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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

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成都七中实验学校高二(下)期中考试文科数学试题
一、选择题: (本大共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题所给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置. ) 1.设集合 P ? ?1,2,3,4? , Q ? ?x ? ?? ? x ? 2, x ? R? ,则 P A. ??1 , ? 2,0,1, 2? 2.已知 sin( A. B. ?3 , 4? C. ? 1?

Q 等于
D. ?1 , 2?

?
4

? x) ?

18 25

4 ,则 sin 2 x = 5 7 7 B. C.- 25 25

D.-

16 25

3.下列有关命题说法正确的是 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1”
2 2

“x B.

? ?1”是“x 2 ? 5 x ? 6 ? 0” 的必要不充分条件

C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D .命题 的否定是:“ ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0”

4.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的 时间,为此进行了 4 次试验,收集数据如右表示:

零件数 x(个) 加 工 时 间 y(min)

2 26

3 39

4 49

5 54

? 为 9.4, ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据右表可得回归方程 y
据此可估计加工零件数为 6 时加工时间大约为 A.63.6 min B.65.5 min C.67.7 min D.72.0 min

5.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,则“ f ( x) 不是 奇函数”的充要条件是 A. ?x ? R, f (? x) ? ? f ( x) C. ?x0 ? R, f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) B. ?x ? R, f (? x) ? f ( x) D. ?x0 ? R, f (? x0 ) ? f ( x0 )

x2 y 2 2 x ,则此双曲线的离心率为 6.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? a b 2
A. 3 B. 2 C.

6 2

D.

3 2

。 备 习 复 们 学 同 给 于 强 很 参 性 用 实 套 万 上 了 出 战 奋 数 围 范 题 命 试 考 年 几 近 合 结 , 辑 编 和 理 整 心 精 的 师 教 大 广 过 经

?x ? 0 ? 7.在约束条件 ? y ? 1 ,目标函数 z ? 2 x ? y ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
A.有最大值 2,无最小值 C.有最小值 B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

1 ,最大值 2 2

8.已知 m、n 是两条不同直线, ?、? 是两个不同平面,给出下列命题,其中正确的是 A.若 ?

? ? m , n ? α ,n⊥m,则 α ⊥β

B.若 m∥β ,n∥β , m,n ? α ,则 α ∥β . D.若 m∥α ,n∥β ,m∥n,则 α ∥β

C.若 m⊥α ,n⊥β ,m⊥n,则 α ⊥β

9.如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为

A.

40 3

B.

32 3

C.

16 3

D.

28 3

10.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) 两点, 如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB = A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

11.已知球 O 表面上有三个点 A 、 B 、 C 满足 AB ? BC ? CA ? 3 ,球心 O 到平面 ABC 的距离等于球 O 半 径的一半,则球 O 的表面积为 A. 4? B. 8? C. 12? D. 16? 12.已知 y ? f ? x ? 为 R 上的连续可导函数,且 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则函数 g ? x ? ? xf ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 的零 点个数为 A.0 B.1 C.0 或 1 D.无数个

2
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二、填空题 : (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.方程 x2 ? x ? n ? 0(n ?[0,1] 有实根的概率为 .

14.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ex (a ? R, e为自然对数的底数) ,若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线平行于 x 轴,则 a = . .
结 束

15.如图 1 所示的流程图,输入正实数 x 后,若输出 i ? 4 ,那么输入的 x 的取值范围是 图1 开
始 输入 x i=0 j=10 j<19? 9 否 是 i=i+1 j= j+x 输出 i

16.已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 =4 x 上的两点 A,B 满足 AF =2 FB ,则弦 AB 中点到抛物线准线的距离为 _________.

uuu r

uur

三.解答题:本大题满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 1 17. (本小题满分 10 分)已知 sinβ +cosβ = ,且 0<β <π . 5 (1)求 sinβ cosβ 、sinβ -cosβ 的值; (2)求 10 cos(

?
2

? ? ) ? 5cos(2? ? ? ) ? 3 tan(? ? ? ) 的值.

