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2014高考数学一轮汇总训练《二次函数与幂函数 》理 新人教A版

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第五节

二次函数与幂函数

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解幂函数的概念.

怎 么 考 1.以集合为载体,考查二次方程的解集,二次函数

1 2.结合函数 y=x, =x , =x , = , 的定义域、值域或二次不等式的解集,如 2012 年北 y 2 y 3 y x

y=x 的图象,了解它们的变化情况.
3.掌握二次函数的概念、图象特征. 4.掌握二次函数的对称性和单调性, 会 求二次函数在给定区间上的最值. 5.掌握二次函数、二次方程、二次不等 式之间的密切关系, 提高解综合问题的 能力.

1 2

京 T1,浙江 T1 等. 2.以二次函数的图象为载体,利用数形结合的思想 解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上 的最值以及与此有关的参数范围的问题,如 2012 年 北京 T4 等. 3.一元二次方程根的分布也是高考考查的重点,如 2012 年江苏 T13 等.

[归纳·知识整合] 1.二次函数的解析式 (1)一般式:f(x)=ax +bx+c(a≠0); (2)顶点式: 若二次函数的顶点坐标为(h, ), k 则其解析式为 f(x)=a(x-h) +k(a≠0); (3)两根式:若相应一元二次方程的两根为 x1,x2,则其解析式为 f(x)=a(x-x1)(x-
2 2

x2)(a≠0).
2.二次函数的图象和性质

a>0
图象 定义域

a<0

X∈R

1

值域

?4ac-b ,+∞? ? 4a ? ? ?
在?-∞,- ?上递减,在 2a? ?

2

?-∞,4ac-b ? ? 4a ? ? ?
在?-∞,- ?上递增,在 2a? ?

2

?

b?

?

b?

单调性

?- b ,+∞?上递增 ? 2a ? ? ?

?- b ,+∞?上递减 ? 2a ? ? ?

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 既不是奇函数也不是偶函数
①对称轴:x=- ; 2a

b

图象特点

? b 4ac-b ? ②顶点:?- , ? 4a ? ? 2a
2 2

2

[探究]

1.ax +bx+c>0(a≠0)与 ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的条件分别是什么?其

几何意义如何?
? ?a>0, 2 提示:(1)ax +bx+c>0 恒成立的充要条件是? ? ?Δ <0,

其几何意义是抛物线恒在 x 轴

上方;
?a<0, ? 2 (2)ax +bx+c<0 恒成立的充要条件是? ? ?Δ <0,

其几何意义是抛物线恒在 x 轴下方.

3.幂函数的定义 形如 y=x (α ∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 4.五种幂函数的图象
α

5.五种幂函数的性质 函数 特征 性质 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞)
2

y=x

y=x2

y=x3

1

y=x 2

y=x-1

值域

R

[0,+∞)

R

[0,+∞)

奇偶性







非奇非偶



x∈(0,+∞)
单调性 增

x∈[0,+∞) 时,增 x∈(-∞,0] 时,减





时,减

x∈(-∞,0)
时,减

[探究] 2.为何幂函数在第四象限没有图象?幂函数的图象最多出现在几个象限内? 提示:幂函数 y=x ,当 x>0 时,根据幂运算,幂函数 y=x >0 恒成立,所以幂函数在 第四象限没有图象;幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. 1 1 2 3 3.函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y= 在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数 2 x 的大小有什么关系? 提示:在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下. [自测·牛刀小试] 1.如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称,且过点(0,0),则此二次函数 的解析式为(
2 α α

) B.f(x)=-(x-1) +1
2 2

A.f(x)=x -1 C.f(x)=(x-1) +1

D.f(x)=(x-1) -1

2

解析: D 由图象开口向上且关于直线 x=1 对称, 选 可排除 A、 选项; B 由图象过点(0,0) 可排除 C 选项. 2.已知函数 f(x)=ax +x+5 在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1? ? A.?0, ? ? 20? C.? 1? ? B.?-∞,- ? 20? ?
2

)

? 1 ,+∞? ? ?20 ?
2

? 1 ? D.?- ,0? ? 20 ?

解析:选 C ∵函数 f(x)=ax +x+5 在 x 轴上方, ∴?
?a>0, ? ? ?Δ =1-20a<0,

1 即 a> . 20
2

3.(教材习题改编)已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2, 则 m 的取值范围为( A.[0,1] C.(1,2] ) B.[1,2] D.(1,2)

解析:选 B 如图,由图象可知 m 的取值范围[1,2].

