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高中数学函数一轮复习(函数专题)1

时间:2014-08-07


分类讨论思想在分段函数中的能力应用 [典例] (2011· 江 苏 高 考 ) 已 知 实 数 a≠0 , 函 数 f(x) =

? ?2x+a,x<1, ? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为________. ?-x-2a,x≥1, ?

[审题视角] 1.在解决本题时,由于 a 的取值不同限制了 1-a 及 1+a 的取值,从而应对 a 进行分类讨论. 2.运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1)确定讨论对象和确定研究的区域; (2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏, 标 准统一、分层不越级); (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决; (4)归纳总结,整合得出结论. [解析] ①当 1-a<1,即 a>0 时,a+1>1,由 f(1-a)=f(1+a), 3 得 2(1-a)+a=-(1+a)-2a,计算得 a=-2(舍去);②当 1-a>1, 即 a<0 时,a+1<1,由 f(1-a)=f(1+a),得 2(1+a)+a=-(1-a)- 3 3 2a,计算得 a=-4,符合题意.综上所述,a=-4. 3 [答案] -4

当数学问题不宜用统一的方法处理时,我们常常根据研究对象的 差异,按照一定的分类方法或标准,将问题分为“全而不重,广而不 漏”的若干类,然后逐类分别讨论,再把结论汇总,得出问题答案的

思想,这就是主要考查了分类讨论的数学思想,由于分段函数在不同 定义区间上具有不同的解析式,在处理分段函数问题时应对不同的区 间进行分类求解,然后整合,这恰好是分类讨论的一种体现.

?log2x,x>0, 1.设函数 f(x)=?log1 ?-x?,x<0, ? 2
取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 解析:a>0 时,f(a)=log2a f(-a)=log1 a=-log2a
2

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

由于 f(a)>f(-a),即 log2a>-log2a 解得 a>1 a<0 时 f(a)=log1
2

(-a)

f(-a)=log2(-a) 即:-log2(-a)>log2(-a) 解得-1<a<0 故选 C. 答案:C
?2-x,x∈?-∞,1?, ? 2.设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值范 ?x ,x∈[1,+∞?, ?

围是________.

解析:x<1 时,2-x>4 解得 x<-2 x≥1 时,x2>4 解得 x>2 故 x 的取值范围为{x|x>2 或 x<-2}. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞) 3.(2014· 杭州模拟)设函数 f(x)=? 2,则 a=( )
? ? x,x≥0, ? -x,x<0, ?

若 f(a)+f(-1)=

A.-3 B.± 3 C.-1 D.± 1 解析:f(-1)= -?-1?=1 当 a≥0 时,f(a)+f(-1)= a+1,得 a=1

当 a<0 时,f(a)+f(-1)= -a+1,得 a=-1 故选 D. 答案:D


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