不存在

【答案】B 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。

8.【2010?安徽文数】设数列 (A) 15 【答案】A 【解析】 (B)

的前 n 项和 16 (C)

,则 49

的值为(



(D)64

. 中, ,则 (B)6 (D)10 的值为( )

9. 【2010?重庆文数】在等差数列 (A)5 (C)8 【答案】A 【解析】由角标性质得

,所以

=5

10. 【2010?浙江文数】设 (A)-11 (B)-8

为等比数列

的前 n 项和,



3

(C)5 【答案】A

(D)11

【解析】通过 ,设公比为 ,将该式转化为 ,解得 =-2, 带入所求式可知答案选 A, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与 前 n 项和公式 11. 【2010?重庆理数】在等比数列 A. 2 【答案】A B. 3 C. 4 D. 8 中, ,则公比 q 的值为( )

【解析】 12.【2010?北京理数】在等比数列 则 m=( (A)9 【答案】C ) (B)10 (C)11 (D)12 中, ,公比 .若 ,

13.【2010?四川理数】已知数列 ,则

的首项

,其前 项的和为

,且

(A)0 【答案】B 【解析】由

( B)

( C) 1

(D)2

,且
4

作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 故{an}是公比为 2 的等比数列 ? a2=2a1

Sn=a1+2a1+22a1+……+2n-1a1=(2n-1)a1

则 14. 【2010?天津理数】已知 是首项为 1 的等比数列, 是 的前 n 项和,



,则数列

的前 5 项和为(



(A)

或5

(B)

或5

(C)

(D)

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然 q 1,所以 ,所以 是首项为 1,公比为

的等比数列, 前 5 项和 15. 【2010?广东理数】 已知

. 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 =( C.31 ) D.29 ,



与2

的等差中项为 B.33

,则

A.35

5

【答案】C 【解析】 设{ 由 与2 }的公比为 , 则由等比数列的性质知, 知, , , 即 。

的等差中项为





,即



,即



16.【2010?全国卷 1 文数】已知各项均为正数的等比数列{ =10,则 (A) 【答案】A 【解析】 由等比数列的性质知 所以 , , =( (B) 7 ) (C) 6 (D)

},

=5,

10,

所以

17.【2010?湖北文数】已知等比数列{ 等差数列,则 A. B. C.

}中,各项都是正数,且





D

6

18. 【2010?安徽理数】设 项和分别为

是任意等比数列,它的前 项和,前 )

项和与前

,则下列等式中恒成立的是(

A、

B、

C、

D、

【答案】D 【解析】 取等比数列 ,令 得 代入验算, 只有选项 D 满足。

对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能 排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字 验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论.

19. 【2010?福建理数】设等差数列 则当 取最小值时,n 等于( B.7 )

的前 n 项和为

,若

,

,

A.6 【答案】A

C.8

D.9 , 解得 ,所以当 时, ,

【解析】 设该数列的公差为 , 则 所以
7

取最小值。

20. 【2010· 大连市三月双基测试卷】 若数列 则下列关于数列 A. C. 的说法正确的是 ( B. )

的前 项和为



一定是等差数列 时, 是等差数列

从第二项开始构成等差数列

D.不能确定其为等差数列

【答案】A 【解析】 依题意, n≥2 时, 当 由 , 得 一定是等差数列,选择 A 则

,当 n=1 时,a1=a+1,适合上式,所以 21.【2010·茂名市二模】在等差数列 = ( ) A.19 【答案】B B.20 中,已知

C.21

D.22

【解析】依题意,设公差为 d,则由 所以 n=20,选择 B



,所以 1+2(n-1)=39,

22.【2010·北京宣武一模】若 则 的值为( )

为等差数列,

是其前 项和,且



A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】由 选择 B
8

,可得

,∴



=



23.【2010·蚌埠市三检】等差数列 的值是( ) A.14 【答案】C 【解析】依题意,由 ,得 ,所以 B.15 C.16 D.17

,选择 C 24.【2010·福建省宁德三县市一中第二次联考】已知等比数列 为 ,则 ( ) 的前三项依次

A. 【答案】C

B.

