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讲义3:数列求和(学生版)

时间:2011-05-08


讲义 3:数列求和问题
教学目标
1. 熟练掌握等差、等比数列的求和公式; 2. 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

一.基本概念
求和是数列问题中考查的一个重要方面,而且常与不等式、函数等其他知识综合考查,这样可以很好 的考查逻辑推理能力,近几年新课标高考试题中时有出现,因此,这类综合问题有可能成为高考的命题方 向;此类问题的考查虽然考查知识点较多,但是解答离不开通性通法,只要掌握了数列求和的基本方法, 善于观察,合理变形,正确求解就不难. 数列求和的常用方法
主要是针对等差等比数列,直接应用求和公式 分组求和法 把一组需要求和的数列拆分成两组或 两组以上的特殊数列来求和

公 式 法 错位相减法

裂项相消法

数列求和的一般 方法(五种) 方法(五种)

把通项公式是分子为非零常数,分母为非 常数列的等差数列的两项积的形式拆成 两个分式差的形式之后再求和

设数列 数列 乘以

{a n }的等比数列,数列 {bn }是等差数列,求

倒序相加 若某数列中,与首末两项等距离的两相和等 于首末两项和,可采用把正着写的和倒着写 的两个式子相加,就得到一个与常数数列求 和相关的式子

{a n bn }的前 n 项和时,常常将 {a n bn }的各项 {bn } 的公比,并向后错一项与 {a n bn }的同次

项对应相减,即可转化为特殊数列求和

1. 公式法 (一)直接应用等差、等比数列的求和公式; (二)掌握一些常见的数列的前 n 项和:

1 + 2 + 3 +……+n=
2 2 2

n(n + 1) , 2
2
2

n(n + 1)(2n + 1) ? n(n + 1) ? 3 3 3 3 1 + 2 + 3 +……+n = , 1 + 2 + 3 +……+n = ? 等. 6 ? 2 ? ? 2.倒序相加法:如果一个数列 {an } ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这
个数列前 n 项和即可用倒序相加发,如等差数列的前 n 项和就是此法推导的。 3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数 列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。 (1)若 {an } 是公差为 d 的等差数列,则 (2) (3)

1 1? 1 1 ? = ? ? ?; an an +1 d ? an an +1 ?

1 1 1 1 = ( - )(其中{an}是一个公差为 d 的等差数列; anan+m md an an+m

1 1 = a + b a ?b

(

a? b

)
1

二.题型选讲 题型选讲

公式法求和(分组求和 求和) 题型 1:公式法求和(分组求和)
直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法.常用的数列求和公式有: 等差数列求和公式:

等比数列求和公式:

【例 1】已知 log 3 x =

?1 ,求 x + x 2 + x 3 + ? ? ? + x n + ? ? ? 的前 n 项和. log 2 3

分析:本题可先求出 x,而所求和的形式满足等比数列,所以可以直接用等比数列前 n 项和公式求解.

点评:如果计算过程中出现了这些关于 n 的多项式的求和形式,可以直接利用公式。 但是在迎合用等差、 等比数列公式求和时,一定要看清构成等比、等差数列的项数,否则容易出错. 变式 1:求 1 + 11 + 111 + ? ? ? + 111 ? 3 之和. 12? ?1
n个1

变式 2:已知数列 {an } 的通项公式 a n = ?2n + 11 ,如果 bn = a n ( n ∈ N ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和。

变式 3:已知 an = ( n ? 1)( n + 2) ,求数列 {an } 的前 n 项和。

变式 4:Sn= 1

1 1 1 1 + 2 + 3 + ??? + n n 2 4 8 2

变式 5:已知等差数列 {a n } 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求 a 2 + a 4 + L + a 2 n .

题型 2:倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 + an ) .与二项式系数相关联的求和也常用这种方法.
2

题型 3:错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 【例 2】(09 山东文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ∈ N 均在函数 y = b + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上.
x
+

,点 (n, S n ) ,

(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn =

n +1 (n ∈ N + ) 4 an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

分析:本题符合错位相减法求解,即数列的每一项由两部分构成,一部分成等差,另一部分成等比。

点评:数列 na n 是由数列 {n}与 a n 对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减, (课本中的的等比数 列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的) ,但要注意应按以上三种情况进行讨论,最后再综合成 两种情况。而且对于应用等比数列求和时,一定要先注意公比的取值。 变式 1: (07 山东)设数列 {an } 满足 a1 + 3a2 + 3 a3 + … + 3
2 n ?1

{ }

{ }

an =

n * ,a∈N . 3

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)设 bn =

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an

变式 2:(08 全国一)在数列 {an } 中, a1 = 1 , an +1 = 2an + 2 .
n

(Ⅰ)设 bn =

an .证明:数列 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 2n ?1

变式 3:(09 湖北理) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = ?an ? ( ) n ?1 + 2 (n 为正整数) 。 (Ⅰ)令 bn = 2 n an ,求证数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 cn =

1 2

n +1 an , Tn = c1 + c2 + ........ + cn ,求 Tn 。 n

3

题型 4:裂项相消法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然 后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项). 【例 3】 (09 广东文)已知点(1, )是函数 f ( x) = a ( a > 0, 且 a ≠ 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的
x