18. (本小题满分 12 分)某地为了建立幸福指标体系,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者 三个群体的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) . ⑴求研究小组的总人数; ⑵若从研究小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写研究报告,求其中恰好有 1 人来自公务员的概率. 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数

x y
4

19. (本小题满分 12 分)已知曲线 C1:y=x 与 C2:y=-(x-2) ,直线 l 与 C1、C2 都相切,求直线 l 的方程.

2

2

20. (本小题满分 12 分)如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是四棱柱,底面 ABCD 是菱形,
3
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AA1 ? 底面 ABCD , AB ? 2 , ?BAD ? 60o , E 是 AA1 的中点.
⑴求证:平面 BD1 E ? 平面 BB1 D1 D ; ⑵若四面体 D1 ? ABE 的体积 V ? 1 , 求棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的高.

D1 C1 B1

A1

E

D
A B

C

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率为 e ? ,且 C1 的右焦点与抛物线 2 a b 2

C2 : y2 ? 4 3x 的焦点相同。
(1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 经过点 P(-2,0)分别作斜率为 k1 , k2 (k1 ? k2 ) 的两条直线,两直线分别与椭圆 C1 交 于 M、N 两点,当 直线 MN 与 y 轴垂直时,求 k1 ? k2 的值。

1 22. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x- -alnx(a∈R).

x

⑴当 a ?

5 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; 2

⑵若 f ( x) 在 [2, ?) 单调递增,求 a 的取值范围; ⑶讨论 f(x)的单调性.

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成都七 中实验学校高二(下)期中考试文科数学试题 一、选择题:(本大共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题所给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置. ) 1.设集合 P ? ?1,2,3,4? , Q ? ?x ? ?? ? x ? 2, x ? R? ,则 P A. ??1 , ? 2,0,1, 2? 2.已知 sin( A. B. ?3 , 4? C. ? 1 ?

Q 等于
D. ?1 , 2?

?
4

? x) ?

18 25

4 ,则 sin 2 x = 5 7 7 B. C.- 25 25

D .-

16 25

3.下列有关命题说法正确的是 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” B. 的必要不充分条件 “x ? ?1”是“x 2 ? 5 x ? 6 ? 0” C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.命题 的否定是:“ ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0” 4.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的 时间,为此进行了 4 次试验,收集数据如右表示:
2 2

零件数 x(个) 加 工 时 间 y(min)

2 26

3 39

4 49

5 54

? 为 9.4, ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据右表可得回归方程 y
据此可估计加工零件数为 6 时加工时间大约为 A.63.6 min B.65.5 m in C.67.7 min D.72.0 min

5.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,则“ f ( x) 不是奇函数”的充要 条件是 A. ?x ? R, f (? x) ? ? f ( x) C. ?x0 ? R, f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) B. ?x ? R, f (? x) ? f ( x) D. ?x0 ? R, f (? x0 ) ? f ( x0 )

6.已知双曲线

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x ,则此双曲线的离心率为 2 a b 2
B. 2 C.

A. 3

6 2

D.

3 2

?x ? 0 ? 7.在约束条件 ? y ? 1 ,目标函数 z ? 2 x ? y ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
A.有最大值 2,无最小值 B.有最小值 2,无最大值

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C.有最小值

1 ,最大值 2 2

D.既无最小值,也无最大值

8.已知 m、n 是两条不同直线, ?、? 是两个不同平面,给出下列命题,其中正确的是 A.若 ?

? ? m , n ? α ,n⊥m,则 α ⊥β

B.若 m∥β ,n∥β , m,n ? α ,则 α ∥β . D.若 m∥α ,n∥β ,m∥n,则 α ∥β

C.若 m⊥α ,n⊥β ,m⊥n,则 α ⊥β

9.如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为

A.

40 3

B.

32 3

C.

16 3

D.

