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2011届高考数学最后一卷3

时间:2011-05-27


湖北省华师一附中荆州中学 2011 届高三 5 月模拟(数学文)
命题人:李祥知 全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ☆祝考试顺利☆ 注意事项: 1. 答题前,考生务必将 自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题在每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;完成句子 和书面表达题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。 答在试题卷上无效。 3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题 给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的。 1.函数 f ( x) = x ? 3 x, x ∈ [2, 4] 的最大值是(
2

) C.-3 D.2 )

A.-2

B.4

2.已知集合 A = { y | y = lg x, x > 1}, B = {?2, ?1,1, 2} ,全集 U=R,则下列结论正确的是( A. A I B = {?2, ?1} C. A U B = (0, +∞ ) 3.若点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? A.3 B. B. (CU A) U B = ( ?∞, 0) D. (CU A) I B = {?2, ?1}

uuu r

1 2

uuu r 1 ,则点 B 分有向线段 PA 所成的比为( 3 1 3 C. ? D. ? 2 2
) D. (



4.2 名男生和 2 名女生站成一排,则 2 名男生相邻的概率为(

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 3


5.已知角 α 的终边与角 β 的终边关于直线 y = ? x 对称,则 sin α = A. ? sin β 6.已知 p : “ a = B. ? cos β C. sin β

D. cos β )

2 ”, q : “直线 x + y = 0 与圆 x 2 + ( y ? a ) 2 = 1 相切,则 p 是 q 的(
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充要条件

7.已知数列 {an } 的通项为 an = 2n ? 1, S n 为数列 {an } 的前 n 项和, 令 bn = 的前 n 项和的取值范围为( )

1 ,则数列 {bn } Sn + n

A. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

B. ( ,1)

1 2

C. ? ,

?1 3 ? ? ?2 4 ?

D. ? ,1?

?2 ? ?3 ?

8.设 α 表示平面, l , m 表示两条不符合的直线,给定下列四个命题 ① l ∥α , l ⊥ m ? m ⊥ α ③ l ⊥ α , l ⊥ m ? m ∥α 其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 9.已知函 数 f ( x ) = ? 式恒成立的是( ②l ∥m ,l ⊥ α ? m ⊥ α ④l ⊥ α,m ⊥ α ? l ∥ m ( ) D.4

C.3

? x2 + 2 x ? 1 ? 2 ?x ? 2x ?1 ?


( x ≥ 0) ( x < 0)

,则对任意 x1 , x2 ∈ R , 若 0 <| x1 |<| x2 | ,下列不等

A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 C. f ( x1 ) + f ( x2 ) < 0

B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 D. f ( x1 ) + f ( x2 ) > 0

10. 过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A, 两点, B 若 倾斜角 θ (0 < θ < A.

1 1 1 ? = , 则直线 l 的 | AF | | BF | 2

π
2

) 等于(
B.

) C.

π
2

π
3

π
4

D.

π
6

二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上。 1 1.在一次数学考试中,随机抽取 100 名同学的成绩作为一个样本,其成绩的分布情况如下: 成绩 人数 分布

(10,50]
9

( 50,60]
18

( 60, 70]
23 。

( 70,80]
27

( 80,90]
15

( 90,100]
8

则该样本中成绩在 ( 80,100] 内的频率为

12.直线 ( m ? 1) x + 3 y + m = 0 与直线 x + ( m + 1) y + 2 = 0 平行,则实数 m= 13.若不等式 | x + a |< 4 的解集是集合 ( ?6, 6) 的子集,则实数 a 的取值范围为 14.对于函数 f ( x ) = 取值范围为

。 。

1 3 a | x | ? x 2 + (3 ? a ) | x | +b ,若 f (x ) 有六个不同的单调区间,则 a 的 3 2

15.已知圆 O1 , O2 , O3 为 球 O 的三个小圆,其半径分别为 1,1, 2 ,若三个小圆所在的平面两两垂 直且公共点 P 在球面上,则球的表面积为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 边 b, B, 若 在 ?ABC 中, a, c 分别为角 A, C 的对边, m = (sin

ur

2

r B+C 7 ,1), n = (cos 2 A + , 4) , 2 2

ur

r

且 m / / n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a =

3, b + c = 3 ,求 ?ABC 的面积 S。

17. (本小题满分 12 分) 某射手 A 第 n 次射击时击中靶心的概率为 P ( n) =

1 (n = 1, 2,L). [来源:学&科&网] n +1

(1)求 A 射击 5 次,直到第 5 次才击中靶心的概率 P; (2)若 A 共射击 3 次,求恰好击中 1 次靶心的概率。

18. (本小题满分 12 分) 如图, 已知 ABCD 是边长为 2 的正方形, DE ⊥ 平面 ABCD, ⊥ 平面 ABCD, FB=2DE=2。 BF 且 (1)求点 E 到平面 FBC 的距离; (2)求证:平面 AEC ⊥ 平面 AFC。

19. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) = x3 + ax 2 + bx ? 2 的图象在与 y 轴交点处的切线方程为 y = x + a. (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

(2)设函数 g ( x ) = f ( x ) +

1 mx, 若g ( x) 存在极值,求实数 m 的取值范围。 3

20. (本小题满分 13 分) 已知点 C ( , 0) ,椭圆

1 4

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右准线 l1 : x = 2 与 x 轴相交于点 D,右 a2 b2

