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湛江市2012届高中毕业班调研测试(文数)

时间:2013-04-24


试卷类型:A

湛江市 2011-2012 学年度高中毕业班调研测试 数学(文科)
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上。用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座 位号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:

棱锥的体积公式: V ?

1 ? S ? h ,其中 S 是底面面积,h 是高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 1} ,集合 B ? {x | x ? 2} ,则 A∩B= A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 2} C. {x | 1 ? x ? 2} 2.已知向量 m=(1,2),n=(x,4),且 m⊥n,则 x= A.2 B.4 C.8 3.函数 f(x)=lg(x+1)的定义域为 A. {x | x ? 0} B. {x | x ? ?1} C. {x | x ? ?1} 4.等差数列{an}中,a1=2,a5=10,则 a3= A.6 B.5 C.4
x2 x

D. ? D.-8 D.R D.3

5.不等式 2 ? 2 的解集为 A. (0,1) B. (1,+∞) C. (-∞,0) D. (-∞,0)∪(1,+∞) 6.下列说法正确的是 A.中位数是一组数据的平均数 B.一组数据的标准差等于方差的平方 C.在统计中相关系数可用于衡量两个变量之间线性关系的强弱程度 D.对两个分类变量作独立性检验,能通过计算得出确定的结论 7.某班一次测验的成绩统计如图(分数取整数,60 分及以上 为及格) ,由此估计这次测验的及格率为 A.92% B.9.2% C.16% D.不能确定 8.一个几何体的三视图均是半径为 2 的圆,则这个几何体的 表面积为 A.

32? 3

B. 16?

C. 8?

D.

16? 3

9.顶点在原点,以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为焦点的抛物线的准线方程为 25 16
1

A.x=3

B.x=-3
2

C.y=3

D.y=-3

10.若二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 )(x1 ? x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? ? ? A.0 B.1 C.a+b D.不能确定 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 2 11.已知 i 为虚数单位,则 1+i =__________. 12. 已知命题 p 为假命题, 命题 q 为真命题, 则命题 p∨q 为___________.填“真”或“假”) ( 13.运行如图的程序框图,则输出的 m=____.

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图,AB 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线,点 C 在⊙O 上, BC//OD,AB=2,OD=3,则 BC 的长为_________. 15. (坐标系与参数方程选做题) 已知两曲线的极坐标方程分别为 ρ =1 和 ? ?

2 ,则两曲线的交点个数为 sin ? ? cos?

____个. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三边 a,b,c 满足 b ? c ? a ? bc ,a 边所对的角为 A,函数
2 2 2

f ( x) ? sin A ? cos x ? cos A. ? sin x .
(1)求 f(0)的值; (2)若 x ? (0, ? ) ,求函数 f(x)的最大值及此时 x 的值.

17. (本小题满分 12 分) 先后两次抛掷一枚均匀的骰子. (1)求两次点数相同的概率; 2 2 (2)记第一次的点数为 x,第二次的点数为 y,求点(x,y)在圆 x +y =36 内部的概率.

2

18. (本小题满分 14 分) 长方体 ABCD-A'B'C'D'中,AB=BC=1,AA'=2, E 是 BB'中点. (1)求证:AC//平面 A'B'C'D'; (2)求证:AC⊥平面 BDD'; (3)求四面体 C'-BD'E 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x. (1)若该函数在 x ?

1 和 x=2 处取得极值,求 a,b 的值; 2

(2)若 b=-2a,函数 f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 是一个正方形. (1)求椭圆的离心率; (2)当该正方形的面积为 18 时,求椭圆的方程; (3)在(2)的条件下,过点 P(0,1)的动直线 l 与该椭圆交于 A,B 两点,求证:以 AB 为 直径的圆恒过定点 M(0, -3).

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? (1)求 a2,a3 的值; (2)求数列 an 的通项公式; (3)求证:当 n≥2 时, 3 ? [1 ? ( ) 2 ] ? an ? 3 ? [1 ? ( ) ] .
n

9 an 6?an .

