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天津市实验中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

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2014-2015 学年天津市实验中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题 1. (3 分)已知集合 A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},则(A∩B) ∪C 等于() A.{0,1,2,6,8} B.{3,7,8} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8} 2. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

3. (3 分)若集合 A={﹣1,1},B={x|x+m=0},且 A∪B=A,则 m 的值为() A.1 B . ﹣1 C.1 或﹣1 D.1 或﹣1 或 0 4. (3 分)已知 a=2 ,b=log21.5,c=log1.51.2,则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b
2 1.5

D.b<c<a

5. (3 分)设集合 A={x|﹣3<x<3},B={y|y=﹣x +t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是() A.t≤﹣3 B.t<3 C.t>3 D.t≥3 6. (3 分)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=( ) 在同一直角坐标系下的图象大致是()
x

A.

B.

C.

D.

7. (3 分)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的增函数,且 f(x﹣1)<f(1﹣3x) ,则 x 的取值 范围() A. B. C. D.

8. (3 分)函数 f(x)=

的值域()

A.

[﹣9,+∞)

B. D.
2

C.

9. (3 分)已知函数 f(x)=ax ﹣4ax+c, (a<0) ,当 f(m)≥f(0)时,实数 m 满足的取值 范围是() A.(﹣∞,0]∪[4,+∞) B.[0,4] C. (0,4) D. (0, +∞)

10. (3 分)设函数 的值域是() A.{0,1}

表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]

B.{0,﹣1}

C.{﹣1,1}

D.{1,1}

二、填空题 11. (3 分)已知集合 A={a+2,2a +a},若 3∈A,则 a 的值为.
2

12. (3 分)log3

=.

13. (3 分)设 f(x)=

,则 f[f(1)]=.

14. (3 分)函数 f(x)=

的定义域为.

15. (3 分)已知函数 f(x)=

在区间(﹣2,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围是.

16. (3 分)定义在 R 上的函数 f(x)=

,若关于的方程 f (x)+bf(x)

2

+c=0 有 5 个不同的实根 x1,x2,x3,x4,x5,则 f(x1+x2+x3+x4+x5)=.

三、解答题 2 17.设 A={x|x +4x>0},B={x|a﹣1<x<a+1},其中 x∈R,设 U=R. (1)求?UA; (2)如果 B??UA,求实数 a 的取值范围.

18.已知 f(x)定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0,2)时,f(x)= (1)求 f(x)在(﹣2,0)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明. 19.已知函数 f(x)=log2 x﹣log2x (1)求方程 f(x)﹣3=0 的解; (2)当
2 2



时,求函数 f(x)的最值,并求 f(x)取最值时对应的 x 的值.

20.已知函数

(1)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求

的值;

(2)是否存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则 求出 a,b 的值,若不存在,请说明理由; (3) 若存在实数 a, b (a<b) , 使得函数 y=f (x) 的定义域为[a, b]时, 值域为[ma, mb] (m≠0) . 求 m 的取值范围.

2014-2015 学年天津市实验中学高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (3 分)已知集合 A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},则(A∩B) ∪C 等于() A.{0,1,2,6,8} B.{3,7,8} C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意集合 A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},根据交集的定义可得 A∩B={a, b},然后再计算(A∩B)∪C.

解答: 解:∵集合 A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9}, ∴A∩B={1,3}, ∵C={3,7,8}, ∴(A∩B)∪C={1,3,7,8}, 故选 C. 点评: 此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容,要认真掌握. 2. (3 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 探究型. 分析: 对于 A,非奇非偶;对于 B,是偶函数;对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|= ,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论.

解答: 解:对于 A,非奇非偶,是 R 上的增函数,不符合题意; 对于 B,是偶函数,不符合题意; 对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x) ;∵f(x)=x|x|= 函数是增函数 故选 D. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题. 3. (3 分)若集合 A={﹣1,1},B={x|x+m=0},且 A∪B=A,则 m 的值为() A.1 B . ﹣1 C.1 或﹣1 D.1 或﹣1 或 0 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用并集的性质求解. 解答: 解:∵集合 A={﹣1,1},B={x|x+m=0}={﹣m},且 A∪B=A, ∴B?A, ∴m=1 或 m=﹣1. 故选:C. 点评: 本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题. 4. (3 分)已知 a=2 ,b=log21.5,c=log1.51.2,则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用.
1.5

,∴

D.b<c<a

分析: 由于 1>b=log21.5 用指数函数的单调性可得 a>1 即可.

