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高中数学人教a版(浙江专版)必修2讲学案:第一章 1.2 空间几何体的三视图和直观图

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空间几何体的三视图和直观图 1.2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 预习课本 P11~14,思考并完成以下问题 1.平行投影、正投影的定义是什么? 2.正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么? 3.怎样画空间几何体的三视图? 4.如何识别三视图所表示的立体模型? [新知初探] 1.投影的定义 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种 现象叫做投影.其中,把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面. 2.中心投影与平行投影 投影 定义 光由一点向外散射形 中心投影 成的投影 在一束平行光线照射 平行投影 下形成的投影 投影线互相平行 正投影和斜投影 投影线交于一点 特征 分类 [点睛] 平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形 的形状和大小完全相同;而中心投影则不同. 3.三视图 三视图 概念 光线从几何体的前面向后面正投 正视图 影得到的投影图 一个几何体的正视图和侧视图高 光线从几何体的左面向右面正投 侧视图 影得到的投影图 样,侧视图与俯视图宽度一样 光线从几何体的上面向下面正投 俯视图 影得到的投影图 度一样,正视图和俯视图长度一 规律 [点睛] 三视图中的每种视图都是正投影. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线的平行投影是直线( ) ) ) (2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( (3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同( 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( ) A.棱柱 C.圆柱 B.棱台 D.圆台 解析:选 D 先观察俯视图,再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯 视图是圆环可排除 A、B,由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除 C,故选 D. 3.沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示,它的俯视图是( ) 解析:选 D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形,注意看得到的棱画 实线. 中心投影与平行投 影 [典例] 下列命题中正确的是( ) A.矩形的平行投影一定是矩形 B.平行投影与中心投影的投影线均互相平行 C.两条相交直线的投影可能平行 D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段,那么这条线段中点的投影必是 这条线段投影的中点 [解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同,因而平行投影的形状不固定, 故 A 不正确.平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点,故 B 不正确.无论是平行投影还是中心投影,两条直线的交点都在两条直线的投影 上,因而两条相交直线的投影不可能平行,故 C 不正确.两条线段的平行投影长 度的比等于这两条线段长度的比,故 D 正确. [答案] D 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、 端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在 该平面上的投影. [活学活用] 如图所示,点 O 为正方体 ABCDA′B′C′D′的中心,点 E 为面 B′BCC′的中心,点 F 为 B′C′的中点,则空间四边形 D′OEF 在该正方体的 面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号). 解析:在下底面 ABCD 上的投影为③,在右侧面 B′BCC′上的投影为②, 在后侧面 D′DCC′上的投影为①. 答案:①②③ 由几何体画三视 图 [典例] [解] 画出如图所示的正四棱锥的三视图. 正四棱锥的三视图如图所示. 三视图的画法规则 (1)排列规则:一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边. (2)画法规则: ①正视图与俯视图的长度一致,即“长对正”; ②侧视图和正视图的高度一致,即“高平齐”; ③俯视图与侧视图的宽度一致,即“宽相等”. (3)线条的规则: ①能看见的轮廓线用实线表示; ②不能看见的轮廓线用虚线表示. [活学活用] 1.已知三棱柱 ABCA1B1C1,如图所示,则其三视图为( ) 解析:选 A 其正视图为矩形,侧视图为三角形,俯视图中棱 CC1 可见,为 实线,只有 A 符合. 2.画出如图所示的物体的三视图. 解:三视图如图所示. 由三视图还原几何 体 [典例] 根据如图所示的三视图,画出几何体. [解] 由正视图、侧视图可知,该几何体为简单几何体的组合体,结合俯视图为大 正方形里有一个小正方形,可知该组合体上面为一个正方体,下面为一个下底面 是正方形的倒置的四棱台.如图所示. 由三视图还原几何体,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分,想 整体;(3)综合起来,定整体.只要熟悉简单几何体的三视图的形状,由简单几何 体的三视图还原几何体并不困难.对于组合体,需要依据三视图将它分几部分考 虑,确定它是由哪些简单几何体组成的,然后利用上面的步骤,分开还原,再合 并即可.注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线. [活学活用] 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ) 解析:选 B 由题意知,A 和 C 中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求; D 中所给几何体的侧视图不符合要求;由侧视图可判断该几何体的直观图是 B.故 选 B. 视图与计算 [典例] 如图 1 所示,将一边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成 ) 三棱锥 CABD,其正视图与俯视图如图 2 所示,则侧视图的面积为( 1 A. 4 B. 2 4 C. 1 2 D. 2 2 [解析] 由正视图可以看出,A 点在面 BCD 上的投影为 BD 的中点,由俯视图 可以看出 C 点在面 ABD 上的投影为 BD 的中点,所以其侧视图为如图所示的等腰 1 2 2 1 ,于是侧视图的面积为 × × = . 2 2 2 2 4 2 直角三角形,直角边为 [答案] A 这类问题常常是给出几何体的三视图,由三视图中的

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