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二次函数 I

时间:2014-06-25


二次函数 I.定义与定义表达式 一般 地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如 下关系: y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常 数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向, a>0 时,开口方向向上,a<0 时,开口 方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小 ,IaI 越小开口就越 大.) 则称 y 为 x 的二次函数。 二次 函数表达式的右边通常为二次三项 式。 II.二次函数的三种表达式 一般 式: y=ax^2+bx+c ( a, b, c 为常数, a≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点 P(h,k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅 限于与 x 轴有交点 A(x1,0)和 B (x2,0)的抛物线] 注:在 3 种形式

的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x1,x2=(-b±√b^2-4ac)/2a III. 二次函数的图像 在平面直角坐标 系中作出二次函数 y=x?的图像,可以 看出,二次函数的图像是一条抛物 线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴 对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物 线的顶点 P。 特别地,当 b=0 时,抛 物线的对称轴是 y 轴 (即直线 x=0) 2. 抛物线有一个顶点 P,坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2)/4a ]。 当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当 Δ= b^2-4ac=0 时, P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a 决定抛 物线的开口方向和大小。当 a>0 时,

抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物 线向下开口。 |a|越大,则抛物线的 开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项 系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) , 对称轴在 y 轴右。 5.常数项 c 决定抛 物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于 (0, c) 6.抛物线与 x 轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个 交点。 Δ= b^2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。 Δ= b^2-4ac<0 时, 抛物线与 x 轴没有交点。 V.二次函数 与一元二次方程 特别地,二次函数 (以下称函数) y=ax^2+bx+c, 当 y=0

时,二次函数为关于 x 的一元二次方 程 (以下称方程) ,即 ax^2+bx+c=0 此 时,函数图像与 x 轴有无交点即方程 有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐 标即为方程的根。 答案补充 画抛物 线 y=ax2 时,应先列表,再描点,最 后连线。列表选取自变量 x 值时常以 0 为中心,选取便于计算、描点的整 数值,描点连线时一定要用光滑曲线 连接,并注意变化趋势。 二次函数 解析式的几种形式 (1) 一般式: y = ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0). (2)顶点 式: y=a(x-h)2+k(a,h,k 为常数, a≠0). (3) 两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标,即

一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的两个 根,a≠0. 说明:(1)任何一个二次函数 通过配方都可以化为顶点式 y= a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k), h=0 时, 抛物线 y=ax2+k 的顶点在 y 轴上;当 k=0 时,抛物线 a(x-h)2 的 顶点在 x 轴上;当 h=0 且 k=0 时, 抛物线 y=ax2 的顶点在原点 答案补 充 如果图像经过原点,并且对称轴 是 y 轴,则设 y=ax^2;如果对称轴是 y 轴,但不过原点,则设 y=ax^2+k 定 义与定义表达式 一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0, 且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,

开口方向向上,a<0 时,开口方向向 下。IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大 开口就越小,IaI 越小开口就越大。 )则 称 y 为 x 的二次函数。 二次函数表达 式的右边通常为二次三项式。 x 是自 变量,y 是 x 的函数 二次函数的三种 表达式 ① 一般式: y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数 ,a≠0) ② 顶点式 [ 抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③ 交点式[仅限 于与 x 轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2) 以上 3 种 形式可进行如下转化: ① 一般式和顶 点 式 的关 系 对 于 二次 函 数

y=ax^2+bx+c , 其 顶 点 坐 标 为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a) , 即

h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ② 一 般 式 和 交 点 式 的 关 系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a( 即一元二次 方程求根公式)


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