= ,c=log1.51.2

= ,可得 c<b.再利

解答: 解:∵a=2 >1,1>b=log21.5

1.5

= ,c=log1.51.2

= ,

∴c<b<a. 故选:B. 点评: 本题考查了指数与对数函数的单调性,属于基础题. 5. (3 分)设集合 A={x|﹣3<x<3},B={y|y=﹣x +t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是() A.t≤﹣3 B.t<3 C.t>3 D.t≥3 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 求解函数值域化简结合 B,然后利用 A∩B=?结合集合端点值间的关系得答案. 解:∵A={x|﹣3<x<3},
2 2

B={y|y=﹣x +t}={y|y≤t}, 由 A∩B=?, 则 t≤﹣3. 故选:A. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了函数值域的求法,是基础题.
x

6. (3 分)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=( ) 在同一直角坐标系下的图象大致是()

A.

B.

C. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.

D.

分析: 根据函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=( ) 解析式,分析他们与同底的指数函数、 对数函数的图象之间的关系, (即如何变换得到) ,分析其经过的特殊点,即可用排除法得到答 案. 解答: 解:∵f(x)=1+log2x 的图象是由 y=log2x 的图象上移 1 而得, ∴其图象必过点(1,1) .且为增函数, 故排除 A, 又∵g(x)=( ) 的图象为减函数,其图象也必过(0,1)点, 故排除 C,D 故选:B 点评: 本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题,属于容易题. 7. (3 分)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的增函数,且 f(x﹣1)<f(1﹣3x) ,则 x 的取值 范围() A. B. C. D.
x

x

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)的定义域以及单调性可得 x﹣1,1﹣3x 满足的条件,由此即可解得 x 的 范围.

解答: 解:由已知可得

,解得 0≤x



故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的单调性以及抽象不等式的解法,解抽象不等式的关键是利用 单调性把函数值关系转化为自变量关系.

8. (3 分)函数 f(x)=

的值域()

A.

[﹣9,+∞)

B. D.

C.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 当 0<x≤2,时,y= 为减函数,则可得 y 的范围;当﹣2≤x≤0 时,y=x +6x=(x+3) ﹣9,为增函数,则可得 y 的范围,最后求并集即可.
2 2

解答: 解:当 0<x≤2,时,y= 为减函数,则 y
2 2



当﹣2≤x≤0 时,y=x +6x=(x+3) ﹣9,为增函数,则﹣8≤y≤0. 即有函数的值域为[﹣8,0]∪[ ) .

故选 D. 点评: 本题考查分段函数的值域,注意运用反比例函数和二次函数的值域,考查运算能力, 属于中档题. 9. (3 分)已知函数 f(x)=ax ﹣4ax+c, (a<0) ,当 f(m)≥f(0)时,实数 m 满足的取值 范围是() A.(﹣∞,0]∪[4,+∞) B.[0,4] C. (0,4) D. (0, +∞) 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=ax ﹣4ax+c, (a<0)的图象是开口朝下,且以直线 x=2 为对称轴的抛物 线,故 f(4)=f(0) ,进而可得满足条件 f(m)≥f(0)的实数 m 满足的取值范围. 2 解答: 解:函数 f(x)=ax ﹣4ax+c, (a<0)的图象是开口朝下,且以直线 x=2 为对称轴的 抛物线, 故 f(4)=f(0) , 若 f(m)≥f(0) , 则 m∈[0,4], 即实数 m 满足的取值范围是[0,4]. 故选:B 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质, 分析出函数 f (x) =ax ﹣4ax+c, (a<0) 的图象是开口朝下,且以直线 x=2 为对称轴的抛物线,是解答的关键.
2 2 2

10. (3 分)设函数 的值域是() A.{0,1}

表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]

B.{0,﹣1}

C.{﹣1,1}

D.{1,1}

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 先把函数的解析式变形,根据指数函数的值域和反比例函数的单调性求出函数的值 域,利用[x]表示不超过 x 的最大整数可得本题的答案. 解答: 解:f(x)= ∵2 >0,∴1+2 >1,0<
x x

= ﹣ <1,



∴﹣ <y< , ∵[x]表示不超过 x 的最大整数, ∴y=[f(x)]的值域为{0,﹣1}, 故选 B. 点评: 本题考查函数值域的求法,本题利用指数函数的值域与复合函数的单调性规律求解, 解答要细心. 二、填空题 11. (3 分)已知集合 A={a+2,2a +a},若 3∈A,则 a 的值为﹣ .
2