C.

D.

【解析】依题意,(a+1)2=(a-1)(a+4),所以 a=5,等比数列 q=,所以 ,选择 C;

首项 a1=4,公比

25. 【2010· 北京丰台一模】 已知整数以按如下规律排成一列: 、 A. 【答案】C 【解析】 , B. , , C. , , , ……, 则第 D.





、 )

个数对是 (

9

根据题中规律,有 第 项,因此第

为第 项, 项为 .

为第 2 项,

为第 4 项,…,



26.【2010·北京市海淀区第二学期期中练习】已知等差数列 1, ,则该等差数列的公差为 A.3 或 【答案】C B.3 或 C.3 D.-3 ( )

,等比数列 3,

【解析】依题意得 1+b=2a,(a+2) =3(b+5),联立解得 a= -2, b= -5(舍)或 a=4, b=7,所以,则该等差数列的公差为 3,选择 C;

2

27.【2010·北京顺义区二模】已知等比数列 则 ( ) A. 5 B. 6 C. 7

中,







D.

8

【答案】C

【解析】依题意,设公比为 q,则由 解得 选择 C;



,得 q=





10

28. 【2010· 石家庄市教学质量检测 (二) 已知等比数列 】 则 等于( A.128 【答案】C 【解析】 依题意, 设 =256,选择 C 公比为 q, 则由 ) B.16 C.256

满足



D.64

得, =16, q 所以

8

29.【2010 武汉市四月调研】已知等差数列 ( )

=

A. 【答案】B

B.

C.—3

D.6

【解析】依题意,设首项为 a1,公差为 d,则 选择 B 30.【2010·河北隆尧一中五月模拟】等差数列 ,则 A.-11 【答案】A B.11 =( ) C.10 中,

,解得





是其前 项和,

D.-10

11

【解析】

,得 , ,选 A。 ,

,由

,得 ,

31.【2010·北京海淀一模】已知等差数列 等差数列的公差为( ) A. 或 【答案】C B. 或 C. D.

,等比数列

,则该

【解析】

,解得

.因此该等差数列的公差为 . 中, , , 成

32.【2010·广东省四月调研模拟】公差不为零的等差数列 ) 等比数列,则其公比 为( A.1 【答案】 C 【解析】∵等差数列 中 , , 成等比数列,∴ B.2 C.3

D.4

,即

, ∵公差不为零,∴ ,∴所求公比

33.【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】在等比数列{an}中,已知 a3= ,a9 =8,则 a5·a6·a7 的值为 ( ) A.±8 B.-8 C. 8 D.64

12

【答案】A 【解析】因为{an}为等比数列,则 a62=a5·a7=a3·a9=4,所以 a6=±2,a5·a6·a7 =±8,故选 A. 34.【2010·哈尔滨市第九中学第三次模拟】在等比数列中,已知 则 A. 的值为( B. ) C. D. ,

【答案】B

【解析】依题意,由





,选择 B 的前 n 项和为 ,若 ( )

35.【2010·河北隆尧一中四月模拟】已知等差数列

, A、 C 三点共线 且 B、 (该直线不过原点) 则 , A. 2009 【答案】C B. 2010 C. -2009 D. -2010

【解析】





,得

。 ,

36. 2010· 【 邯郸市二模】 设 则 A. 【答案】B B.

为等差数列, 为其前 项和, 且

C.

D.

13

【解析】 依题意, 由 选择 B 37.【2010·南宁市二模】设数列 的前 n 项和,则( ) A. 【答案】C B.





是等差数列,且 a2=-8, a15=5, Sn 是数列

C.

D.

【解析】设公差为 d,则 d= ,所以 an=n-10,因此 选择 C; 38.【2010·抚州市四月质检】等比数列 数列,则 的公比 等于 ( )

是前 n 项和中的最小值,

的前 项和为

,若

成等差

【答案】C

【解析】依题意,由 选择 C



,解得



39. 【2010·北京东城一模】已知数列 项和为 A. 【答案】C ,则使

的通项公式 ) D.

