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(北师大版)2018-2019年度高中数学必修2同步习题-:第一章立体几何初步 1.4.1(含解析)

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§4 空间图形的基本关系与公理 第 1 课时 平面性质 ) 1.两个平面重合的条件是( A.有四个公共点 B.有无数个公共点 C.有一条公共直线 D.有两条相交公共直线 解析:由两条相交直线确定一个平面知 D 选项正确. 答案:D 2.与“直线 l 上两点 A,B 在平面 α 内”含义不同的是( A.l?α B.直线 l 在平面 α 内 C.直线 l 上只有这两个点在平面 α 内 D.直线 l 上所有的点都在平面 α 内 答案:C 3.有下列说法: ) ①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合. 其中正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3 解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定 1 个 平面,三条平行直线确定 1 个或 3 个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上, 故③错误. 答案:B 4.设 P 表示一个点,a,b 表示两条直线,α,β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是 ( ) ①P∈a,P∈α?a?α; ②a∩b=P,b?β?a?β; ③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α; ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b. A.①② 答案:D 5.三棱台 ABC-A'B'C'的一条侧棱 AA'所在直线与平面 BCC'B'之间的关系是( ) B.②③ C.①④ D.③④ A.相交 B.平行 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢 复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交. 答案:A 6. 如图所示,平面 α∩平面 β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且 C?l,则平面 ABC 与平面 β 的交线是( A.直线 AC C.直线 AB B.直线 BC D.直线 CD ) 解析:由题意知,平面 ABC 与平面 β 有公共点 C,根据公理 3,这两平面必定相交,有且只有一条经 过 C 的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点 D 在 直线 AB 上,从而它在平面 ABC 内,而点 D 又在直线 l 上,所以它又在平面 β 内,所以点 D 也是平 面 ABC 与平面 β 的公共点.因此平面 ABC 与平面 β 的交线是直线 CD. 答案:D 7.已知点 P 在平面 α 外,点 A,B,C 在平面 α 内且不共线,A',B',C'分别在 PA,PB,PC 上,若 A'B',B'C',A'C'与平面 α 分别交于 D,E,F 三点,则 D,E,F 三点( A.成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.在一条直线上 ) 解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知 D,E,F 三点共线,故选 D. 答案:D 8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1 的中点,那么,正方体的过 P,Q,R 的 截面图形是( ) A.三角形 C.五边形 B.四边形 D.六边形 解析:如图所示,作 GR∥PQ 交 C1D1 于 G,延长 QP 与 CB 延长线交于 M,连接 MR 交 BB1 于 E,连 接 PE. 同理延长 PQ 交 CD 延长线于点 N,连接 NG 交 DD1 于 F,连接 QF. 所以截面 PQFGRE 为六边形.故选 D. 答案:D 9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线 图形. 解析:由公理 1,2 知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形. 答案:相交 10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系 是 时,能得到一个平面 . 解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面 相交. 答案:平行或相交 11.过已知直线 a 外的一点 P,与直线 a 上的四个点 A,B,C,D 分别画四条直线,求证:这四条直线 在同一平面内. 证明: 如图所示, 因为点 P 在直线 a 外, 所以过直线 a 及点 P 可作一平面 α, 因为 A,B,C,D 均在 a 上, 所以 A,B,C,D 均在 α 内, 所以直线 PA,PB,PC,PD 上各有两个点在 α 内, 由公理 2 可知,直线 PA,PB,PC,PD 均在平面 α 内, 故这四条直线在同一平面内. 12.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,M,N 分别是 AA1,D1C1 的中点,过 D,M,N 三点 的平面与正方体下底面相交于直线 l.试画出直线 l 的位置,并说明理由. 解:如图所示,连接 DM 并延长,交 D1A1 的延长线于点 P',连接 NP',则直线 NP'即为所求直线 l.理 由如下: 如图所示,连接 DN, ∵P'=DM∩D1A1,且 DM?平面 DMN,D1A1?平面 A1B1C1D1, ∴P'∈平面 DMN∩平面 A1B1C1D1. 又 N∈平面 DMN∩平面 A1B1C1D1, ∴由公理 3 知,直线 NP'为平面 DMN 与平面 A1B1C1D1 的交线.

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