3

4.(教材习题改编)如图中曲线是幂函数 y=x 在第一象限的图象.已 1 知 n 取±2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( 2 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 )

n

解析:选 B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知, 曲线 C1,C2,C3,C4 所对应的

n 依次为 2, ,- ,-2.
5.(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________. 3 2 x -1 2 ①y=2 ;②y=2x ;③y=(x+2) ;④y= x ; ⑤y= 1

1 2

1 2

x

.

1 1 3 2 2 解析:y= x =x ,y= =x- 故④⑤为幂函数. 3 2 x 答案:④⑤

4

二次函数的解析式

[例 1] 已知二次函数 f(x)同时满足以下条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根的立方和等于 17. 求 f(x)的解析式. [自主解答] 依条件,设 f(x)=a(x-1) +15(a<0), 即 f(x)=ax -2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax -2ax+a+15=0, 15 则 x1+x2=2,x1x2=1+ .
2 2 2

a

而 x1+x2=(x1+x2) -3x1x2(x1+x2) 90 ? 15? 3 =2 -3×2×?1+ ?=2- .

3

3

3

?

a?

a

90 即 2- =17,则 a=-6.

a

故 f(x)=-6x +12x+9.

2

在本例条件下,若 g(x)与 f(x)的图象关于坐标原点对称,求 g(x)的解析式. 解:设 p(x,y)是函数 g(x)图象上的任意一点,它关于原点对称的点 p′(-x,-y)必 在 f(x)的图象上. 则-y=-6(-x) +12(-x)+9, 即 y=6x +12x-9. 故 g(x)=6x +12x-9. ————— —————————————— 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般 用待定系数法,选择规律如下:
2 2 2

5

1.已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),它在 x 轴上截得的线段长为 2,并且对任意

x∈R,都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式.
解:∵f(2-x)=f(2+x)对 x∈R 恒成立,∴f(x)的对称轴为 x=2. 又∵f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2,∴f(x)=0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1.∴所求 f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)·(x-3),即 f(x)=x -4x+3. 二次函数的图象和性质
2

[例 2] (2013·盐城模拟)已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. [自主解答] (1)当 a=-2 时,

2

f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1.
又∵x∈[-4,6], ∴函数 f(x)在[-4,2]上为减函数,在[2,6]上为增函数. ∴f(x)max=f(-4)=(-4-2) -1=35,
2

f(x)min=f(2)=-1.
(2)∵函数 f(x)=x +2ax+3 的对称轴为 x=-a, 且 f(x)在[-4,6]上是单调函数, ∴-a≥6 或-a≤-4,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x +2x+3, ∴f(|x|)=x +2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x +2x+3,x∈? 0,6], ? 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],
2 2 2 2

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].
6

—————

—————————————— 解决二次函数图象与性 质时的注意点

(1)分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次 函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判 断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断, 如函数图象与正半轴的交点, 函数图象的 最高点与最低点等. ? 2? 抛物线的开口,对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定

一不定,要注意分类讨论.

2.已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b (a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小 值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m·x 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解:(1)f(x)=a(x-1) +2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故?
? ?f? ? ?f?
2

2

3? =5, 2? =2,

? ?9a-6a+2+b=5, ?? ? ?4a-4a+2+b=2,

??

? ?a=1, ? ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数, 故?
?f? ? ? ?f?

3? =2, 2? =5,

?9a-6a+2+b=2, ? ?? ? ?4a-4a+2+b=5,
2

??

?a=-1, ? ? ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x -2x+2.

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
∵g(x)在[2,4]上单调, ∴ 2+m m+2 ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 2 2 幂函数的图象和性质

2? ?1 [例 3] 已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图 ?8 4 ? 象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2); ③

f? x1? f? x2? f? x1? f? x2? > ;④ < . x1 x2 x1 x2
)

其中正确结论的序号是(

7

A.①② C.②④

B.①③ D.②③
1

2 ?1?α ?1?α ?1? α [自主解答] 法一:依题意,设 f(x)=x ,则有? ? = ,即? ? =? ? 2 ,所以 α = 8? 4 ? ?8? ?8? 1 ,于是 f(x)=x 2 . 2
1 1

由于函数 f(x)=x 2 在定义域[0, +∞)内单调递增, 所以当 x1<x2 时, 必有 f(x1)<f(x2), 从而有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因为

f? x1? f? x2? , 分别表示直线 OP、OQ 的斜率, x1 x2 f? x1? f? x2? > ,所以③正 x1 x2

结合函数图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故 确.