2 3

n

2 3

3

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.0 12.真 13.3 14. 8.B 9.B 10.A

2 3

15.1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)依题意:△ABC 中

cos A ?
?A?

b2 ? c2 ? a2 1 ? 2bc 2

???????2 分

?
3

????????4 分

? ? 3 ? f ( x) ? sin( A ? x) ? sin( ? 0) ? sin ? 2 3 3
(2) f ( x) ? sin( A ? x) ? sin(

………5 分

?
3

? x)
??????????????????8 分

∴函数 f(x)的最大值 fmax=1

? x ? (0, ? )
∴此时

?
3

?x?

?
2

,即 x ?

?
6

.........................12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:先后两次抛掷一枚均匀的骰子,所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(1,6), (2,1)、(2, 2)、(2,3)、?、(2,6)、?、(6,1)、(6,2)、(6,3)、?、(6,6)共 36 个?3 分 (1)两次点数相同的事件有:(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)共 6 个 所求概率为

6 1 ? 36 6
2 2 3 2

???????6 分

(2)要令点(x,y)在圆 x +y =36 的内部,则 x +y <35 ??8 分 当 x=6 时,6 个点中没有点符合要求 当 x=5 时,6 个点中(5,4)、(5,5)、(5,6)不符合要求 当 x=4 时.6 个点中(4,5)、 (4,6)不符合要求 当 x=3 时,6 个点中(3,6)不符合要求 当 x=2 时,6 个点中(2,6)不符合要求 当 x=1 时,6 个点中(1,6)不符合要求 共 14 个不符合要求,符合要求的有 22 个 ??????11 分 所求的概率为

22 11 ? 36 18

......................... 12 分

18.(本小题满分 14 分) (1)证明:由长方体性质知:平面 ABCD//平面 A'B'C'D' 而 AC ? 平面 ABCD

4

∴AC//平面 A'B'C'D' .................................. 4 分 (2)证明:由长方体性质知:DD'⊥平面 ABCD 而 AC ? 平面 ABCD ∴DD'⊥AC 又∵AB=BC,AB⊥BC ∴BD⊥AC

? BD?DD' ? D
∴AC⊥平面 BDD' (3)解:∵AC⊥平面 BDD',E 在平面 BDD'上 ....................... 9 分

∴C'到平面 BD'E 的距离等于 C 到平面 BDD'的距离,即 △BD'E 中, BE ?

1 2 AC ? 2 2

???9 分

1 BB ' ? 1 ,D'到 BE 的距离等于 DB ? 2 2

????10 分

?S ?

1 2 ?1? 2 ? 2 2

?????11 分

1 2 2 1 ?VC '? BD'E ? ? ? ? 3 2 2 6
19. (本小题满分 14 分) 解:(1) f ' ( x) ? 2ax ? b ?

???14 分

1 2ax2 ? bx ? 1 ? x x

???2 分

依题意: f ' ( ) ? 0, f ' (2) ? 0

1 2

?a ? b ? 2 ? 0 : ? ?? 1 ?4 a ? b ? 2 ? 0 ?

1 ? ?a ? 2 ? ?? ?b ? ? 5 ? 2 ?
? f ' ( x) ? 2ax ? 2a ? 1 2ax2 ? 2ax ? 1 ? x x

??6 分

(2)∵b=-2a

?????7 分

(I)当 a=0 时, f ' ( x ) ?
2

1 ? 0 恒成立,函数 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数 ???8 分 x

(II)当 a>0 时,2ax -2ax-1≤0 在(0,+∞)上不可能恒成立 要令 2ax ? 2ax ? 1 ? 0 在(0,+∞)上恒成立
2

则 ? ? 4a ? 8a ? 0 ,即:0≤a≤2
2

∴0<a≤2 (iii)当 a<0 时, 2ax ? 2ax ? 1 ? 0 在(0,+∞)上不可能恒成立
2

??10 分

5

要令 2ax ? 2ax ? 1 ? 0 在(0,+∞)上恒成立
2

则 ? ? 4a ? 8a ? 0 ,即:0≤a≤2
2

此时 a 不存在 综上所述:0≤a≤2 20. (本小题满分 14 分) (1)解:依题意:b=c

??13 分 ??14 分

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2c 2
∴离心率 e ?