,设其前

成立的最小自然数 等于( B. C.

14

【解析】 .

,解得

40.【2010·青岛市二摸】已知在等比数列 数列 的公比 的值为

中,

,则等比

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】依题意,设公比为 q,由于 41.【2010 重庆八中第一次月考】在等差数列 ,则 A. 【答案】B 【解析】 依题意, 9+2×18=45,选择 B , , B. ( C. ) D. 中,

,所以 q3= =,q=,选择 B ,

构成等差数列, 所以

42.【2010·宁波市二模】等比数列的首项为 ,项数是偶数,所有的奇数项之和 为 ,所有的偶数项之和为 (B) ,则这个等比数列的项数为 (C) (D) ( )

(A) 【答案】C

【解析】设等比数列项数为 2n 项,所有奇数项之和为 S 奇,所有偶数项之和为 S 偶, 则 S 奇=85,S 偶=170,所以 q=2,因此,解得 n=4,这个等比数列的项数为 ,选择 C

15

43.【2010·成都石室中学高三“三诊”模拟考试】设等差数列 为 A.63 【答案】B 【解析】依题意,S3,S6-S3,S9-S6 也构成等差数列,所以 ×18=45,选择 B; 44. 2010· 【 拉萨中学第七次月考】 等差数列{an}的公差不为零, 首项 的等比中项,则数列{an}的前 10 项之和是 ( ) A.90 【答案】B B.100 C.145 D.190 则 B.45 = C.36 ( ) D.27

的前 n 项和

= S9-S6=9+2

【解析】依题意,设等差数列公差为 d(d≠0),则(1+d)2=1+4d,解得 d=2,所 以 S10==100,选择 B;

45. 【2010· 河北唐山一中三月月考】 用数学归纳法证明 “ ”时,由 ( A. 【答案】B ) B. C. +1 D. -1 不等式成立推证

, ,左边应增加的项数是

【解析】增加的项数为



16

46.【2010·河南郑州市二模】一个 n 层台阶,若每次可上一层或两层,设所有 不同上法的总数为 A. B. ,则下列猜想中正确的是( )

C. 【答案】D 【解析】当 时,

D.

,当

时,

,当 ,故选 D.

时,由于每次只能上

一层或者两层,因此

47. 【2010?辽宁文数】设 。 【答案】15

为等差数列

的前 项和,若

,则

【解析】

,解得



48. 【2010?辽宁理数】已知数列 __________.

满足



的最小值为

【答案】 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n

17

所以



,令

,则



上是单调递增,在 有最小值。

上是递减的,因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时

又因为



,所以,

的最小值为

49. 【2010?浙江文数】在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 【答案】 50.【2010?天津文数】设{an}是等比数列,公比 设 【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用, 属于中等题。 为数列{ }的最大项,则 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 = 。

因为 取等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 51. 【2010?湖南理数】若数列 使得 成立,记这样的

≧8,当且仅当

=4,即 n=4 时

满足:对任意的

,只有有限个正整数 .例如,

的个数为

,则得到一个新数列

18

若数列 ,

是 ,则 .

,则数列 ,



.已知对任意的

52. 【2010?福建理数】在等比数列 该数列的通项公式 【答案】 【解析】由题意知 .

中,若公比

,且前 3 项之和等于 21,则

,解得

,所以通项



【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 53. 【2010?江苏卷)】函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的 横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 【答案】21

19

【解析】考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(ak,ak2)处的切线方程为: 。



时,解得

,所以

54. 【2010· 河北隆尧一中三月月考】 在数列 通项公式 【答案】 =

中,

,

, 则

【解析】 得 ,

两边同除以 n(n+1), 得 ,于是 ,

,令



55.【2010·北京丰台一模】 设等比数列 . 【答案】

的公比为

,前 项和为

,则

【解析】



56.2010 黄冈中学 5 月第一模拟考试】 【 在等比数列 ,则 。

中, 若



20

【答案】

【解析】

57.【2010·河北隆尧一中五月模拟】定义:我们把满足 常数)的数列叫做等和数列,常数 叫做数列的公和.若等和数列 公和为 3,则该数列前 2010 项的和 【答案】3015 .





