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高中数学复习学案(第1讲)集合的概念与运算

时间:2010-09-16


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题目 第一章集合与简易逻辑 集合的概念与运算 高考要求 1 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义 2 掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合 3 理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件 的意义 4 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维 品质 知识点归纳 定义:一组对象的全体形成 形成一个集合 形成 特征:确定性、互异性、无序性 表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 韦恩图 分类:有限集、无限集
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数集:自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N * 、空集φ 关系:属于∈、不属于 、包含于 (或 )、真包含于 、集合相等=
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运算:交运算 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; 并运算 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}; 补运算 CU A ={x|x A 且 x∈U},U 为全集 性质:A A; φ A; 若 A B,B C,则 A C; A∩A=A∪A=A; A∩φ=φ;A∪φ=A; A∩B=A A∪B=B A B; A∩C U A=φ; A∪C U A=I;C U ( C U A)=A; C U (A ∪ B)=(C U A)∩(C U B) 方法:韦恩示意图, 数轴分析 注意:① 区别∈与 、 与 、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; 注意 ② A B 时,A 有两种情况:A=φ与 A≠φ
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③若集合 A 中有 n (n ∈ N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 n ,所有真子 集的个数是 2 n -1, 所有非空真子集的个数是 2 n 2
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④ 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 : 如 A = {x | y = x 2 + 2 x + 1} ; B = { y | y = x 2 + 2 x + 1} ;

C = {( x, y ) | y = x 2 + 2 x + 1} ; D = {x | x = x 2 + 2 x + 1} ; E = {( x, y ) | y = x 2 + 2 x + 1, x ∈ Z , y ∈ Z } ;

y F = {( x, y ' ) | y = x 2 + 2 x + 1} ; G = { z | y = x 2 + 2 x + 1, z = } x
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⑤空集是指不含任何元素的集合 {0} 、 φ 和 {φ } 的区别;0 与三者间的关系 空集是任何集
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合的子集,是任何非空集合的真子集 条件为 A B ,在讨论的时候不要遗忘了 A = φ 的情况
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⑥符号 ∈, ” “ 是表示元素与集合之间关系的, 立体几何中的体现 点与直线 (面) 的关系 ; 符号“ , ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系
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题型讲解 例 1 已知 A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+b≤0}且 A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x| x>-2} ,求 a、b 的值
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解:A={x|-2<x<-1 或 x>0}, ,由 A∩B=(0,2]知 x2=2, 设 B=[x1,x2] 且-1≤x1≤0, ① 由 A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1 ② 由①②知 x1=-1,x2=2, ∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2 评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义,熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并 的方法 2 例 2 设集合 P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立},则下列 关系中成立的是 AP Q BQ P C P=Q D P∩Q=Q 2 剖析:Q={m∈R|mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立}, 对 m 分类:①m=0 时,-4<0 恒成立; ②m<0 时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得 m<0 综合①②知 m≤0,∴Q={m∈R|m≤0} 答案:A 评述:本题容易忽略对 m=0 的讨论,应引起大家足够的重视 例 3 已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如果 A ∩B≠ ,求实数 m 的取值范围 剖析: 如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内, 此题的思维方法是很难找到的 事 实上, 集合符号在本题中只起了一种 “化妆品” 的作用, 它的实际背景是 “抛物线 x2+mx-y+2=0 与线段 x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数 m 的取值范围” 这种数学符号与数学语言的 互译,是考生必须具备的一种数学素质
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x 2 + mx y + 2 = 0, 解:由 得 x y + 1 = 0(0 ≤ x ≤ 2),
x2+(m-1)x+1=0 ① ∵A∩B≠ ,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1 当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及 x1x2=1 知,方程①只有负根,不符合要求; (m-1) >0 及 x1x2=1>0 知, 方程①有两个互为倒数的正根 故 当 m≤-1 时, x1+x2=- 由 必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内 综上所述,所求 m 的取值范围是(-∞,-1] 评述: 上述解法应用了数形结合的思想 如果注意到抛物线 x 2 +mx-y+2=0 与线段 x - y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围 建立关于 m 的不等式来解
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例 4 设 A = {x x + 4x = 0}, B = {x x + 2(a + 1) x + a 1 = 0},若B A ,求实数 a 的取值范
2 2 2

围 分析:若满足 B A ,则集合 B 需分两种情况求解
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①集合 A 中的元素 x 是集合 B 中的元素;②集合 B 为空集 解:由 A = {x x 2 + 4 x = 0} = {x x = 0或x = 4} = {0, 4} ∵ B A ,∴ B = 或B = {0}或B = {4}或B = {0, 4}
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当 B = 时 ,即 x + 2( a + 1) x + a 1 = 0 无实根,由 < 0 ,
2 2 2 2 即 4( a + 1) 4( a 1) < 0 ,解得 a < 1 ;