28 3

10 . 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A ( x1 , y1 ) 、
2

B ( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB =
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

11.已知球 O 表面上有三个点 A 、 B 、 C 满足 AB ? BC ? CA ? 3 ,球心 O 到平面 ABC 的距离等于球 O 半 径的一半,则 球 O 的表面积为 A. 4? B. 8? C. 12? D. 16? 12.已知 y ? f ? x ? 为 R 上的连续可导函数,且 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则函数 g ? x ? ? xf ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 的零 点个数为 A.0 B.1 C.0 或 1 D.无数个 二、填空题 : (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.方程

x2 ? x ? n ? 0 ( n ?[0,1] ) 有实根的概率为



P=

1. 4

14.已知函数 轴,则 a ?

f ( x) ? ax ? 1 ? ex ( a ? R , e 为自然对数的底数),若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x
.a ?e .
输出 i 结 束

15.如图 1 所示的流程图,输入正实数 x 后,若输出 i ? 4 ,那么输入的 x 的取值范围是 图1
开 始 输入 x i=0 j=10 j<19? 9 否 是 i=i+1 j= j+x

14.

9 ? x ? 3; 4
2

16.已知以 F 为焦点的抛物线 y =4 x 上的两点 A,B 满足 AF =2 FB ,则弦 AB 中点到抛 物线准线的距离为 _________.

uuu r

uur

9 4
6
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三.解答题:本大题满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 1 17. (本小题满分 10 分)已知 sinβ +cosβ = ,且 0<β <π . 5 (1)求 sinβ cosβ 、sinβ -cosβ 的值; (2)求 10 cos( 解

?
2

? ? ) ? 5cos(2? ? ? ) ? 3 tan(? ? ? ) 的值.

1 (1)由 sinβ +cosβ = 可得: 5

1 2 2 sin β +2sinβ cosβ +cos β =1+2sinβ cosβ = ; 25 12 于是:sinβ cosβ =- , 25 49 2 (sinβ -cosβ ) =1-2sinβ cosβ = ; 25 ∵sinβ cosβ <0 且 0<β <π ,∴sinβ >0,cosβ <0. 7 于是:sinβ -cosβ = . 5 1 7 (2)由 sinβ +cosβ = ,sinβ -cosβ = . 5 5 4 3 4 可得:sinβ = ;cosβ =- ;tanβ =- . 5 5 3 于是: 10 cos(

?
2

? ? ) ? 5cos(2? ? ? ) ? 3 tan(? ? ? ) = 10sin ? ? 5cos ? ? 3tan ? =1

18. (本小题满分 12 分)某地为了建立幸福指标体系,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者 三个群体的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) . ⑴求研究小组的总人数; ⑵若从研究小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写研究报 告,求其中恰好有 1 人来自公务员的概率. 公务员 教师 自由职业者 相关人员数 32 48 64 抽取人数

x y
4

⒘⑴依题意,

64 48 32 ? ? ……2 分,解得 y ? 3 , x ? 2 ……4 分,研究小组的总人数为 2 ? 3 ? 4 ? 9 4 y x
64 ……4 分, ? 9 ……6 分) 64 ? 48 ? 32

(人)……6 分. (或 4 ?

⑵设研究小组中公务员为 a1 、a2 , 教师为 b1 、b2 、b3 , 从中随机选 2 人, 不同的选取结果有:a1 a2 、a1 b1 、
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a1 b2 、 a1 b3 、 a2 b1 、 a2 b2 、 a2 b3 、 b1 b2 、 b1 b3 、 b2 b3 ……8 分,共10 种……9 分,其中恰好有 1 人
来自公务员的结果有: a1 b1 、 a1 b2 、 a1 b3 、 a2 b1 、 a2 b2 、 a2 b3 ……10 分,共 6 种……11 分,所以恰好 有 1 人来自公务员的概率为 P ?

6 3 (? ? 0.6) ……12 分. 10 5

19. (本小题满分 12 分)已知曲线 C1:y=x 与 C2:y=-(x-2) ,直线 l 与 C1、C2 都相切,求直线 l 的方程. 答案 y=0 或 y=4x-4 解析 设直线 l 与 C1 切于(x1,x1)与 C2 切于点(x2,-(x2-2) ) ∴分别对应的切线方程为: y-x1=2x1(x-x1)即:y=2x1x-x1和 y+(x2-2) =-2(x2-2)(x-x2) 即 y=-2(x2-2)x+(x2-2) (x2+2).
?2x1=- x2- ? ∴? 2 ? ?-x1= x2-
2 2 2 2 2

2

2

x2+

∴x1=0 或 x1=2.