的首项为 1,

【解析】





58.【2010长沙市第一中学第九次月考】公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有 仍成等比数列,且公比为 4100;类比上述结 论,在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,则有 _____________________________也成等差数列,该等差数列的公差为 . 【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S30 300

【解析】依题意,S20-S10,S30-S20,S40-S30 也构成等差数列公差为 100d=300

59.【2010·北京丰台一模】设等比数列 . 【答案】

的公比为

,前 项和为

,则

21

【解析】



60.【2010·浙江省宁波市二模】在计算“ 某同学学到了如下一种方法:

”时,

先改写第 项:



由此得



,…,



相加,得

类比上述方法,请你计算“ 其结果为 .

”,

【答案】

【解析】裂项 61. 【2010?上海文数】已知数列 (1)证明: (2)求数列 是等比数列; 的通项公式,并求出使得 的前 项和为

,相消得 ,且 ,

成立的最小正整数 .

22

解: (1) 当 n=1 时, 1=?14; n≥2 时, n=Sn?Sn?1=?5an+5an?1+1, a 当 a 所以 又 a1?1=?15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;



(2) 由(1)知:

, 得

, 从而

(n∈N*);

由 Sn+1>Sn,得



,最小正整数 n=15.

62. 【2010?陕西文数】已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项;
解 (Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

(Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn.

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得





解得 d=1,d=0(舍去),

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

Sm=2+22+23+…+2n=

=2n+1-2.

63. 【2010?重庆文数】已知 前 项和. (Ⅰ)求通项 (Ⅱ)设 前 项和 . 及 ;

是首项为 19,公差为-2 的等差数列,





是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列

的通项公式及其

23

64. 【2010?北京文数】已知 (Ⅰ)求 的通项公式; 满足

为等差数列,且





(Ⅱ)若等差数列

, 的公差 。

,求

的前 n 项和公式

解:(Ⅰ)设等差数列 因为

所以 所以 (Ⅱ)设等比数列 因为 所以 即 =3 的公比为

解得

所以

的前 项和公式为

24

65.【2010?北京理数】已知集合 】 对于 ,定义 A 与 B 的差为 ,

A 与 B 之间的距离为

(Ⅰ)证明:

,且

;

(Ⅱ)证明:

三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设 P

, 中有 m(m≥2)个元素, P 中所有两元素间距离的平均值为 P 记

(P).

证明:

(P)≤

.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

证明:(I)设 因为 从而 ,

, ,所以 ,



又 由题意知 , , .

25

当 当

时, 时,

;

所以 (II)设 , 记 , , ,由(I)可知 , .

所以 个数为 。 设 是使 由此可知, 即 ,

中 1 的个数为 ,

的1的

成立的 的个数,则 三个数不可能都是奇数, , 三个数中至少有一个是偶数。

(III) 和, 设

,其中

表示

中所有两个元素间距离的总

种所有元素的第 个位置的数字中共有 个 1,
26

个0



=

由于

所以

从而 66. 【2010?四川理数】已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N*都有

a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(1)求 a3,a5; (2)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (3)设 cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20 (2)当 n∈N *时,由已知(以 n+2 代替 m)可得

a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即

bn+1-bn=8

所以{bn}是公差为 8 的等差数列 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列

27

则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

a n=

-(n-1)2.

那么 an+1-an=

-2n+1

= =2n 于是 cn=2nqn-1.