c 2 ? 2 a

…………3 分

(2)解:依题意:正方形边长为 3 2

?a ? 3 2, b ? 3
∴所求方程为:

x2 y2 ? ?1 18 9

????????6 分

(3)证明:当直线 l 的斜率不存在,即 l 与 y 轴重合时,结论显然成立 ???7 分 当直线 l 存在斜率时,设斜率为 k,则 l 的方程为:y-1=kx,A,B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2) ??????????????????8 分 代入椭圆方程 x 2 ? 2 y 2 ? 18 ? 0 整理得: 即: (2k ? 1) x ? 4kx ? 16 ? 0
2 2

? x1 ? x2 ? ?

4k 16 , x1 x2 ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

???????9 分

? y1 ? 1 ? kx1 , y2 ? 1 ? kx2

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ?

4k 2 2 ?2? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

y1 ? y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1 ? x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
?? 16k 2 4k ? 18k 2 ? 1 ?k? 2 ?1 ? 2k 2 ?1 2k 2?1 2k ? 1
?????10 分

? k MA ?

y1 ? 3 y ?3 , k MB ? 2 x1 x2 y1 ? 3 y2 ? 3 ( y1 ? 3) ? ( y2 ? 3) . ? x1 x2 x1 ? x2

? k MA ? k MB ?

6

?

y1 ? y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 9 x1 ? x2
2k 2 ? 1 ? 18k 2 ? 1 2 ( ? 3? 2 ? 9) 2 16 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 ? 18k 2 ? 1 6 18k 2 ? 9 ( ? 2 ? ) ? ?1 2 16 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k ?1
????12 分 ????13 分 ?????14 分

??

??

∴MA⊥MB ∴以 AB 为直径的圆恒过定点 M(0,-3) 21.(本小题满分 14 分) (1)解: a2 ? (2)解:

9a1 9 ? 6?a1 7

a3 ?

9a2 27 ? 6?a2 17

??????2 分

6 ? an 2 1 1 1 ? ? . ? 9an an?1 3 an 9 1 2 1 ? x ? ( ? x) an?1 3 an
1 3
??????4 分



对照系数得: x ? ?

?

1 1 2 1 1 ? ? ( ? ) an?1 3 3 an 3 1 1 ? an 3
?b1 ? 2 3

令 bn ?

2 2 为首项, 为公比的等比数列 3 3 2 2 n?1 2 n ? bn ? ? ( ) ? ( ) 3 3 3
∴数列{bn}是以 ∴由

3n 1 1 2 n (n ? N *) ? ? ( ) 得: an ? n 2 ? 3n?1 an 3 3

??????6 分

(3)证明:

an 3n?1 2n ?1 ? n ?1 ? ? n 3 2 ? 3n?1 2 ? 3n?1

?????8 分

1 2 1 2 1 2 n ? 3n?1 2 ? ( )n ? ? ( )2 ? ? ? ? 1 而 n 3 3 3 3 3 3 3

? 2n ? 3n?1 ? 3n

?

an 2n 2 ?1 ? ? n ? ?( ) n n?1 3 2 ?3 3

7

2 ? an ? 3 ? [1 ? ( ) n ] 3

?????11 分

?2n ? 3n??1 ? 2 2n ? 3n?1 ?

2 2n ? 3n ? 6 2 3
n

n

2n 2n 2 an ? ? n ? ?( ) 2 ? ? 1 ? ? n n?1 3 2 ?3 3 62

2 ? an ? 3 ? [1 ? ( ) 2 ] 3 2 2 ? 3 ? [(1 ? ( ) 2 ] ? an ? 3 ? [1 ? ( ) n ] 3 3
注:如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.
n

n

??14 分

8


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