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广东省北江中学2009届高三12月月考数学文科试卷

时间:2019-05-14

广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学(文)试卷
第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2, x ? R}, B ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? R} ,则 A ? B = A.

(?1,1)

B.

(?1,1]

C.

(?1, 2)

D.

[?1, 2]

2. 已知复数 z 满足

?

3 ? 3i z ? 3i ,则 z =
B.

?

A

3 3 - i 2 2

3 3 - i 4 4

C

3 3 + i 2 2

D

3 3 + i 4 4

3. 甲校有 3600 名学生, 乙校有 5400 名学生, 丙校有 1800 名学生, 为统计三校学生某方面的情况, 计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学生 A. 30 人, 30 人, 30 人 C. 20 人, 30 人, 10 人 B. 30 人, 45 人, 15 人 D. 30 人, 50 人, 10 人

4.若 a ? b ,则下列不等式中一定成立的是 A.

1 1 < a b

B.

b <1 a

C. 2 ? 2
a

b

D. lg ? a ? b? ? 0

5.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是 A.14 B.16 C.18 D.20

6. 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 上单调递增的是 A. y ? x
3

B. y ? cos x

C. y ?

1 x2

D. y ? ln x

7. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0

?

? x) ? f ( ? x), 则 f ( ) 等于 6 6 6
D. ?2 或 0

?

?

8. 甲、乙两间工厂的月产值在 08 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以
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后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到 08 年 11 月份发现两间工厂的月产值又相同.比较 甲、乙两间工厂 08 年 6 月份的月产值大小,则有 A. 甲的产值<乙的产值 B. 甲的产值=乙的产值 C. 甲的产值>乙的产值 D.不能确定

9. 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ?

1 ,若 f ( x ) 在 [?1, 0] 上是减函数,那么 f ( x)

f ( x) 在 [2,3] 上是
A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 A. 10. △ ABC 内有一点 O , 满足 OA ? OB ? OC ? 0 , 且 OA OB ? OB OC . 则 △ ABC 一定是 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

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第二部分
二. 填空题(每小题 5 分,共 20 分)

非选择题(共 100 分)

11.函数 f ( x) ? log2 (? x2 ? x ? 2) 的定义域为 12.曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线方程为

. .

?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? y ? ax(a ? R) .若 z 取最大值时的唯 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是________________. 注意,请从 14-15 题中任选一题,两题都选只计算前题得分. 14 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 把 极 坐 标 方 程 ? cos(? ? ____________________. 15. (几何证明选讲选做题)如图,梯形 ABCD , AB // CD ,

?
6

) ?1 化为直角坐标方程是

D E

C

E 是对角线 AC 和 BD 的交点, S?DEC : S?DBC ? 1: 3 ,
则S
DEC

:S

ABE

_______ .

A

B

三.解答题(共 6 小题,共 80 分,请写出必要的解题步骤) 16.(本小题 12 分) 已知 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,? 的图象如右图. (Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 说明 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 的图象经过 怎样的变换得到?

?
2

?? ?

?
2

)
4

y

0

?4

? 6

?

x

第 3 页 共 18 页

A 17. (本小题 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

D O C E

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.
B (Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD; (Ⅱ)求点 E 到平面 ACD 的距离.

18(本小题 14 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (Ⅰ)两数之和为 8 的概率; (Ⅱ)两数之和是 3 的倍数的概率; (Ⅲ)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=27 的内 部的概率.

19. (本小题 12 分)

第 4 页 共 18 页

已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时,直线 AB 恒 过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

20. (本小题 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 2 , an?1 ? an ? 2an?1 (n ? 2) (Ⅰ)证明数列 {an?1 ? an } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1, 4 1 ? 4 2 ??? 4 n ? (an?1 ? an ) n (n ? N * ) ,
b b b b

求数列 {bn } 的通项公式.

21. (本小题 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

第 5 页 共 18 页

广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学(文)答题卷
姓名:____________班级:____________学号:____________考号:____________

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

11、_______________________;12、__________ _________;

13、______________;14、___________; 15、_______________. 三、解答题(共 80 分) 16、 (本小题满分 12 分)

y
4

0

?4

? 6

?

x

第 6 页 共 18 页

第 7 页 共 18 页

17、 (本小题满分 14 分)

A

D O B E C

第 8 页 共 18 页

18、 (本小题满分 14 分)

第 9 页 共 18 页

第 10 页 共 18 页

19、 (本小题满分 12 分)

第 11 页 共 18 页

姓名:____________班级:____________学号:____________考号:__________

20、 (本小题满分 14 分)

第 12 页 共 18 页

21、 (本小题满分 14 分)

第 13 页 共 18 页

第 14 页 共 18 页

广东北江中学 09 届高三 12 月月考数学(文)试卷参考答案
一、选择题:BDBCB DBCAD 二、填空题:11. {x | ?1 ? x ? 2 , x ? R} ;12. 3x-y-2=0 ;13. (1, ??) ; 14. 3x ? y ? 2 ? 0 ;15.1:4 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分)解: ( 1) 由图知 A= 4----------------1 分