2 ?1?α ?1? 1 ?1?α α 法二: f(x)=x , 设 则有? ? = 即? ? =? ? 2 , 所以 α = , 所以 f(x)=x 2 .设 g(x) 4 ?8? 2 ?8? ?8? =xf(x)=x ,因为 g(x)=x 在定义域内是增函数,当 x1<x2 时,必有 x1f(x1)<x2f(x2), 所以②正确;设 h(x)= 所以当 x1<x2 时, [答案] D ————— —————————————— 幂函数 y=x 图象的特征 (1)α 的正负;α >0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α <0 时,图象 不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α >1 时,曲线下凸; 0<α <1 时,曲线上凸;α <0 时,曲线下凸. (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
α

1

1

3 2

3 2

? ? f? x? 即 h(x)=x 2 ,因为 h(x)=x 2 在定义域内是减函数, x

1

1

f? x1? f? x2? > ,所以③正确. x1 x2

3.幂函数 y=x

m -2m-3

2

(m∈Z)的图象如图所示,则 m 的值为(

)

8

A.-1<m<3 C.1

B.0 D.2
2

解析:选 C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故 m -2m-3<0, 即-1<m<3;又从图象看,函数是偶函数,故 m -2m-3 为负偶数,将 m=0,1,2 分别代入, 可知当 m=1 时,m -2m-3=-4,满足要求. 4.当 0<x<1 时,f(x)=x ,g(x)=x ,h(x)=x 的大小关系是________. 解析:如图所示为函数 f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此 可知 h(x)>g(x)>f(x). 答案:h(x)>g(x)>f(x)
1.1 0.9 -2 2 2

? 1 类最值——二次函数在给定区间上的最值 二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值, 且只能在区间的端点或顶点处取得. 对于 “轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形, 要借助二次函数的图象特征, 抓住顶点的横坐 标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论求解. ? 2 种思想——数形结合与分类讨论思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时 候常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称 轴与给定区间的位置关系,讨论二次不等式根的大小等. ? 5 种方法——二次函数对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)图象 的对称轴方程为 x=

x1+x2
2

.

(2)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,那么函数 y =f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). (3)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x, 都有 f(x+2a)=f(-x), 那么函数 y=f(x) 图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). 注意:(2)(3)中, f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(-x)是等价的. (4)利用配方法求二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴方程为 x=- . 2a (5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对应方程 f(x)=0 的两根为 x1,
2

b

x1+x2 x2,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= .
2

9

数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值, 当函数解析式中含有参数时,要根据参数的最值情况进行分类讨论. [典例] (2013·青岛模拟)已知 f(x)=ax -2x(0≤x≤1),求 f(x)的最小值. [解] (1)当 a=0 时,f(x)=-2x 在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. 1 2 (2)当 a>0 时,f(x)=ax -2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为 x= .
2

a

1 2 ①当 ≤1,即 a≥1 时,f(x)=ax -2x 的图象对称轴在[0,1]内,

a

? 1? ?1 ? ∴f(x)在?0, ?上递减,在? ,1?上递增. ?
a?

?a

?

1 ?1? 1 2 ∴f(x)min=f? ?= - =- .

?a? a a

a

1 2 ②当 >1,即 0<a<1 时,f(x)=ax -2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧,

a

∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. 1 2 (3)当 a<0 时,f(x)=ax -2x 的图象的开口方向向下,且对称轴 x= <0,在 y 轴的左

a

侧, ∴f(x)=ax -2x 在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.
2

?a-2,a<1, ? 综上所述 f(x)min=? 1 ?-a,a≥1. ?
[题后悟道] 二次函数 f(x)=ax +bx+c(不妨设 a>0)在区间[m,n]上的最大或最小值如下: (1)当- ∈[m,n],即对称轴在所给区间内时,f(x)的最小值在对称轴处取得,其值 2a
2

b

? b ? 4ac-b ,f(x)的最大值在离对称轴较远的端点处取得,它是 f(m),f(n)中的 是 f?- ?= 4a ? 2a?
较大者. (2)当- ?[m,n],即给定的区间在对称轴的 一侧时,f(x)在[m,n]上是单调函数.若 2a

2

b

10

- <m,f(x)在[m,n]上是增函数,f(x)的最小值是 f(m), 最大值是 f(n); n<- ,f(x) 若 2a 2a 在[m,n]上是减函数,f(x)的最小值是 f(n),最大值是 f(m). [变式训练] 1.设函数 y=x -2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 解: ∵函数 y=x -2x=(x-1) -1, ∴对称轴为直线 x=1, x=1 不一定在区间[-2, 而
2 2 2

b

b

a]内,应进行讨论.而-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-
2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=- 1.
?a -2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ? ?-1,a≥1.
2

2.(2013·玉林模拟)是否 存在实数 a,使函数 f(x)=x -2ax+a 的定义域为[-1,1] 时,值域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解:f(x)=x -2ax+ a=(x-a) +a-a . 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数, ∴?
?f? ? ? ? f?
2 2 2

2

-1?