-2n+1

当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn-1. 两边同乘以 q,可得

qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn.
上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn-1)-2nqn

=2·

-2nq

n

=2·

所以 Sn=2·
28

综上所述,Sn= 67. 【2010?天津文数】在数列 等差数列,其公差为 2k. (Ⅰ)证明 (Ⅱ)求数列 成等比数列; 的通项公式; 中, =0,且对任意 k , 成

(Ⅲ)记

,证明

.

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力 及分类讨论的思想方法,满分 14 分。 解:(I)证由题设可知, , 。 , , ,

从而

,所以





成等比数列。

(II)由题设可得 所以

.

29



,得

,从而

.

所以数列 。

的通项公式为

或写为



(III)由(II)可知 (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m



,以下分两种情况进行讨论:

若 若

,则 ,则



.

所以

,从而 。

(2) 当 n 为奇数时,设

30

所以

,从而

综合(1)和(2)可知,对任意 68. 【2010?天津理数】在数列 成等差数列,其公差为 。 中,

有 ,且对任意 . , ,

(Ⅰ)若

=

,证明





成等比数列(



(Ⅱ)若对任意







成等比数列,其公比为



【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列 的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决 问题的能力及分类讨论的思想方法。满分 14 分。

解:(Ⅰ)由题设,可得



所以 =

31

=2k(k+1)



=0,得

于是



所以

成等比数列。

(Ⅱ) 证法一: (i) 证明: 由

成等差数列, 及

成等比数列,得



≠1 时,可知

≠1,k

从而

所以

是等差数列,公差为 1。

(Ⅱ)证明:



,可得

,从而

=1.由(Ⅰ)有

32

所以 因此,

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( )

若 m=1,则 若 m≥2,则

.

+

所以
33

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1(



所以

从而

···

综合(1)(2)可知,对任意

,

,有

证法二:(i)证明:由题设,可得

所以



可知

。可得



所以

是等差数列,公差为 1。

(ii)证明:因为

所以



34

所以

,从而



。于是,由(i)可知所以

是公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

=







从而



所以

,由

,可得



于是,由(i)可知 以下同证法一。

69.【2010?山东理数】已知等差数列 项和为 .

满足:





的前 n

(Ⅰ)求





(Ⅱ)令 bn=

(n N*),求数列

的前 n 项和



35

解:(Ⅰ)设等差数列

的公差为 d,因为



,所以有

,解得



所以



=

=



(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,所以 bn=

=

=



所以

=

=



70. 【2010?湖南理数】数列

中, 的极小值点

是函数

(Ⅰ)当 a=0 时,求通项 (Ⅱ)是否存在 a,使数列 请说明理由。

; 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围; 若不存在,

36

37

71. 【2010?江苏卷】设各项均为正数的数列 ,数列

的前 n 项和为

,已知

是公差为 的等差数列。

(1)求数列

的通项公式(用

表示); 的任意正整数 。 ,不等式

(2)设 为实数,对满足 都成立。求证: 的最大值为

38

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考 查探索、分析及论证的能力。

解:(1)由题意知:





化简,得:





时,

,适合

情形。

故所求 (2)(方法一)



恒成立。









,即 的最大值为



(方法二)由



,得





39

于是,对满足题设的



,有



所以 的最大值



另一方面,任取实数 条件,且

。设 为偶数,令

,则 。

符合

于是,只要

,即当

时,



所以满足条件的

,从而



因此 的最大值为



72.【2010·重庆八中第四次月考】设数列 . (1)求数列 (2)设 的通项公式; ,求数列 的前 项和

满足:



40

解:(1)∵ ②

①,∴

时,

①—②得



,在①中令



,∴

(2)∵ ∴当 则 相减得 又 ∴ 时,

则当

时,

73.【2010·福建省宁德三县市一中第二次联考】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225。 (1)求数列{an}的通项 an; (2)设 bn= +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

解: (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由题意,得 解得 ,∴an=2n-1 ;



41

(2)





=

74. 【2010· 北京石景山一模】 在数列 ⑴求 , 的值; 是等比数列, 并求 ,

中,







⑵证明: 数列 解: ⑴∵

的通项公式; ⑶求数列 , ∴ ,

的前 项和

. .