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 规律型. 分析: 根据 3 是集合中的元素,求出 a 值,再验证集合中元素的互异性即可. 2 解答: 解:∵3∈A,∴a+2=3 或 2a +a=3; 2 当 a+2=3 时,a=1,2a +a=3,根据集合中元素的互异性,a=1 不合题意; 当 2a +a=3 时,a=1 或 a=﹣ ,a=﹣ 时,A={ ,3},符合题意. 综上 a=﹣ 故答案是﹣ 点评: 本题考查集合中元素的性质及元素与集合的关系.
2

12. (3 分)log3

=



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数与指数幂的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= = = . . +lg10 +
2

故答案为:

点评: 本题考查了对数与指数幂的运算法则,属于基础题.

13. (3 分)设 f(x)=

,则 f[f(1)]=



考点: 函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 先根据 1 所在范围得到 f(1) ,再结合 f(1)的范围代入对应的解析式即可求出结论. 解答: 解:因为:f(1)= ×1﹣1=﹣ ;

∴f[f(1)]=f(﹣ )= 故答案为: .

=



点评: 本题主要考查分段函数函数值的求法.解决这类问题的关键在于先判断出变量所在 范围,进而代入对应的解析式即可.

14. (3 分)函数 f(x)=

的定义域为(

,0) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶次根号下的被开方数大于等于零,对数的真数大于零,列出不等式组,进行 求解再用集合或区间的形式表示出来. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,

解得,

<x<0, ,0) .

则函数的定义域是( 故答案为: ( ,0) .

点评: 本题考查了函数定义域的求法,即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组,最 后注意要用集合或区间的形式表示出来,这是易错的地方.

15. (3 分)已知函数 f(x)= {a|a> }.

在区间(﹣2,+∞)上为增函数,则实数 a 的取值范围是

考点: 函数单调性的性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 把函数 f(x)解析式进行常数分离,变成一个常数和另一个函数 g(x)的和的形式, 由函数 g(x)在 (﹣2,+∞)为增函数得出 1﹣2a<0,从而得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)= =a+ ,结合复合函数的增减性, 在 (﹣2,+∞)为增函数,

再根据 f(x)在 (﹣2,+∞)为增函数,可得 g(x)= ∴1﹣2a<0,解得 a> , 故答案为:{a|a> }.

点评: 本题考查利用函数的单调性求参数的范围,属于基础题.

16. (3 分)定义在 R 上的函数 f(x)=

,若关于的方程 f (x)+bf(x)

2

+c=0 有 5 个不同的实根 x1,x2,x3,x4,x5,则 f(x1+x2+x3+x4+x5)=lg16. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x=4 时,解得 x1=4,c=﹣b﹣1;当 x>4 时,解得 lg(x﹣4)=1,x2=14 或 lg(x b b ﹣4)=b,x3=4+10 ;当 x<4 时,解得 lg(4﹣x)=1,x4=﹣6 或 lg(2﹣x)=b,x5=4﹣10 .从 b b 而 f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(4+14+4+10 ﹣6+4﹣10 )=f=lg|20﹣4|=lg16. 2 解答: 解:当 x=4 时,f(x)=1,则由 f (x)+bf(x)+c=0 得 1+b+c=0. ∴x1=4,c=﹣b﹣1. 当 x>4 时,f(x)=lg(x﹣4) , 2 由 f (x)+bf(x)+c=0, 2 得[lg(x﹣4)] +blg(x﹣4)﹣b﹣1=0, b 解得 lg(x﹣4)=1,x2=14 或 lg(x﹣4)=b,x3=4+10 . 当 x<4 时,f(x)=lg(4﹣x) , 由 f (x)+bf(x)+c=0,得[lg(4﹣x)] +blg(4﹣x)﹣b﹣1=0) , b 解得 lg(4﹣x)=1,x4=﹣6 或 lg(2﹣x)=b,x5=4﹣10 . b b ∴f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(4+14+4+10 ﹣6+4﹣10 )=f=lg|20﹣4|=lg16. 故答案是:lg16. 点评: 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意对数性质和分类讨论 思想的合理运用. 三、解答题 2 17.设 A={x|x +4x>0},B={x|a﹣1<x<a+1},其中 x∈R,设 U=R. (1)求?UA; (2)如果 B??UA,求实数 a 的取值范围. 考点: 补集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合.
2 2

分析: (1)先将集合 A 化简出来,再求补集; (2)利用集合间的包含关系构造 a 的不等式组. 解答: 解: (1)A={x|x<﹣4 或 x>0},∴CRA={x|﹣4≤x≤0} (2)∵a+1 恒大于 a﹣1, ∴B 不可能为?, ∴ 解得﹣3≤a≤﹣1.