∴l 为:y=0 或 y=4x-4.

20. (本小题满分 12 分)如图 5, ABCD ? A1 B1C1 D1 是四棱柱 ,底面 ABCD 是菱形, AA1 ? 底面 ABCD ,

AB ? 2 , ?BAD ? 60o , E 是 AA1 的中点.
⑴求证: 平面 BD1 E ? 平面 BB1 D1 D ; ⑵若四面体 D1 ? ABE 的体积 V ? 1 , 求棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的高.

D1 A1 B1

C1

E
D A
图5

C

B

⒙⑴设平面 BD1 E ? CC1 ? F , 连接 BF , 则 ?D1 A1 E 与 ?BCF 的对应边互相平行……1 分, 且 A1 D1 ? BC , 所以 ?D1 A1 E ? ?BCF …… 2 分,F 是 CC1 的中点……3 分, 连接 A1C1 、B1 D1 , 因为 AA1 ? 底 面 ABCD , 所以 AA 1 ? A 1C1 , A 1C1 ? BB 1 …… 4 分, ABCD 是菱形, A 1C1 ? B1 D1 ,且 BB 1 ? B1 D1 ? B1 ,所以

A1C1 ? 面 BB1 D1 D ……5 分,因为 E 、F 分别是 AA1 、 CC1 的中点,所以 A1 EFC1 是矩形,EF // A1C1 ,
所 以 EF ? 平 面 BB1 D1 D … … 6 分 , EF ? 平 面 BD1 E ( 即 平 面 BFD , 所 以 , 面 BD1 E ? 面 1E )

BB1 D1 D ……7 分.
⑵因为 AA1 ? 底面 ABCD ,所以 AA1 是棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的高……8 分, AA1 ? 平面 ABB 1A 1 ,平 面 ABB1 A1 ? 底面 ABCD …… 9 分,在底面 A1 B1C1 D1 上作 D1 F ? A1 B1 ,垂足为 F ,面 ABB 1A 1 ?面

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1 A1 B1C1 D1 ? A1 B1 , 所 以 D1 F ? 面 ABB1 A1 … … 10 分 , 所 以 V ? ? S ?ABE ? D1 F … … 11 分 , 其 中 3

S ?ABE ?
V ?

1 1 ? AE ? AB ? AE ? AA1 2 2



D1 F ? A1 D1 ? sin 60o ? 3





12









1 1 ? AA1 ? 3 ? 1 ……13 分,解得 AA1 ? 2 3 ,即棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的高为 2 3 ……14 分. 3 2

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 : 相同。 (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 经过点 P(-2,0)分别作斜率为 k1 , k2 (k1 ? k2 ) 的两条直线,两直线分别与椭圆 C1 交于 M、N 两点,当 直线 MN 与 y 轴垂直时,求 k1 ? k2 的值。

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率为 e ? ,且 C1 的右焦点与抛物 线 C2 : y2 ? 4 3x 的焦点 2 a b 2

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22. (本小题满分 12 分) 1 设函数 f(x)=x- -alnx(a∈R).

x

⑴若 f ( x) 在 [2, ?) 单调递增,求 a 的取值范围; ⑵讨论 f (x)的单调性.

f(x)的定义域为(0,+∞).
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2 1 a x -ax+1 f ′(x)=1+ 2- = . x x x2

令 g(x)=x -ax+1,其判别式 Δ =a -4. (1)当|a|≤2 时,Δ ≤0,f′(x)≥0.故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)当 a<-2 时,Δ >0,g(x)=0 的两根都小于 0.在(0, +∞)上,f′(x)>0. 故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3)当 a>2 时,Δ >0,g(x)=0 的两根为 x1=

2

2

a- a2-4
2

,x2=

a+ a2-4
2

.

当 0<x<x1 时,f′(x)>0;当 x1<x<x2 时,f′(x) <0;当 x>x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.

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