当 B = {0} 时,由根与系数的关系: 0 + 0=-2(a +1),× 0=a 1 a = 1 0
2

当 B = {4} 时,由根与系数的关系: 44 - a +1), ×(4)= 1a∈ = 2( (-4) a
2

2( 0× 当 B = {0, 4} 时,由根与系数的关系: 0 4=- a +1), (4)=a 1 a = 1
2

综上所得 a = 1或a ≤ 1 例 5 求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的自 然数共有多少个? 分析:分析 200 个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满 足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法 解:如图先画出文氏图,不难看出不符合条件 的数共有 5的倍数 (200÷2)+(200÷3)+(200÷5) 2的倍数 -(200÷10)-(200÷6)-(200÷15) 3的倍数 +(200÷30)=146 所以,符合条件的数共有 200-146=54(个)
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3 2 A={1, 2 x 1 }如果 C S A = {0} , 则这样的实数 x 是 例 6 已知全集 S = {1,3, x x 2 x} ,

否存在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由

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分析:此题的关键是理解符号 C S A = {0} 是两层含义: 0 ∈ S且0 A 解:∵ C S A = {0} ∴ 0 ∈ S且0 A ,即 x x 2 x =0,
3 2

解得 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 当 x = 0 时, 2 x 1 = 1 ,为 A 中元素 当 x = 1 时, 2 x 1 = 3 ∈ S 当 x = 2 时, 2 x 1 = 3 ∈ S ∴这样的实数 x 存在,是 x = 1 或 x = 2 另法:∵ C S A = {0}
3 2
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∴ 0 ∈ S 且0 A , 3 ∈ A

∴ x x 2 x =0 且 2 x 1 = 3 ∴ x = 1 或 x = 2 变式思考题:
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同时满足条件: M {1,2,3,4,5}; ②若 a ∈ M , 则6-a ∈ M , ① 这样的集合 M 有多少个,
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举出这些集合来 答案:这样的集合 M 有 8 个:
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,{3},{1, 5},{2, 4},{1,3,5},{2, 3, 4},{1, 2, 4,5}{1, 2,3, 4, 5}

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例 7 某学校艺术班有 100 名学生,其中学舞蹈的学生 67 人,学唱歌的学生 45 人,而学 乐器的学生既不能学舞蹈,又不能学唱歌,人数是 21 人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少 人? 解:设学舞蹈的学生有 x 人,学唱歌的人有 y 人, 100 既学舞蹈又学唱歌的人又 z 人, 舞蹈 歌唱 z 由题意可列方程: y x

x + z = 67 y + z = 45 x + y + z = 79

x = 34 解得 y = 22 z = 33
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所以,同时学舞蹈和唱歌的有 33 人

2 例 8 对 于 集 合 A = {x x 4ax + 4a 3 = 0} , B ={x x 2 2x + a + a + 2 = 0} 是 否 存 在 实 数

2

2

a, 使A U B = ?若存在,求出 a 的取值,若不存在,试说明理由
解:Q A U B = ∴ A = B = , 即二次方程:

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x 2 4ax + 4a 3 = 0与x 2 2 2 x + a 2 + a + 2 = 0均无实数解 ,

1=4a 2 4(4a 3) < 0 ,解之得 1 < a < 2 ∴ 2 = 8a 2 4( a 2 + a + 2) < 0
故存在实数 a且a ∈ {a 1 < a < 2}, 使A U B =
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2 例 9 已知集合 A = {m, m + d , m + 2d }, B = {m, mq, mq } , 其中m ≠ 0 ,

且A = B ,求 q 的值

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解:由 A = B 可知, (1)

m + d = mq
2 m + 2d = mq

,或(2)

m + d = mq 2 m + 2d = mq

解(1)得 q = 1 , 解(2)得 q = 1, 或q =

1 2

又因为当 q = 1 时, m = mq = mq 2 与题意不符 所以, q =

1 2

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例 10 已知 R 为全集, A ={x | log1 (3 x) ≥2}, B = {x |
2

5 ≥ 1}, 求CR A I B x+2

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解:由 log 1 (3 x ) ≥ 2可解得-1 ≤ x < 3
2

所以 A = {x | 1 ≤ x < 3}, 故CR A = {x | x < 1,或x ≥ 3} 由

5 ≥ 1,可解得 2 < x ≤ 3, 故B = {x | 2 < x ≤ 3} x+2

∴CR A I B = {x x < 1, 或x ≥ 3} I {x | 2 < x ≤ 3} = {x | 2 < x < 1, 或x = 3}
2 例 11 已知集合 A = {1,1}, B = {x | x 2ax + b = 0}, 若B ≠ 且A U B = A ,求 a, b 的值
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解:Q A U B = A, B ≠ ∴ B A且B ≠ , 故B有两种存在情况: (1)当 B 含有两个元素时: B = A = {1,1}, 此时a = 0, b = 1 ; (2)当 B 含有一个元素时: = 4a 4b = 0 a = b
2 2