焦点 F 到上顶点的距离为 2. (1)求椭圆的方程; (2) 是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A、 两点, B 使得 (CA + CB ) ⊥ BA ? 若存在,求出直线 l ;若不存在,说明理由。

uuu uuu r r

uuu r

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: {

an n+2 } 是公差为 1 的等差数列,且 an +1 = an + 1. n n

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 bn =

1 (n ∈ N * ) ,求证: b1 + b2 + L + bn ≤ 2 n ? 1. 4 a n

参考答案
一、选择题 BDDDB 12.-2 AABBB 13.[-2,2] 14. (2,3) 15. 8π 二、填空题 11.0.23

三、解 答题

ur

16.(1)由 m ∥ n , 4 sin

B+C A 7 = cos + 2 2 2 1 ? 2 cos( B + C ) 7 ? 4× ? 2 cos 2 A ? 1 + 2 2 1 1 π ? 2 cos 2 A ? 2 cos A + = 0 ? cos A = ? A = 2 2 3
2

r

(2) cos A =

b 2 + c 2 ? a 2 (b + c) 2 ? 2bc ? a 2 3 ? bc 1 = = = ? bc = 2 2bc 2bc bc 2

1 3 S ?ABc = bc sin A = 2 2
17.(1) A 射击 5 次,直到第 5 次才击中靶心的概率 P 为

1 1 1 1 1 P = (1 ? ) × (1 ? ) × (1 ? ) × = 2 3 5 6 30 1 1 1 1 (2) 恰好第一次击中的概率为 × (1 ? ) × (1 ? ) = 2 3 4 4 1 1 1 1 恰好第二次击中的概率为 (1 ? ) × × (1 ? ) = 2 3 4 8 1 1 1 1 恰好第三次击中的概率为 (1 ? ) × (1 ? ) × = 2 3 4 12 1 1 1 11 所以, A 射击 3 次,恰好击中 1 次靶心的概率为 + + = 4 8 12 24
18.(1) Q DE ⊥ 平面 ABCD , BF ⊥ 平面 ABCD ,∴ DE ∥ BF ? DE ∥面 BFC. 故点 D 到平面 FBC 的距离等于点 E 到平面 FBC 的距离 因为 BF ⊥ 平面 ABCD ,又正方形 ABCD 中, DC ⊥ BC ,故 DC ⊥ 面 FBC ,所以 DC 即 为点 D 到平面 FBC 的距离,所以点 E 到平面 FBC 的距离为 2. (2)连 BD 交 AC 于 O ,连 OE , OF . 因为 DE ⊥ 平面 ABCD , AD = DC ,所以 AE = EC ,又 O 为 AC 的中点,故 EO ⊥ AC 又在 ?EOF 中, EO = 1 + 2 =

3, FO = 2 + 4 = 6, EF = 1 + 8 = 3, 易知 EO ⊥ OF

又 OF I AC = 0 ,所以 EO ⊥ 面 AFC ,又 EO ? 面 ACE ,故面 AEC ⊥ 面 AFC. 19.(1)Q f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + b 函数 f ( x ) 与 y 交点 (0, ?2) 故直线方程为 y = 2 ? f ′(0) x ? y = bx ? 2 ? x + a ? b = 1a = 2 (2)设 g ( x ) = x ? 2 x + x ? 2 +
3 2

1 1 mx ? g ′( x) = 3 x 2 ? 4 x + m + 1 3 3

g ( x) 存 在 极 值 即 是 说 g ′( x) = 0 有 两 个 不 相 等 的 实 根 , 所 以

1 ? = 4 2 ? 4 × 3( m + 1) > 0 ? m < 1 3

? a2 ? =2 2 2 2 ,又 a = b + c ,解得 a = 2, b = c = 1. 20.(1)由题意可知 ? c ? b2 + c 2 = 2 ?
∴椭圆的方程为

x2 + y 2 = 1; 2

(2)由(1)得 F (1, 0) ,所以 0 ≤ m ≤ 1 。假设存在满足题意的直线 l ,设 l 的方程为

y = k ( x ? 1) ,代入

x2 + y 2 = 1 ,得 (2k 2 + 1) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 2 4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 = 2 2k 2 + 1 2k + 1

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 =

∴ y1 + y2 = k ( x1 + x2 ? 2) =

?2k , 2k 2 + 1

uuu uuu r r 1 1 4k 2 1 ?2k CA + CB = ( x1 ? , y1 ) + ( x2 ? , y2 ) = ( 2 ? , 2 ), 4 4 2k + 1 2 2k + 1
uuu uuu r r uuu r (CA + CB ) ⊥ AB ,而 AB 的方向向量为 (1, k ) ,
∴ 4k 2 1 ?2 k 1 1 1 ? + 2 × k = 0 ? (1 ? )k 2 = ? k 2 = 2 2k ? 1 2 2 k + 1 2 4 2

所以存在这样的直线 l ,其方程为 y = ± 21.(1)设数列 {an } 的首项为 a1 ,则

2 ( x ? 1) , 2

an +1 =

n+2 3 an + 1 ? a2 = a1 + 1 联立求解,得 a1 = 1 ,故 an = n 2 n 1

an a1 a = + (n ? 1) ? 2 = a1 + 1 n 1 2

(2)当 n = 1 的时候, b1 = 1 当 n ≥ 2 时, bn =

1 1 2 2 = = < = 2( n + n ? 1) 4 an n 2 n n ? n ?1

b1 + b2 + b3 + L + bn < 1 + [2( 2 ? 1) + 2( 3 ? 2) + L + 2( n ? n ? 1]
= 1 + 2( n ? 1) = 2 n ? 1

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