3T ? 5? 10? 9 ?? ? ? ,得 T ? 所以 ? ? -------------3 分 4 6 6 9 5 9 ? ? ? 由 ? ? ? ? ,得 ? ? -------------5 分 5 6 2 5 9 ? 所以, f ( x) ? 4sin( x ? ) ---------6 分 5 5
由 (2) ①由 y ? sin x 得图象向左平移

? ? 单位得 y ? sin( x ? ) 的图象--------8 分 5 5 ? 5 9 ? ② 再由 y ? sin( x ? ) 图象的横坐标缩短为原来 得 y ? sin( x ? ) 的图象---10 分 5 9 5 5 9 ? 9 ? ③由 y ? sin( x ? ) 的图象纵坐标伸长为原来的 4 倍得 f ( x) ? 4sin( x ? ) 的图象 12 5 5 5 5
17. (本小题满分 14 分)解:⑴.证明:连结 OC

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ………… 1 分 BO ? DO, BC ? CD , CO ? BD . ……… 2 分
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. … 3 分 而 AC ? 2 , ? AO2 ? CO2 ? AC 2 , ………………… 5 分 D O B E ……………………………7 分 C A



??AOC ? 90o , 即 AO ? OC. ………………… 6 分
BD OC ? O,
∴ AO ? 平面 BCD .

(2).解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

1 1 VE ? ACD ? VA?CDE ,? h ? S?ACD ? ? AO ? S ?CDE 3 3

………………………………9 分

第 15 页 共 18 页

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2 ,

1 3 2 3 1 2 7 ,而 AO ? 1 , S?CDE ? ? . ?2 ? ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? 2 4 2 2 2 2
AO ? S ?CDE ? S ?ACD 1? 3 2 ? 21 , 7 7 2

∴h ?

∴点 E 到平面 ACD 的距离为 18、 (本小题满分 14 分)

21 7

……………………………14 分

解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件-----------1 分 (1) 记“两数之和为 8”为事件 A,则事件 A 中含有 5 个基本事件, 所以 P(A)=

5 ; 36 5 。--------------------------------------- 5 分 36

答:两数之和为 6 的概率为

(2)记“两数之和是 3 的倍数”为事件 B,则事件 B 中含有 12 个基本事件, 所以 P(B)=

1 ; 3 1 。------------------------------9 分 3

答:两数之和是 3 的倍数的概率为

(2) 基本事件总数为 36,点(x,y) ,在圆 x2+y2=27 的内部记为事件 D,则 D 包含 17 个事件, 所以 P(D)=

17 。 36 17 。----------------------14 分 36

答:点(x,y)在圆 x2+y2=25 的内部的概率 (注:不答扣 1 分)

19. (本小题满分 12 分) 解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的距离.所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 所以,所求的轨迹方程为 y ? 4 x ------------------------------------5 分
2

p ? 1, p ? 2 , 2

(2) 假设存在 A,B 在 y ? 4 x 上,
2

第 16 页 共 18 页

所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

y2 ? y1 y12 y2 ? y1 ( x ? ) ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 y2 y12 4 x2 ? x1 ? 4 4

y12 4 即 AB 的方程为: y ? y1 ? ( x ? ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4x ? y12 y1 ? y2 4
即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) ------------------12 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)

an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ? {an?1 ? an } 是以 2 为公比, a1 ? a2 ? 4 为首项的等比数列.

? an?1 ? an ? 4 2n?1 ? 2 2n --------① ………………………………………………4 分
(2)由 an?1 ? an ? 2an?1 两边减 2an 得: an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2)

? {an?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.

? an?1 ? 2an ? ?2 (?1)n?1 ? 2 (?1)n ----------②
①-②得: 3an ? 2[2n ? (?1) n ] 所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] ………………………………………9 分 3

(3)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,

4b1 ? 4b2 ??? 4bn ? (an?1 ? an )bn
∴4 1
b ?b2 ?????bn

? 2( n?1)bn

∴ 2(b1 ? b2 ? ??? ? bn ) ? (n ? 1)bn 即 2Sn ? (n ? 1)bn --------③,当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? nbn?1 -------④ 由③ ? ④得: 2(Sn ? Sn?1 ) ? (n ? 1)bn ? nbn?1 ( n ? 2 ) 即 2bn ? (n ? 1)bn ? nbn?1 ,即

bn n (n ? 2) ? bn?1 n ? 1

第 17 页 共 18 页



b b2 2 b3 3 n (n ? 2) ? , ? , ???, n ? b1 1 b2 2 bn?1 n ? 1 bn ? n ,又 b1 ? 1 ∴ bn ? n. ……………………………………………14 分 b1
1 x ?1 ? x x
……1 分



21. (本小题满分 14 分)解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? ∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ……3 分 ……4 分

(Ⅱ)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1 令 h( x ) ? g ( x ) ? ……5 分

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , h ?( x) ? , ……6 分 2 x 2 x 当 0 ? x ? e 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ……7 分 1 1 1 1 ∴ h( x) max ? h(e) ? ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2 1 ∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ? ……9 分 2 (Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, 1 ax ? 1 f / ( x) ? a ? ? ……9 分 x x
① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 此时 f ( x) 无最小值. ②当 0 ? ……10 分

4 (舍去) ,所以, e

f ( x) min
③ 当

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ……11 分 a

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) ,所以, a e 此时 f ( x) 无最小值.
综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3. ……14 分
2

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