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高中数学第二章圆锥曲线4平面截圆锥面5圆锥曲线的几何性质学案北师大版选修41

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§4 & §5 平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质 [对应学生用书 P39] [自主学习] 1.平面截圆锥面 (1)当截面 β 与圆锥面的轴 l 垂直时,所得交线是一个圆. (当2)任取一平面 β ,它与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ (β 与 l 平行时,记 θ =0°), 拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。 θ >σ (σ 为圆锥母线与轴交角)时,平面截圆锥面所得交线为椭圆;当 θ =σ 时,交 线为抛物线;当 θ <σ 时,交线为双曲线. 2.圆锥曲线的几何性质 抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e(离心 率)的动点的轨迹,此时定点称为焦点,定直线称为准线. 当 e=1 时,轨迹为抛物线; 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆; 当 e>1 时,轨迹为双曲线. [合作探究] 1.当平面 β 与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ =π2 时,其交线应为什么? 提示:圆 2.由圆锥曲线的统一定义可知,椭圆、双曲线的准线有几条?定义 e 时,定点与定直 线有怎样的关系? 提示:因为椭圆、双曲线各有两个焦点,故其准线有两条.定义 e 时,定点与定直线是 对应的.即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线. [对应学生用书 P40] 圆锥曲线的探讨 [例 1] 在空间中,取直线 l 为轴,直线 l′与 l 相交于 O 点,夹角为 α ,l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面 γ ,若它与轴 l 的交角为 β (当 γ 与 l 平行时,记 β =0),求证:β =α 时,平面 γ 与圆锥的交线是抛物线. [思路点拨] 本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题.解题时,注意利用条件, 结合图形利用抛物线的定义求解. [精解详析] 如图,设平面 γ 与圆锥内切球相切于点 F,球与圆锥的交线为 S,过该交 1 线的平面为 γ ′,γ 与 γ ′相交于直线 m. 在平面 γ 与圆锥的截线上任取一点 P,连接 PF.过点 P 作 PA⊥m,交 m 于点 A,过点 P 作 γ ′的垂线,垂足为 B,连接 AB,则 AB⊥m,∴∠PAB 是 γ 与 γ ′所成二面角的平面角.连 接点 P 与圆锥的顶点,与 S 相交于点 Q,连接 BQ,则∠BPQ=α ,∠APB=β . 在 Rt△APB 中,PB=PAcos β . 在 Rt△PBQ 中,PB=PQcos α . PQ cos ∴PA=cos β α . 又∵PQ=PF,α =β PF ,∴PA=1, 即 PF=PA,动点 P 到定点 F 的距离等于它到定直线 m 的距离,故当 α =β 时,平面与 圆锥的交线为抛物线. 已知平面与圆锥面的轴的夹角为 β ,曲线与轴的夹角为 α ,当 α =β 时,平面与圆锥 的交线为抛物线.β <α 时为双曲线,β >α 时为椭圆.讨论曲线类型时注意结合图形. 1.一圆锥面的母线和轴线成 30°角,当用一与轴线成 60°的不过顶点的平面去截圆锥 面时,所截得的截线是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.两条相交直线 解析:选 A 如图可知应为椭圆. 圆锥曲线的几何性质 2 [例 2] 如图,已知圆锥母线与轴的夹角为 α ,平面 γ 与轴线夹角为 β ,焦球的半径 分别为 R,r,且 α <β ,R>r,求平面 γ 与圆锥面交线的焦距 F1F2,轴长 G1G2. [思路点拨] 本题主要考查圆锥曲线的几何性质.由 β >α 知截线为椭圆.通过数形结 合转化到相应平面中求解. [精解详析] 如图,在 Rt△O1F1O 中, OF1=tanO∠1FO11OF1=tanr β . 在 Rt△O2F2O 中,OF2=tanO∠2FO22OF2=tanR β . ∴F1F2=OF1+OF2=tRa+ n rβ . 同理,O1O2=sRi+n rβ .在 Rt△O1O2H 中, O1H=O1O2·cos α R+r =sin β ·cos α .又 O1H=A1A2,由切线定理,容易验证 G1G2=A1A2, ∴G1G2=sRi+ n rβ ·cos α . 已知圆锥曲线的结构特点,解决有关计算问题,通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等 式关系,列出方程来解决. 2.已知圆锥母线与轴夹角为 60°,平面 γ 与轴夹角为 45°,则平面 γ 与圆锥交线的 离心率是 ,该曲线的形状是 . 解析:e=ccooss 4650° °= 2. ∵e>1,∴曲线为双曲线. 3 答案: 2 双曲线 圆锥曲线的统一定义 [例 3] 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 BF=2FD,则 C 的离心率为 . [精解详析] 法一:如图,|BF|= b2+c2=a,作 DD1⊥y 轴于点 D1,则由 BF=2FD,得 |OF| |BF| 2 |DD1|=|BD|=3, 所以|DD1|=32|OF|=32c, 即 xD=32c,由椭圆的第二定义得|FD|=e(ac2-32c)=a-32ca2. 又由|BF|=2|FD|, 得 a=2a-3ac2? e= 33. x2 y2 法二:设椭圆方程为第一标准形式a2+b2=1, 设 D(x2,y2),F 分 BD 所成的比为 2, xc=01++22x2? x2=32xc=32c; yc=b1++22y2? y2=3yc2-b=3×20-b=-b2, 9c2 14b2 代入椭圆方程得:4a2+ b2 =1? e= 3 3. 3 [答案] 3 由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与 e 的关系,故涉及焦半径问题可考虑使圆 锥曲线的定义进行转化.同时注意数形结合思想

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