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圆锥曲线专题(题型小结)

时间:2015-01-13


——主要题型归纳

主讲教师: 张莉 2014-12-24

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一, 在高考中一般 有 1~2 个选择题或者填空题,一个解答题.选择题或者填空题 在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和 简单几何性质及其应用,试题考查的面主要针对圆锥曲线本身, 综合性较小, 试题的难度一般不大; 解答题中主要是以椭圆为基 本依托,考查椭圆方程的求解、直线与曲线的位置关系,考查数 形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想 等数学思想方法, 这类解答题往往是试卷的压轴题之一. 由于圆 锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识, 在高考命题上已经比 较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,预计 2015 年仍然是这种考查方式,不会发生大的变化.

备考策略 解析几何的知识主线很清晰,就是直线方程、圆的方程、圆锥 曲线方程及其简单几何性质, 复习解析几何时不能把目标仅仅定位 在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何 中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、 曲线的某些几 何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方法, 掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用, 掌握使用韦达定理 进行整体代入的解题方法; 数学思想方法在解析几何问题中起重要 作用,数形结合思想首当其冲,其次分类讨论思想、函数与方程思 想、化归转化思想,如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目 标的函数,通过函数的最值研究几何中的最值,复习解析几何时要 充分重视数学思想方法的运用.

主考知识点:
1、中点坐标公式: x ? 的中点坐标。 2、两条直线 l1 : y ? k1x ? b1, l2 : y ? k2 x ? b2 垂直:则 k1k2 ? ?1
x1 ? x2 y ? y2 ,y ? 1 ,其中 x, y 是点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 2 2

3、 一元二次方程根与系数的关系: 若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两 个根 x1 , x2 ,
b c 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 。 a a

4、弦长公式:若点 A( x1, y1 ),B( x2 , y2 ) 在直线 y ? kx ? b(k ? 0) 上, 则 y1 ? kx1 ? b,y2 ? kx2 ? b ,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? (kx1 ? kx2 )2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ] ? (1 ? k 2 )
1 k

? |a|
1 k
2 2

或者 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ?
2 2

1 2 )( y ? y ) 1 2 k2

1 1 ? 2 。 ? (1 ? 2 )[( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ] ? (1 ? 2 ) k k |a|

直线与圆锥曲线的位置关系
1.有关位置关系的问题:

x y ? ?1 例 1:已知直线 l : y ? kx ? 1 与椭圆 C : 4 m
始终有交点,求 m 的取值范围

2

2

2.有关弦长的问题:

例 2:在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) ,

(0,3)
的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线

y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.

k 为何值时 OA ? OB ?并求 AB 的值.

3.有关中点弦的问题:

解题思路:此类问题是利用点差法来转化变形出 斜率的式子。
x2 y2 例 3:以椭圆 + =1 内的点 M(1,1)为中点的弦 16 4 所在直线的方程为( A. 4x-y- 3=0 C.4x+y- 5= 0 ) B.x -4y+ 3= 0 D.x +4y- 5= 0

x2 2 ★ 变式1:过点P(8,1)的直线与双曲线 ? y ?1 4

相交于A,B两点,且P为AB的中点,这样的直线 AB是否存在,如果存在,求出直线AB的直线方 程,若不存在,请说明理由。

★ 变式2、

x2 y2 双曲线 9 ? 4 ? 1 中被P(2,1)平分的弦所在的直线方

程为 A 8x-9y-7=0 C 4x-9y-6=0

B D

8x+9y-25=0 不存在

4.有关定点、定值、最值的问题:

解题思路:此类问题一般是紧扣目标问题来求解、 转化、变形。如需引入参数,也是常用参数来表 达目标结构,之后考虑消参。
3 例 4: 已知,椭圆 C 以过点 A(1, ) ,两个焦点为 2
(-1, 0) (1,0) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的 斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