⑵∵ ∴数列 是首项为 ,∴ ⑶∵ 的通项公式为 ,公比为 的通项公式为

, 的等比数列.∴ . ,所以, ,即

. 75.【2010·云南省玉溪一中、楚雄一中、昆三中五月联考】在等比数列 ,公比 (1)求数列 ,且 ,又 与 的等比中项为 。 中,

的通项公式;
42

(2)设

,数列

的前 项和为

,求数列

的通项公式;

(3)设 解: 1) ( , (2) 差的等差数列 ;

,求 , 又

. 与 的等比中项为 , , , 而 ; , 是以 为首项,1 为公 ,



(3)由(2)知

; 76. 【2010· 石家庄市教学质量检测 (二) 已知数列 】 n≥2),且 (I)求数列 ,n≥2 时, >0.其中 是数列 满足 的前 n 项和. (t>0,

的通项公式;

(III)若对于 n≥2,n∈N *,不等式 t 的取值范围.

恒成立,求

解: (I)依题意, ( )(n≥3),由已知 ,故



(1)-(2)得 =(n≥3),

43

由 数列



,得







从第二项开始是首项为 ,公差为的等差数列.

所以 (II)设

,又当

时,

,所以



要使 立,

,对于

恒成

只要

成立, 所以 中, , , .

77.【2010·银川一中二模】在数列 (1)证明数列 (2)设数列 解: (1)由题设 所以数列 是等比数列; 的前 项和 ,求 ,得

的最大值。 , .又 ,

是首项为 ,且公比为 的等比数列. ,于是数列 . 的通项公式为 .所

(2)由(Ⅰ)可知 以数列 的前 项和

44

= 最大 0. 78.【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】设数列 项和为 ,已知对任意 , 是 和

,故 n=1,

的各项都为正数,其前

的等差中项. 的通项公式;

(Ⅰ)证明数列

为等差数列,并求数列

(Ⅱ)证明 (Ⅲ)设集合 ,

; ,且 ,若存在 ∈M,使对满 共有

足 的一切正整数 ,不等式 多少个? 解: (Ⅰ) 由已知, 当 时,有 .于是 。因为 故数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,且 , 且 .于是 ., 当

恒成立,求这样的正整数

时,

, 解得 ,即



,即 ,所以 . .

(Ⅱ)因为 2(

,则

.,所以 ;

(Ⅲ)由 由题设, ,

,得 ,…, ,
45

,即 , ,…,

,所以 ,因为

. , ∈M,

所以



,…,

均满足条件,且这些数组成首项为

,公差

为 的等差数列.设这个等差数列共有 项,则 .故集合 M 中满足条件的正整数 共有 个。

,解得

79.【2010 青岛市二摸】已知函数 数列 的前 项和为 ,点 的最大值; 均在函数

的导函数 的图象上.

,

(Ⅰ)求数列

的通项公式及

(Ⅱ)令

,其中

,求

的前 项和.

解:(Ⅰ) 得: ,所以 的图象上,所以有 时, 或 时, 时, , 取得最大值 ;

, ,又因为点




由 均在函数




时, -, 令

当 得 , 当



综上,

,当



取得最大值

(Ⅱ)由题意得 ,公比是 的等比数列,故 的前 项和

,所以

,即数列

是首项为 ,





46

所以① ②得:





80. 2010· 【 河北省石家庄市二模】 各项都为正数的数列

, 满足

(Ⅰ)求数列

的通项公式;

(Ⅱ)证明 解:(Ⅰ)∵ ∴ ,∴ ,又

对一切

恒成立.

为首项为 1,公差为 2 的等差数列, ,则

(Ⅱ)只需证:

.

① 当 =1 时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当 =2 时,左边<右边,所以命题成立

②假设 =k 时命题成立,即



当 n=k+1 时,左边=

.

47

=

.命题成立

由①②可知,对一切

都有

成立

48


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