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2015-2016高中数学 1.1.1变化率问题课件 新人教A版选修2-2

时间:2015-11-30


1. 1

变化率与导数
1.1.1 变化率问题

研题型 学方 法

题型一 求平均变化率或函数的增 量

π π π 例 1 试比较余弦函数 y=cos x 在 0 到 之间和 到 之间 3 3 2 的平均变化率的大小.

π 解析:设函数 y=cos x 在 0 到 之间的平均变化率是 k1,则 3 π cos -cos 0 3 3 k1= =- . π 2π -0 3

π π 函数 y=cos x 在 到 之间的平均变化率是 k2,则 3 2 π π cos -cos 2 3 3 3 k2= =- ,因为 k1-k2= >0,所以 π π π 2π - 2 3 k1>k2.

规律方法:(1)函数的平均变化率可正可负,反映 函数y=f(x)在[x1,x2]上变化的快慢,变化快慢是由平 均变化率的绝对值决定的,且绝对值越大,函数值变

化得越快.
(2)平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变 化的情况.平均速度是运动物体在一个时间段里位移 的改变量与这段时间的比值.

(3)计算平均变化率的步骤: ①求自变量的增量Δx=x2 Δf -x1;②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1);③求平均变化率 Δx f(x2)-f(x1) = . x2-x1 注意:①Δx 是一个整体符号,而不是Δ与 x 相乘;② x2=Δx+x1;③Δf=Δy=y2-y1.

?变式训练 1.已知函数 f(x)=-x2+x 的图象上的一点 A(-1,- Δy 2)及临近一点 B(-1+Δx,-2+Δy),则 = Δx A.3 C.3-(Δx)2 B.3Δx-(Δx)2 D.3-Δx (D)

Δy f(-1+Δx)-f(-1) 解析: = Δx Δx -(-1+Δx)2+(-1+Δx)-(-1-1) = =3 Δx -Δx.

题型二 物理中平均速度的计 算 例2 一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直

距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为 h=2t2+2t,则: (1)前3 s内球的平均速度为________; (2)在时间[2,3]内球的平均速度为________.

解析: (1) 由题设知,Δ t = 3 s, Δ h = h(3) - h(0) = Δh 24 24(m),即平均速度为 v= = =8 (m/s); Δt 3 (2)由题设知,Δt=3-2=1 (s),Δh=h(3)- h(2)=12 Δh (m), 即平均速度为 v= =12 (m/s). Δt 答案:(1)8 m/s (2)12 m/s

规律方法:物理中平均速度的计算:平均速度=位移 Δs 的增量÷时间的增量,即 v= . Δt ?变式训练 2.已知一物体的运动关系式为 s=3t2+2t+6,其中 s 为路程,t 为运动时间,则该物体在一段时间[3,3+Δ t]的路程改变量为__________.

解析:由题设知,Δs=s(3+Δt)-s(3)=[3(3+

Δt)2+2(3+Δt)+6]-(3×32+2×3+6)=3(Δt)2+
20Δt, 所以路程改变量为3(Δt)2+20Δt. 答案:3(Δt)2+20Δt

1 2 例 3 已知 s(t)= gt ,其中 g=10 m/s2. 2 (1)求 t 从 3 秒到 3.1 秒的平均速度; (2)求 t 从 3 秒到 3.01 秒的平均速度; 解析:(1)Δt=3.1-3=0.1(s). 1 2 1 Δs=s(3.1)-s(3)= ·g·3.1 - ·g·32=3.05(m). 2 2 Δs 3.05 - v 1= = =30.5(m/s). Δt 0.1

(2)Δt=3.01-3=0.01(s). 1 2 1 Δs=s(3.01)-s(3)= · g· 3.01 - · g· 32=0.300 5(m). 2 2 Δ s 0.300 5 - v 2= = =30.05(m/s). Δt 0.01 ?变式训练 3.已知一物体的运动方程为 s(t)=t2+2t+3,求物体在 t=1 到 t=1+Δt 这段时间内的平均速度.

解析:物体在 t=1 到 t=1+Δt 这段时间内的位移增 量为 Δs=s(1+Δt)-s(1)=[(1+Δt)2+2(1+Δt)+3]-(12 +2×1+3)=(Δt)2+4Δt. 物体在 t=1 到 t=1+Δt 这段时间内的平均速度为 Δs (Δt)2+4Δt = =4+Δt. Δt Δt

析疑难 提能 力

对变化率的概念理解不透致误.

π π 【典例】 函数 f(x)=sin x 的自变量 x 从 变为 , 6 2 则 自 变 量 的 改 变 量 为 ________ ; 函 数 值 的 改 变 量 为 ________;平均变化率为________. 解析:根据改变量的概念和平均变化率的概念知,自 π π π 变量的改变量Δx= - = ,函数值的改变量为Δy= 2 6 3
?π? ?π? 1 Δy 3 ? ? ? ? f? ?-f? ?= ,平均变化率为 = . Δ x 2π ?2? ?6? 2

【易错剖析】平均变化率涉及三个概念:自变量的 改变量,函数值的改变量和平均变化率,这三个概念既 有区别,又有联系.求平均变化率时,容易错成求 f(Δx).


高中数学 1.1.1变化率问题课件 新人教A版选修2-2_图文.ppt

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