3 x2 y2 ? ? 1得: (2)设直线 AE 的方程为: y ? k ( x ? 1) ? 代入 2 4 3

(3 ? 4k 2)x2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? (3 ? 2k )2 ? 12 ? 0
(3 ? 2k ) 2 ? 12 3 , y E ? kxE ? ? k 设 E ( xE , yE ), F ( xF , yF ) ,则 x E ? 2 3 ? 4k 2 (3 ? 2k )2 ? 12 3 , yF ? -kxF ? ? k 以 - k代k得:xF ? 2 3 ? 4k 2
? K EF ? yF ? yE ? k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? x F ? xE xF ? xE 2

1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 2

x2 y 2 1 ★变式: 已知椭圆 C 2 ? 2 ? 1 经过点 (0, 3) , 离心率为 e ? , 2 a b
直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 且交椭圆于 A, B 两点。 (1)求椭圆方程; (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且 MA ? ? AF , MB ? ? BF , 当直线 l 的倾斜角变化时,问: ? ? ? 的值是否为定值?若是 求出 ? ? ? 的值;若不是,说明理由。

? 归纳梳理:

? 1、
? 2、 ? 3、 ?4

有关参数的取值范围的问题:
解题思路:此类问题一般是紧扣目标问题来求解、转 化、变形。根据条件引入参数,也是常用参数来表达 目标结构,之后考虑利用常用的求最值方式处理(如 函数的性质、导数法、基本不等式等方案)。
例.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F, 准线 l 。 (1)求经过点 F 与直线 l 相切,且圆心在直线 x ? 1 ? 0 上的圆的方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于 A、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 M, 求点 M 的横坐标的取值范围。

圆锥曲线的应用题
例 13:

曲线方程的求解
1.抓住曲线定义,利用定义求解:
例 1:已知 ?ABC 的三个顶点 A(5,1), B(7, ?3), C(2, ?8) , 求 ?ABC 的外接圆的方程。

解题策略:充分利用圆的定义,即本质是圆心、半径。

而⊿ABC的外接圆圆心在各边中垂线交点上,半径即 为圆心到顶点的距离。

例 2:在平面直角坐标系中,动点 A 到定点 F(1,0) 的距离比它到 y 轴的距离大 1, 求动点 A 所形成的曲线方程。
解题策略:注意条件的叙述,动点到定点及定直线的 距离关系即为抛物线的本质。 为此本例可视为动点到定点F(1,0)的距离与它到定 直线x=-1的距离相等,即为抛物线,因此易求出方程; 另一方面射线y=0(x≤0)也符合。

直线与圆的位置关系
提醒:关于直线与圆的位置关系的解题,几何法 优于代数法,数形结合优于坐标法。
例 4: 过点(-2,0)的直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时, 其斜率 k 的取值范围是( A.(-2 2,2 2) 2 2 C.(- , ) 4 4 )

B.(- 2, 2) 1 1 D.(- , ) 8 8

解题策略:依据条件作出圆的图形,注意直线过定点 (-2,0),运动直线即可发现k的临界取值。

2.抓住基本量,利用方程(或方程组)求解:

例 3: 已知椭圆
2

(a>b>0)的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F1,F2,

抛物线 y =4 x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点.求椭圆 C 的方程;
解题策略:注意椭圆的基本量a,b,c,e之间的关系。

例 5:若直线 l:2x+y+3=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=5 相交于 A、B 两点, 则|AB|=________. 解题策略:依据条件作出圆的图形,注意垂径定理。 2
例 6:在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1与 坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点, 且 OA⊥OB,求 a 的值.

解题策略:虽说几何法在圆的问题中好用,但并非全 能,第(2)问还是应注意代数解法,即圆锥曲线中的 通解通法。

变式:过点P(2,1)的直线与双曲线 x2 ? 4 y 2 ? 4 相交于A,B两点,且P为AB的中点,这样的直线 AB是否存在,如果存在,求出直线AB的直线方程, 若不存在,请说明理由。


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