=1+3a=-2,

1? =1-a,

解得 a=-1(舍去);

? ?f? 当-1≤a≤0 时,? ? ?f? ?f? ? 当 0<a≤ 1 时,? ? ?f?

a? =a-a2=-2,
1? =1-a=2,

解得 a=-1.

a? =a-a2=-2,
-1? =1+3a=2,

a 不存在.

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数, ∴?
?f? ? ?f? ?

-1?

=1+3a=2,

1? =1-a,

a 不存在.

综上可知 a=-1.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知点? A.奇函数 C.定义域内的减函数 解析:选 A 设 f(x)=x ,由已知得?
α -1

? 3 ? , 3?在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)是( ?3 ?
B.偶函数

)

D.定义域内的增函数

? 3? α ? = 3, ?3?

解得 α =-1,因此 f(x)=x ,易知该函数为奇函数.
11

2.(2013·临沂模拟)已知函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图 象是( )

2

解析:选 D ∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,∴y=ax +bx+c 的开口向上,且与

2

y 轴的交点(0,c)在负半轴上.
3.已知函数 f(x)=x +bx+c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 解析:选 C ∵f(1+x)=f(-x), ∴(x+1) +b(x+1)+c=x -bx+c. ∴x +(2+b)x+1+b+c=x -bx+c. ∴2+b=-b,即 b=-1. 1 2 ∴f(x)=x -x+ c,其图象的对称轴为 x= . 2 ∴f(0)<f(2)<f(-2). 4.若二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( A.- 2a C.c
2 2 2 2 2 2

)

)

b

B.- D.

b a
2

4ac-b 4a

解析:选 C ∵f(x1)=f(x2)且 f(x)的图象关于 x=- ∴f(x1+x2)=f?- ?=a· 2-b· +c=c. a

b b 对称,∴x1+x2=- . 2a a

? b? ? ?

b2 a

b a

5.已知函数 f(x)=x +x+c,若 f(0)>0,f(p)<0,则必有( A.f(p+1)>0 C.f(p+1)=0 B.f(p+1)<0

2

)

D.f(p+1)的符号不能确定

1 2 解析:选 A 函数 f(x)=x +x+c 的对称轴为 x=- ,又因为 f(0)>0,f(p)<0,故 2 -1<p<0,p+1>0,所以 f(p+1)>0.

12

6.(2013·温州模拟)方程 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为 ( )

2

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ? ? 23 ? C.?- ,1? ? 5 ?
解析:选 C 令 f(x)=x +ax-2,
2

B.(1,+∞) 23? ? D.?-∞,- ? 5? ?

由题意,知 f(x)图象与 x 轴在[1,5]上有交点, 则?
?f? ? ? ?f?

1? ≤0, 5? ≥0.

23 解得- ≤a≤1. 5

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012·江苏高考)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于
2

x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.
解析:因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以 Δ =0,即 a =4b,所以 x +ax+ -c<0 4 的解集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x +ax+ -c=0 的两根,由一元二次方程根与 4
2 2 2

a2

a2

?2m+6=-a, ? 系数的关系得? a2 ?m? m+6? = 4 -c, ?
答案:9

解得 c=9.

8.若二次函数 f(x)=ax +2x+c 的值域是[0,+∞),则 a+c 的最小值为________. 4ac-4 解析:由已知 a>0, =0, 4a ∴ac=1,c>0. ∴a+c≥2 ac=2.当且仅当 a=c=1 时,取等号, ∴a+c 的最小值为 2. 答案:2 9.已知函数 y = mx +? m-3? ________. 解析:当 m=0 时,y= -3x+1,显然成立. 当 m≠0 时,要使 y∈[0,+∞),
?m>0, ? 只要? ? ?Δ =? m-3?
2

2

x+1的值域是[0,+∞),则实数 m 的取值范围是

2

-4×m×1≥0,

解得 0<m≤1 或 m≥9.