若 B = {1}时,有a 2 2a + 1 = 0,∴ a = 1, b = 1 若 B = {1}时,有a 2 + 2a + 1 = 0,∴ a = 1, b = 1 综上可知:

a = 0 a=1 a = 1 , 或 ,或 b = 1 b=1 b = 1

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小结: 小结 1 正确理解集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性; 2 用列举法或描述法给出集合,考察元素与集合之间的元素;或不给出集合中的元素,但 只给出若干个抽象的集合及某些关系,运用文氏图解决有关问题 3 熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算 4 注意符号的理解,相互之间的转化:例如 AI B = A A B AU B = B 等等
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学生练习 题组一: 1 已知集合 M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合 M∩N 等于 A {x|x<-2} B {x|x>3} C {x|-1<x<2} D {x|2<x<3} 解析:M={x|x2<4}={x|-2<x<2}, N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},结合数轴, ∴M∩N={x|-1<x<2} x - 2 -1 o 1 2 3 答案:C
源 源 源

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源 源 源 源 源 源 源 源















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2 已知集合 A={x∈R|x<5- 2 },B={1,2,3,4},则( CR A)∩B 等于
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A {1,2,3,4}
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B {2,3,4}
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C {3,4}
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D {4}
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, 解析: CR A={x∈R|x≥5- 2 },而 5- 2 ∈(3,4)
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∴( CR A)∩B={4}

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答案:D 3 设集合 P={1,2,3,4,5,6},Q={x∈R|2≤x≤6},那么下列结论正确的是 A P∩Q=P B P∩Q Q C P∪Q=Q D P∩Q P 解析:P∩Q={2,3,4,5,6},∴P∩Q P 答案:D 4 设 U 是全集,非空集合 P、Q 满足 P Q U,若求含 P、Q 的一个集合运算表达式,使 运算结果为空集 ,则这个运算表达式可以是______ 解析:构造满足条件的集合,实例论证 U={1,2,3} ,P={1} ,Q={1,2} ,
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则( CU Q)={3} ( CU P)={2,3},易见( CU Q)∩P= , 答案: CU Q)∩P (

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5 已知集合 A={0,1} ,B={x|x∈A,x∈N*} ,则 A、B、C 之间的 N ,C={x|x A}
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关系是________ {1}{0} , ,A} ,易见其关系 这里 A、B、C 解析:用列举法表示出 B={1} ,C={ , 是不同层次的集合,C 以 A 的子集为元素,同一层次的集合可有包含关系,不同层次的集合 之间只能是从属关系 答案:B A,A∈C,B∈C 题组二: 2 1 设全集为实数集 R,集合 M={x|x 1999x2000>0},P={x||x1999|<a}(a 为常数),且1∈P, 则 M 与 P 满足 ( )
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(A) CR M U P = R (C) CR M U CR P = R

(B) M U CR P = R (D) M ∪ P = R

2.若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a5},B={x|3≤x≤22},则能使 AB 成立的所有 a 的集合是( ) (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D) 2 3.设集合 A={x|x <a} ,B={x|x<2},若 A∩ B=A,则实数 a 的取值范围是( ) (A)a<4 (B)a≤4 (C)0<a≤4 (D)0<a<4 4.若{1,2} A{1,2,3,4,5}, 则满足这一关系的集合 A 的个数为 2 5.设集合 A={x|x +x1=0},B={x|ax+1=0},若 B A,则实数 a 的不同取值个数为 2 2 6 设全集 I=R,集合 A={x|x x2= y ,y∈ R,y≠0},B={y|y=x+1,x∈A},则
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CI ( A I B) =

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7.若集合 A={32x,1,3} ,B={1,x },且 A∪ B=A,求实数 x
2

2

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8.设全集 I=R,A={x| x + 1 ≤0},B={x|lg(x 2)=lgx},求 A∩ CI B
2 2 2 2

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9.已知集合 A={y|y (a +a+1)y+a(a +1)>0},B={y|y=x /2x+5/2,0≤x≤3},若 A∩ B=,求实数 a 的取值范围 10.已知集合 A={x|6/(x+1)≥1},B={x|x22x+2m<0,x∈R},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围
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11.已知 A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x| 3 数 a 的值 参考答案: 1 D 2. B
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x 2 7 x +10

=1},且 A∩B,A∩C=,求实

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3. B

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4. 7 8. {1}
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5. 3

6 (∞,0]∪[2,+∞) 7. x= 3 或 x= ± 3
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9. a≤ 3 或 3 ≤a≤2
源 源 源

10. m≥3/2

11. a= 5

课前后备注

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