点评: 本题考查了集合的运算及其关系,属于基础题,注意计算准确.

18.已知 f(x)定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0,2)时,f(x)= (1)求 f(x)在(﹣2,0)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用.



分析: (1)根据函数的奇偶性,从而求出函数的解析式; (2)设 0<x1<x2<2,根据函数 的单调性的定义,求出 f(x1)>f(x2) ,从而证出函数的单调性. 解答: 解: (1)x∈(﹣2,0)时,﹣x∈(0,2) , ∴ ∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣ (2)设 0<x1<x2<2, 则 , , , ; ,

∴ ∴f(x1)>f(x2) , ∴f(x)在(0,2)上是减函数. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了函数的奇偶性,是一道中档题. 19.已知函数 f(x)=log2 x﹣log2x (1)求方程 f(x)﹣3=0 的解; (2)当
2 2



时,求函数 f(x)的最值,并求 f(x)取最值时对应的 x 的值.

考点: 函数的零点;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: (1)由题意可得 log2 x﹣2log2x﹣3=0,从而求解方程的根; (2)利用换元法求函数的最值. 解答: 解: (1)∵f(x)﹣3=0, 2 ∴log2 x﹣2log2x﹣3=0, ∴(log2x﹣3) (log2x+1)=0, ∴log2x=3 或 log2x=﹣1, ∴ . ,∴t∈[﹣1,2],
2

2

(2)设 t=log2x,∵
2

f(x)=t ﹣2t=(t﹣1) ﹣1, 当 t=1,即 x=2 时,f(x)min=﹣1, 当 t=﹣1,即 x= 时,f(x)max=3. 点评: 本题考查了函数与方程的关系,同时考查了换元法求函数的最值,属于基础题.

20.已知函数

(1)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求

的值;

(2)是否存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则 求出 a,b 的值,若不存在,请说明理由; (3) 若存在实数 a, b (a<b) , 使得函数 y=f (x) 的定义域为[a, b]时, 值域为[ma, mb] (m≠0) . 求 m 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题. 分析: (1)根据分段函数,可知 f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数.利 用 f(a)=f(b) ,可求 的值;

(2)假设存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],分三种情况 讨论:a,b∈(0,1) ;a,b∈[1,+∞) ;a∈(0,1) ,b∈[1,+∞) ,分别利用相应函数解析式求 解即可; (3)与(2)同样思路:分三种情况讨论:a,b∈(0,1) ;a,b∈[1,+∞) ; a∈(0,1) ,b∈[1, +∞) ,分别利用相应函数解析式求解即可的结论.

解答: 解: (1)∵

∴f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数. 由 0<a<b,且 f(a)=f(b) ,

可得 0<a<1<b 且 所以 .



(2)不存在满足条件的实数 a,b. 若存在满足条件的实数 a,b,则 0<a<b ①当 a,b∈(0,1)时, 在(0,1)上为减函数.





解得 a=b. 故此时不存在适合条件的实数 a,b. ②当 a,b∈[1,+∞)时, 在(1,+∞)上是增函数.




2

此时 a,b 是方程 x ﹣x+1=0 的根,此方程无实根. 故此时不存在适合条件的实数 a,b. 当 a∈(0,1) ,b∈[1,+∞)时,由于 1∈[a,b],而 f(1)=0?[a,b], 故此时不存在适合条件的实数 a,b. 综上可知,不存在适合条件的实数 a,b. (3)若存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb]. 则 a>0,m>0. 当此时得 a,b 异号,不符合题意,所以 a,b 不存在. a,b∈(0,1)时,由于 f(x)在(0,1)上是减函数,



当 a∈(0,1) ,b∈[1,+∞)时,易知 0 在值域内,值域不可能是[ma,mb], 所以 a,b 不存在. 故只有 a,b∈[1,+∞) ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,





1,b 是方程 mx ﹣x+1=0 的两个根. 2 即关于 x 的方程 mx ﹣x+1=0 有两个大于 1 的实根.设这两个根为 x1,x2. 则 x1+x2= ,x1?x2= .

2





解得

. .

故 m 的取值范围是

点评: 本题的考点是函数与方程的综合应用,主要考查已知分段函数,研究函数的定义域 与值域,利用方程的思想解决函数问题,有一定的难度.


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