13

综上 m 的取值范围是[0,1]∪[9,+∞). 答案:[0,1]∪[9,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a, f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3}, 且 方程 f(x) +6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0), 则 f(x)=ax -4ax+3a-2x,
2

f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,Δ =(4a+2)2-36a2=0,
16a +16a+4-36a =0,20a -16a-4=0, 5a -4a-1=0,(5a+1)(a-1)=0, 1 解得 a=- ,或 a=1(舍去). 5 1 2 6 3 因此 f(x)的解析式为 f(x)=- x - x- . 5 5 5 11.已知 f(x)=-4x +4ax-4a-a 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值及函数表达 式 f(x). 解:∵f(x)=-4?x- ? -4a, ? 2?
2 2 2 2 2 2

?

a?2 a

? ? ∴抛物线顶点坐标为? ,-4a?. ?2 ?
①当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a . 2 令-4-a =-5,得 a =1,a=±1<2(舍去); ②当 0< <1,即 0<a<2 时,x= 时, 2 2
2 2

a

2

a

a

f(x)取最大值为-4a.
5 令-4a=-5,得 a= ∈(0,2); 4 ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减, 2 ∴x=0 时,f(x)取最大值为-4a-a , 令-4a-a =-5,得 a +4a-5=0,解得 a=-5,或 a=1,其中-5∈(-∞,0]. 5 综上所述,a= 或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值-5. 4 105 2 2 ∴f(x)=-4x +5x- 或 f(x)=-4x -20x-5. 16 12.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
14
2 2 2 2

a

(1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
? ?f? x? ,x>0, F(x)=? ? ?-f? x? ,x<0,

求 F(2)+F(-2)的值;

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)由已知 c=1,∵f(-1)=a-b+c=0,且- =-1, 2a ∴a=1,b=2.
?? x+1? ,x>0, ? ∴f(x)=(x+1) .∴F(x)=? 2 ? ?-? x+1? ,x<0.
2 2

b

∴F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8. (2)由题意知 f(x)=x +bx,原命题等价于 1 1 2 -1≤x +bx≤1 在 x∈(0,1]上恒成立, b≤ -x 且 b≥- -x 在 x∈(0,1]上恒成立, 即
2

2

2

x

x

1 根据单调性可得 -x 的最小值为 0,

x

1 - -x 的最大值为-2,所以-2≤b≤0.

x

故 b 的取值范围为[-2,0]

1.已知函数 f(x)=ax -(3-a)x+1,g(x)=x,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)至少 有一个为正数,则实数 a 的取值范围是( A.[0,3) C.[1,9) ) B.[3,9) D.[0,9)
2

2

解析:选 D 据题意只需转化为当 x≤0 时,ax -(3-a)x+1>0 恒成立即可.结合 f(x) 3-a 2 =ax -(3-a)x+1 的图象, a=0 时验证知符合条件. a≠0 时必有 a>0, x= 当 当 当 ≥0 2a 时, 函数在(-∞, 0)上单调递减, 故要使原不等式恒成立, 只需 f(0)>0 即可, 解得 0<a≤3; 3-a ?3-a?>0 即可,解得 3<a<9,综上所述可得 a 的取值范围是 0≤a 当 x= <0 时,只需 f ? ? 2a ? 2a ? <9. 2.已知函数 f(x)=(m -m-1)x 是增函数? 解:∵函数 f(x)=(m -m-1)x
2 2 -5m-3 2 -5m-3

,m 为何值时,f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上

是幂函数,

∴m -m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,-5m-3=-13,函数 y=x
-13

在(0,+∞)上是减函数;
15

当 m=-1 时,-5m-3=2,函数 y=x 在(0,+∞)上是增函数. ∴m=-1. 3.已知 f(x)=x +3x-5,x∈[t,t+1],若 f(x)的最小值为 h(t),写出 h(t)的表达 式. 解:如图所示, 3 函数图象的对称轴为 x=- , 2 3 5 (1)当 t+1≤- ,即 t≤- 时, 2 2
2

2

h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5,
5? ? 2 即 h(t)=t +5t-1?t≤- ?. 2? ? 3 (2)当 t≤- <t+1, 2 5 3 即- <t≤- 时, 2 2

h(t)=f?- ?=- . 2
3 2 (3)当 t>- 时,h(t)=f(t)=t +3t-5. 2 综上可得,

? 3? ? ?

29 4

? ? 29? 5 3?? h(t)=?- ?-2<t≤-2?, 4? ? ?t +3t-5??t>-3??. ? 2? ?
2

t2+5t-1?t≤- ?, 2

? ?

5?

4.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象 是顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图;

(3)写出函数 f(x)的值域.
16

解:(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3) +4,将(2,2)代 入可得 a=-2, 所以 y=-2(x-3) +4, 即 x>2 时,f(x)=-2x +12x-14. 又 f(x)为偶函数,当 x<-2,即-x>2 时,
2 2

2

f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14,
即 f(x)=-2x -12x-14. 故函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为
2

f(x)=-2x2-12x-14.
(2)函数 f(x)的图象如图:

(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4].

17


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