1 3

前 n 项 和 为 f ( n) ? c , 数 列 {bn } (bn > 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足 S n - S n?1 = ( n ≥ 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

S n + S n ?1

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? . bn bn+1 2009

点评:裂项相消就和是数列求和中的一种重要方法,它通过对通项公式进行整理变形,然后再相加过程中 出现前后项正负抵消或约分的情况,从而求得结果。值得注意的是,利用裂项相消法时,抵消后并不一定 只剩余第一项和最后一项,也有可能剩余前两项和最后两项,另外,将通项公式裂项后,有时需要调整前 面的系数,才能使裂开的两项之差与原通项公式相等. 变式 1:求数列

1 1+ 2

,

1 2+ 3

,? ? ?,

1 n + n +1

,? ? ? 的前 n 项和.

变式 2:求1+

1 1 1 1 + + +L + (n∈N*) 。 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+L n +

变式 3:在数列{an}中, an =

1 2 n 2 + + ??? + ,又 bn = ,求数列{bn}的前 n 项的和. n +1 n +1 n +1 a n ? a n+1

三、巩固训练 1.等差数列{an}中,a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和等于 A.30 B.45 C.90 D.186 2.若等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

(

)

S4 = ( ) a2 15 17 D. A.2 B.4 C. 2 2 an ?1 ? an an ? an +1 3. 如果数列{an}满足 a1=2,2=1, a 且 = (n≥2), 那么这个数列的第 10 项等于 an ?1 an +1 1 1 1 1 B. 9 C. D. A. 10 2 10 2 5
4

(

)

4.数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N 都有:am+n=am+an+mn,则 N

1 1 1 1 + + +L+ = a1 a2 a3 a2008 4016 2008 2007 2007 A. B. C. D. 2009 2009 1004 2008 * 5.数列{an}、{bn}都是公差为 1 的等差数列,若其首项满足 a1+b1=5,a1>b1,且 a1,b1∈N ,则数列{ abn } N
*

前 10 项的和等于 A.100

(

) B.85

C.70

D.55

6.设 S n 和 T n 分别为两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n∈N,都有

Sn 7n + 1 = ,则第一个数列的第 Tn 4n + 27

11 项与第二个数列的第 11 项的比是( ) A.4∶3 B.3∶2 C.7∶4 D.78∶71 7.一个首项为正数的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 项和最大时,n 等于 A.5 B.6 C.7 D.8 8.设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n,则 m 等于 ( )

n(n 2 ? 1) 1 1 1 B. n(n+4) C. n(n+5) D. n(n+7) 3 2 2 2 n-1 9.若 Sn=1-2+3-4+…+(-1) ·n,则 S17+S33+S50 等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 10.阅读下列文字,然后回答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的 最大整数.函数[x]叫做“取整函数” ,也叫高斯函数.它具有以下性质:x-1<[x]≤x<[x+1].请回 答:[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21024]的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 11.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是 1,1,2,…,则{cn}的前 10 项和为 A.978 B.557 C.467 D.979 2 2 2 2 2 2 12.100 -99 +98 -97 +…+2 -1 的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 13.(1)等差数列{an}中,S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20=_______; (2)等比数列{an}中,S4=1,S8=4,则 S12=________. 14.若等差数列的项数 n 为奇数,则该数列的奇数项的和与偶数项的和的比是________. 15.一个有 2001 项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 . 2 2 2 3 2 16.若 1 +2 +…+(n-1) =an +bn +cn,则 a= ,b= ,c= . 17.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第 二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
A. (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有

c1 c2 c3 c + + + L + n = an+1 成立.求 c1+c2+c3+…+c2003 的值. b1 b2 b3 bn

18.已知数列{an}满足 a1=a,an+1=can+1-c,其中 a≠1,c≠0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 a=c=

1 ,bn=n(1-an),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2

5

19.已知{an}、{bn}都是各项为正数的数列,对任意的自然数 n,都有 an、 bn 、an+1 成等差数列, bn 、
2 an+1、 bn+1 成等比数列. (1)试问{bn}是否是等差数列?为什么? 2 2 2 (2)求证:对任意的自然数 p、q(p>q), b p ? q + b p + q ≥ 2b p 成立;

2

2

(3)如果 a1=1,b1=2,求 Sn=

1 1 1 + +L+ . a1 a2 an

20. (08 江西)已知等差数列{an}各项均为正整数,a1=3,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}中,b1=1,且 b2S2 =64,{bn}是公比为 64 的等比数列. (1)求 an 与 bn; (2)证明:

1 1 1 3 + +L+ < . S1 S 2 Sn 4

21.数列{an}中,a1=a,前 n 项和 Sn 构成公比为 q 的等比数列.(q≠1) (1)求证在{an}中,从第 2 项开始成等比数列; 1 50 (2)当 a=2 ,q= 时,设 bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+…+|bn|. 2

22.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an+(-1) ,n≥1. 2 n (1)求证数列{an+ (-1) }是等比数列; 3 (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3)证明:对任意的整数 m>4,有 + +L+ < . a 4 a5 am 8

n

6


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